MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem3 25825
Description: Lemma for fta 25830. There exists a global minimum of the function abs ∘ 𝐹. The proof uses a circle of radius 𝑟 where 𝑟 is the value coming from ftalem1 25823; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem3.5 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
ftalem3.6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
ftalem3.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftalem3.8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
ftalem3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑧,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑦,𝐹,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦)   𝑅(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
21ssrab3 3981 . . 3 𝐷 ⊆ ℂ
3 ftalem3.6 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtopon 23548 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
5 resttopon 21925 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
64, 2, 5mp2an 692 . . . . . 6 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
76toponunii 21680 . . . . 5 𝐷 = (𝐽t 𝐷)
8 eqid 2739 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
9 cnxmet 23538 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 0cn 10724 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13 ftalem3.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1413rpxrd 12528 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
153cnfldtopn 23547 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
16 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1716cnmetdval 23536 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
1811, 17mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
19 df-neg 10964 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑦 = (0 − 𝑦)
2019fveq2i 6690 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘-𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦))
21 absneg 14740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘-𝑦) = (abs‘𝑦))
2220, 21eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) = (abs‘𝑦))
2318, 22eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘𝑦))
2423breq1d 5050 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅))
2524rabbiia 3374 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
261, 25eqtr4i 2765 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅}
2715, 26blcld 23271 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2810, 12, 14, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2913rpred 12527 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 fveq2 6687 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
3130breq1d 5050 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3231, 1elrab2 3596 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3332simprbi 500 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
3433rgen 3064 . . . . . . 7 𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅
35 brralrspcev 5100 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
3629, 34, 35sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
37 eqid 2739 . . . . . . . 8 (𝐽t 𝐷) = (𝐽t 𝐷)
383, 37cnheibor 23720 . . . . . . 7 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)))
392, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠))
4028, 36, 39sylanbrc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
41 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
42 plycn 25023 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
44 abscncf 23666 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
4643, 45cncfco 23672 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (ℂ–cn→ℝ))
47 ssid 3909 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
48 ax-resscn 10685 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
494toponrestid 21685 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐽t ℂ)
503tgioo2 23568 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
513, 49, 50cncfcn 23675 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
5247, 48, 51mp2an 692 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,)))
5346, 52eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
544toponunii 21680 . . . . . . 7 ℂ = 𝐽
5554cnrest 22049 . . . . . 6 (((abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
5653, 2, 55sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
5713rpge0d 12531 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58 fveq2 6687 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = (abs‘0))
59 abs0 14748 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
6058, 59eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = 0)
6160breq1d 5050 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
6261, 1elrab2 3596 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ 𝑅))
6312, 57, 62sylanbrc 586 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6463ne0d 4234 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
657, 8, 40, 56, 64evth2 23725 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥))
66 fvres 6706 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
6766ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
68 plyf 24960 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6941, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
7069ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
71 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧𝐷)
722, 71sseldi 3885 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧 ∈ ℂ)
73 fvco3 6780 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7470, 72, 73syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7567, 74eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
76 fvres 6706 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
7776adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
78 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
792, 78sseldi 3885 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 fvco3 6780 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8170, 79, 80syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8277, 81eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8375, 82breq12d 5053 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8483ralbidva 3109 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐷) → (∀𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8584rexbidva 3207 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8665, 85mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
87 ssrexv 3954 . . 3 (𝐷 ⊆ ℂ → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
882, 86, 87mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8963adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ 𝐷)
90 2fveq3 6692 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘0)))
9190breq2d 5052 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9291rspcv 3524 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9389, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9469ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
95 ffvelrn 6872 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
9694, 11, 95sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
9796abscld 14899 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
98 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
9998eldifad 3865 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10094, 99ffvelrnd 6875 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
101100abscld 14899 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
102 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
103102ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
10498eldifbd 3866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
10532baib 539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
10699, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
107104, 106mtbid 327 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
10829ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ)
10999abscld 14899 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
110108, 109ltnled 10878 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑅 < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
111107, 110mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 < (abs‘𝑥))
112 rsp 3119 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
113103, 99, 111, 112syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))
11497, 101, 113ltled 10879 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
115 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑧 ∈ ℂ)
11694, 115ffvelrnd 6875 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117116abscld 14899 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
118 letr 10825 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
119117, 97, 101, 118syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
120114, 119mpan2d 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
121120ralrimdva 3102 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
12293, 121syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
123122ancld 554 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
124 ralunb 4091 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
125 undif2 4376 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = (𝐷 ∪ ℂ)
126 ssequn1 4080 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ ℂ ↔ (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ)
1272, 126mpbi 233 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ
128125, 127eqtri 2762 . . . . . 6 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = ℂ
129128raleqi 3315 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
130124, 129bitr3i 280 . . . 4 ((∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
131123, 130syl6ib 254 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
132131reximdva 3185 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
13388, 132mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wrex 3055  {crab 3058  cdif 3850  cun 3851  wss 3853   class class class wbr 5040  ran crn 5536  cres 5537  ccom 5539  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  cc 10626  cr 10627  0cc0 10628  *cxr 10765   < clt 10766  cle 10767  cmin 10961  -cneg 10962  cn 11729  +crp 12485  (,)cioo 12834  abscabs 14696  t crest 16810  TopOpenctopn 16811  topGenctg 16827  ∞Metcxmet 20215  fldccnfld 20230  TopOnctopon 21674  Clsdccld 21780   Cn ccn 21988  Compccmp 22150  cnccncf 23641  Polycply 24946  coeffccoe 24948  degcdgr 24949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-cls 21785  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-haus 22079  df-cmp 22151  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-cncf 23643  df-0p 24435  df-ply 24950  df-coe 24952  df-dgr 24953
This theorem is referenced by:  fta  25830
  Copyright terms: Public domain W3C validator