Theorem caubnd2 15272

Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
caubnd2	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12900	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1))
3	2	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
4	3	rexralbidv 3199	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
5	4	rspcv 3569	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)))
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1))
7		eluzelz 12752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8		cau3.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	eleq2s 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
10		uzid 12757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	12	ralimi 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
16	15	rspcva 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
17	11, 13, 16	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
18		abscl 15192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
20		1re 11123	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		readdcl 11100	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
25		abs2dif 15247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
27		abscl 15192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
29	24, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ)
30	28, 29	resubcld 11556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
31	23, 24	subcld 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
32		abscl 15192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ)
34		lelttr 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
35	20, 34	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
36	30, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
37	26, 36	mpand 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1))
38		ltsubadd2 11599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
39	20, 38	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
40	28, 29, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹‘𝑘)) − (abs‘(𝐹‘𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
41	37, 40	sylibd 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
42	41	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
43	42	ralimdv 3147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
44	43	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)))
45	17, 44	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1))
46		brralrspcev 5155	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < ((abs‘(𝐹‘𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
47	22, 45, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
48	47	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦))
49	48	reximia 3068	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
50		rexcom 3262	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
51	49, 50	sylib 218	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)
52	6, 51	syl 17	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐹‘𝑘)) < 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  1c1 11018   + caddc 11020   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ℝ⁺crp 12896  abscabs 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150

This theorem is referenced by:  caubnd  15273