MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem3 26815
Description: Lemma for fta 26820. There exists a global minimum of the function abs ∘ 𝐹. The proof uses a circle of radius π‘Ÿ where π‘Ÿ is the value coming from ftalem1 26813; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
ftalem.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
ftalem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
ftalem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
ftalem3.5 𝐷 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅}
ftalem3.6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftalem3.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ftalem3.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
ftalem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑧,𝐷   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑦,𝐹,𝑧   π‘₯,𝐽,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦)   𝑅(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4 𝐷 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅}
21ssrab3 4079 . . 3 𝐷 βŠ† β„‚
3 ftalem3.6 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43cnfldtopon 24519 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5 resttopon 22885 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
64, 2, 5mp2an 688 . . . . . 6 (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·)
76toponunii 22638 . . . . 5 𝐷 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐷)
8 eqid 2730 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
9 cnxmet 24509 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
11 0cn 11210 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
13 ftalem3.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1413rpxrd 13021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
153cnfldtopn 24518 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
16 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
1716cnmetdval 24507 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)))
1811, 17mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)))
19 df-neg 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑦 = (0 βˆ’ 𝑦)
2019fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (absβ€˜-𝑦) = (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))
21 absneg 15228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜-𝑦) = (absβ€˜π‘¦))
2220, 21eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜π‘¦))
2318, 22eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜π‘¦))
2423breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅))
2524rabbiia 3434 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) ≀ 𝑅} = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅}
261, 25eqtr4i 2761 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) ≀ 𝑅}
2715, 26blcld 24234 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2810, 12, 14, 27syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2913rpred 13020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
30 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘₯))
3130breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3231, 1elrab2 3685 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3332simprbi 495 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
3433rgen 3061 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅
35 brralrspcev 5207 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠)
3629, 34, 35sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠)
37 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt 𝐷) = (𝐽 β†Ύt 𝐷)
383, 37cnheibor 24701 . . . . . . 7 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠)))
392, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠))
4028, 36, 39sylanbrc 581 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ Comp)
41 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
42 plycn 26010 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
44 abscncf 24641 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
4643, 45cncfco 24647 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ (ℂ–cn→ℝ))
47 ssid 4003 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
48 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
494toponrestid 22643 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐽 β†Ύt β„‚)
503tgioo2 24539 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐽 β†Ύt ℝ)
513, 49, 50cncfcn 24650 . . . . . . . 8 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
5247, 48, 51mp2an 688 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,)))
5346, 52eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
544toponunii 22638 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐽
5554cnrest 23009 . . . . . 6 (((abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐷) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
5653, 2, 55sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐷) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
5713rpge0d 13024 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
58 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜0))
59 abs0 15236 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
6058, 59eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (absβ€˜π‘¦) = 0)
6160breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ 𝑅))
6261, 1elrab2 3685 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ 0 ≀ 𝑅))
6312, 57, 62sylanbrc 581 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐷)
6463ne0d 4334 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
657, 8, 40, 56, 64evth2 24706 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯))
66 fvres 6909 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
6766ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
68 plyf 25947 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
6941, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
7069ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
71 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
722, 71sselid 3979 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
73 fvco3 6989 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7470, 72, 73syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7567, 74eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
76 fvres 6909 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
7776adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
78 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
792, 78sselid 3979 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
80 fvco3 6989 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8170, 79, 80syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8277, 81eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8375, 82breq12d 5160 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8483ralbidva 3173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8584rexbidva 3174 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8665, 85mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
87 ssrexv 4050 . . 3 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
882, 86, 87mpsyl 68 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8963adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ 𝐷)
90 2fveq3 6895 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜0)))
9190breq2d 5159 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0))))
9291rspcv 3607 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0))))
9389, 92syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0))))
9469ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
95 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
9694, 11, 95sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
9796abscld 15387 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∈ ℝ)
98 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷))
9998eldifad 3959 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10094, 99ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
101100abscld 15387 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
102 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
103102ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
10498eldifbd 3960 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐷)
10532baib 534 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
10699, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
107104, 106mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
10829ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
10999abscld 15387 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
110108, 109ltnled 11365 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
111107, 110mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝑅 < (absβ€˜π‘₯))
112 rsp 3242 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
113103, 99, 111, 112syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
11497, 101, 113ltled 11366 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
115 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
11694, 115ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
117116abscld 15387 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
118 letr 11312 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
119117, 97, 101, 118syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
120114, 119mpan2d 690 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
121120ralrimdva 3152 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
12293, 121syld 47 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
123122ancld 549 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
124 ralunb 4190 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
125 undif2 4475 . . . . . . 7 (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷)) = (𝐷 βˆͺ β„‚)
126 ssequn1 4179 . . . . . . . 8 (𝐷 βŠ† β„‚ ↔ (𝐷 βˆͺ β„‚) = β„‚)
1272, 126mpbi 229 . . . . . . 7 (𝐷 βˆͺ β„‚) = β„‚
128125, 127eqtri 2758 . . . . . 6 (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷)) = β„‚
129128raleqi 3321 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
130124, 129bitr3i 276 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
131123, 130imbitrdi 250 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
132131reximdva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
13388, 132mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  abscabs 15185   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  βˆžMetcxmet 21129  β„‚fldccnfld 21144  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740   Cn ccn 22948  Compccmp 23110  β€“cnβ†’ccncf 24616  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940
This theorem is referenced by:  fta  26820
  Copyright terms: Public domain W3C validator