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Theorem caubnd2 15308
Description: A Cauchy sequence of complex numbers is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cau3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
caubnd2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑦,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem caubnd2
StepHypRef Expression
1 1rp 12982 . . 3 1 ∈ ℝ+
2 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
32anbi2d 627 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
43rexralbidv 3218 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
54rspcv 3607 . . 3 (1 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)))
61, 5ax-mp 5 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1))
7 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
8 cau3.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8eleq2s 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
10 uzid 12841 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
12 simpl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1312ralimi 3081 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
14 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1615rspcva 3609 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1711, 13, 16syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
18 abscl 15229 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
20 1re 11218 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
21 readdcl 11195 . . . . . . 7 (((abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 584 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ)
23 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
24 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
25 abs2dif 15283 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
2623, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))))
27 abscl 15229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2823, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
2924, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
3028, 29resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3123, 24subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ)
32 abscl 15229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ)
34 lelttr 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3520, 34mp3an3 1448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3630, 33, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
3726, 36mpand 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1))
38 ltsubadd2 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
3920, 38mp3an3 1448 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑗)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4028, 29, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (abs‘(𝐹𝑗))) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4137, 40sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4241expimpd 452 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → (abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4342ralimdv 3167 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4443impancom 450 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)))
4517, 44mpd 15 . . . . . 6 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1))
46 brralrspcev 5207 . . . . . 6 ((((abs‘(𝐹𝑗)) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < ((abs‘(𝐹𝑗)) + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
4722, 45, 46syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
4847ex 411 . . . 4 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦))
4948reximia 3079 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
50 rexcom 3285 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
5149, 50sylib 217 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
526, 51syl 17 1 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐹𝑘)) < 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5147  cfv 6542  (class class class)co 7411  cc 11110  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cz 12562  cuz 12826  +crp 12978  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  caubnd  15309
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