Theorem caubnd2 15331

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caubnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12962	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1))
3	2	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
4	3	rexralbidv 3204	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
5	4	rspcv 3587	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1))
7		eluzelz 12810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8		cau3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	eleq2s 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
10		uzid 12815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	ralimi 3067	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
16	15	rspcva 3589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
17	11, 13, 16	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
18		abscl 15251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		readdcl 11158	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
25		abs2dif 15306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
27		abscl 15251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
29	24, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
31	23, 24	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
32		abscl 15251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
34		lelttr 11271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
35	20, 34	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
36	30, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
37	26, 36	mpand 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
38		ltsubadd2 11656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
39	20, 38	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
40	28, 29, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
41	37, 40	sylibd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
42	41	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
43	42	ralimdv 3148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
44	43	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
45	17, 44	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1))
46		brralrspcev 5170	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
47	22, 45, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
48	47	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦))
49	48	reximia 3065	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
50		rexcom 3267	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
51	49, 50	sylib 218	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
52	6, 51	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  caubnd  15332