MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem3 26424
Description: Lemma for fta 26429. There exists a global minimum of the function abs ∘ 𝐹. The proof uses a circle of radius 𝑟 where 𝑟 is the value coming from ftalem1 26422; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem3.5 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
ftalem3.6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
ftalem3.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftalem3.8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
ftalem3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑧,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑦,𝐹,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦)   𝑅(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
21ssrab3 4040 . . 3 𝐷 ⊆ ℂ
3 ftalem3.6 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtopon 24146 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
5 resttopon 22512 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
64, 2, 5mp2an 690 . . . . . 6 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
76toponunii 22265 . . . . 5 𝐷 = (𝐽t 𝐷)
8 eqid 2736 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
9 cnxmet 24136 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 0cn 11147 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13 ftalem3.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1413rpxrd 12958 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
153cnfldtopn 24145 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1716cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
1811, 17mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
19 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑦 = (0 − 𝑦)
2019fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘-𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦))
21 absneg 15162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘-𝑦) = (abs‘𝑦))
2220, 21eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) = (abs‘𝑦))
2318, 22eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘𝑦))
2423breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅))
2524rabbiia 3411 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
261, 25eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅}
2715, 26blcld 23861 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2810, 12, 14, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2913rpred 12957 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
3130breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3231, 1elrab2 3648 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3332simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
3433rgen 3066 . . . . . . 7 𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅
35 brralrspcev 5165 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
3629, 34, 35sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
37 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝐽t 𝐷) = (𝐽t 𝐷)
383, 37cnheibor 24318 . . . . . . 7 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)))
392, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠))
4028, 36, 39sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
41 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
42 plycn 25622 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
44 abscncf 24264 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
4643, 45cncfco 24270 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (ℂ–cn→ℝ))
47 ssid 3966 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
48 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
494toponrestid 22270 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐽t ℂ)
503tgioo2 24166 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
513, 49, 50cncfcn 24273 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
5247, 48, 51mp2an 690 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,)))
5346, 52eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
544toponunii 22265 . . . . . . 7 ℂ = 𝐽
5554cnrest 22636 . . . . . 6 (((abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
5653, 2, 55sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
5713rpge0d 12961 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = (abs‘0))
59 abs0 15170 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
6058, 59eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = 0)
6160breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
6261, 1elrab2 3648 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ 𝑅))
6312, 57, 62sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6463ne0d 4295 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
657, 8, 40, 56, 64evth2 24323 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥))
66 fvres 6861 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
6766ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
68 plyf 25559 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6941, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
71 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧𝐷)
722, 71sselid 3942 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧 ∈ ℂ)
73 fvco3 6940 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7470, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7567, 74eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
76 fvres 6861 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
7776adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
78 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
792, 78sselid 3942 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 fvco3 6940 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8170, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8277, 81eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8375, 82breq12d 5118 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8483ralbidva 3172 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐷) → (∀𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8584rexbidva 3173 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8665, 85mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
87 ssrexv 4011 . . 3 (𝐷 ⊆ ℂ → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
882, 86, 87mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8963adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ 𝐷)
90 2fveq3 6847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘0)))
9190breq2d 5117 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9291rspcv 3577 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9389, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9469ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
95 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
9694, 11, 95sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
9796abscld 15321 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
98 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
9998eldifad 3922 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10094, 99ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
101100abscld 15321 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
102 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
103102ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
10498eldifbd 3923 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
10532baib 536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
10699, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
107104, 106mtbid 323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
10829ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ)
10999abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
110108, 109ltnled 11302 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑅 < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
111107, 110mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 < (abs‘𝑥))
112 rsp 3230 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
113103, 99, 111, 112syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))
11497, 101, 113ltled 11303 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
115 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑧 ∈ ℂ)
11694, 115ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117116abscld 15321 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
118 letr 11249 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
119117, 97, 101, 118syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
120114, 119mpan2d 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
121120ralrimdva 3151 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
12293, 121syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
123122ancld 551 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
124 ralunb 4151 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
125 undif2 4436 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = (𝐷 ∪ ℂ)
126 ssequn1 4140 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ ℂ ↔ (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ)
1272, 126mpbi 229 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ
128125, 127eqtri 2764 . . . . . 6 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = ℂ
129128raleqi 3311 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
130124, 129bitr3i 276 . . . 4 ((∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
131123, 130syl6ib 250 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
132131reximdva 3165 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
13388, 132mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  cun 3908  wss 3910   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  +crp 12915  (,)cioo 13264  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  ∞Metcxmet 20781  fldccnfld 20796  TopOnctopon 22259  Clsdccld 22367   Cn ccn 22575  Compccmp 22737  cnccncf 24239  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cls 22372  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552
This theorem is referenced by:  fta  26429
  Copyright terms: Public domain W3C validator