MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caubnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caubnd2 15304
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caubnd2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 12978 . . 3 1 ∈ ℝ+
2 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
32anbi2d 630 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
43rexralbidv 3221 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
54rspcv 3609 . . 3 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
7 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8eleq2s 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
10 uzid 12837 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
12 simpl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312ralimi 3084 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1615rspcva 3611 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1711, 13, 16syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
18 abscl 15225 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
20 1re 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21 readdcl 11193 . . . . . . 7 (((abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
25 abs2dif 15279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
2623, 24, 25syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
27 abscl 15225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2924, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
3028, 29resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3123, 24subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
32 abscl 15225 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
34 lelttr 11304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3520, 34mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3630, 33, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3726, 36mpand 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
38 ltsubadd2 11685 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
3920, 38mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4028, 29, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4137, 40sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4241expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4342ralimdv 3170 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4443impancom 453 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4517, 44mpd 15 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1))
46 brralrspcev 5209 . . . . . 6 ((((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
4722, 45, 46syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
4847ex 414 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦))
4948reximia 3082 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
50 rexcom 3288 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
5149, 50sylib 217 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
526, 51syl 17 1 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cz 12558  cuz 12822  +crp 12974  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  caubnd  15305
  Copyright terms: Public domain W3C validator