Theorem caubnd2 15518

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caubnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 13117	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1))
3	2	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
4	3	rexralbidv 3229	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
5	4	rspcv 3573	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1))
7		eluzelz 12968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8		cau3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	eleq2s 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
10		uzid 12973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	ralimi 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
16	15	rspcva 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
17	11, 13, 16	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
18		abscl 15438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20		1re 11301	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		readdcl 11276	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
25		abs2dif 15493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
27		abscl 15438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	23, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
29	24, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
31	23, 24	subcld 11662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
32		abscl 15438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
34		lelttr 11393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
35	20, 34	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
36	30, 33, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
37	26, 36	mpand 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
38		ltsubadd2 11780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
39	20, 38	mp3an3 1479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
40	28, 29, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
41	37, 40	sylibd 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
42	41	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
43	42	ralimdv 3177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
44	43	impancom 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
45	17, 44	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1))
46		brralrspcev 5165	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
47	22, 45, 46	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
48	47	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦))
49	48	reximia 3098	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
50		rexcom 3292	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
51	49, 50	sylib 221	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
52	6, 51	syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  abscabs 15394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396

This theorem is used by:  caubnd  15519