MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem3 25566
Description: Lemma for fta 25571. There exists a global minimum of the function abs ∘ 𝐹. The proof uses a circle of radius 𝑟 where 𝑟 is the value coming from ftalem1 25564; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem3.5 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
ftalem3.6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
ftalem3.7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftalem3.8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Assertion
Ref Expression
ftalem3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑧,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑦,𝐹,𝑧   𝑥,𝐽,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦)   𝑅(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
21ssrab3 4061 . . 3 𝐷 ⊆ ℂ
3 ftalem3.6 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtopon 23306 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
5 resttopon 21685 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
64, 2, 5mp2an 688 . . . . . 6 (𝐽t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
76toponunii 21440 . . . . 5 𝐷 = (𝐽t 𝐷)
8 eqid 2826 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
9 cnxmet 23296 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 0cn 10622 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
13 ftalem3.7 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1413rpxrd 12422 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
153cnfldtopn 23305 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
16 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1716cnmetdval 23294 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
1811, 17mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦)))
19 df-neg 10862 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑦 = (0 − 𝑦)
2019fveq2i 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘-𝑦) = (abs‘(0 − 𝑦))
21 absneg 14627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘-𝑦) = (abs‘𝑦))
2220, 21syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘(0 − 𝑦)) = (abs‘𝑦))
2318, 22eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘𝑦))
2423breq1d 5073 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → ((0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅))
2524rabbiia 3478 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (abs‘𝑦) ≤ 𝑅}
261, 25eqtr4i 2852 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (0(abs ∘ − )𝑦) ≤ 𝑅}
2715, 26blcld 23030 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2810, 12, 14, 27syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
2913rpred 12421 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 fveq2 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝑥))
3130breq1d 5073 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3231, 1elrab2 3687 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
3332simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
3433rgen 3153 . . . . . . 7 𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅
35 brralrspcev 5123 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑅) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
3629, 34, 35sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)
37 eqid 2826 . . . . . . . 8 (𝐽t 𝐷) = (𝐽t 𝐷)
383, 37cnheibor 23474 . . . . . . 7 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠)))
392, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥𝐷 (abs‘𝑥) ≤ 𝑠))
4028, 36, 39sylanbrc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
41 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
42 plycn 24766 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
44 abscncf 23424 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
4643, 45cncfco 23430 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (ℂ–cn→ℝ))
47 ssid 3993 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
48 ax-resscn 10583 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
494toponrestid 21445 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐽t ℂ)
503tgioo2 23326 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
513, 49, 50cncfcn 23432 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
5247, 48, 51mp2an 688 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGen‘ran (,)))
5346, 52syl6eleq 2928 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))))
544toponunii 21440 . . . . . . 7 ℂ = 𝐽
5554cnrest 21809 . . . . . 6 (((abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
5653, 2, 55sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷) ∈ ((𝐽t 𝐷) Cn (topGen‘ran (,))))
5713rpge0d 12425 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
58 fveq2 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = (abs‘0))
59 abs0 14635 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
6058, 59syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → (abs‘𝑦) = 0)
6160breq1d 5073 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → ((abs‘𝑦) ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
6261, 1elrab2 3687 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ ℂ ∧ 0 ≤ 𝑅))
6312, 57, 62sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ 𝐷)
6463ne0d 4305 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
657, 8, 40, 56, 64evth2 23479 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥))
66 fvres 6686 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
6766ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧))
68 plyf 24703 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
6941, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
7069ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
71 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧𝐷)
722, 71sseldi 3969 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑧 ∈ ℂ)
73 fvco3 6757 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7470, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7567, 74eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) = (abs‘(𝐹𝑧)))
76 fvres 6686 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
7776adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
78 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
792, 78sseldi 3969 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ℂ)
80 fvco3 6757 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8170, 79, 80syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8277, 81eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑥)))
8375, 82breq12d 5076 . . . . . 6 (((𝜑𝑧𝐷) ∧ 𝑥𝐷) → ((((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8483ralbidva 3201 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐷) → (∀𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8584rexbidva 3301 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑧) ≤ (((abs ∘ 𝐹) ↾ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
8665, 85mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
87 ssrexv 4038 . . 3 (𝐷 ⊆ ℂ → (∃𝑧𝐷𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
882, 86, 87mpsyl 68 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8963adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ 𝐷)
90 2fveq3 6672 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘0)))
9190breq2d 5075 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9291rspcv 3622 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9389, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0))))
9469ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
95 ffvelrn 6845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
9694, 11, 95sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
9796abscld 14786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
98 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷))
9998eldifad 3952 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10094, 99ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
101100abscld 14786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
102 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
103102ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
10498eldifbd 3953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
10532baib 536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
10699, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑥𝐷 ↔ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
107104, 106mtbid 325 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅)
10829ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ)
10999abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
110108, 109ltnled 10776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝑅 < (abs‘𝑥) ↔ ¬ (abs‘𝑥) ≤ 𝑅))
111107, 110mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑅 < (abs‘𝑥))
112 rsp 3210 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑅 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
113103, 99, 111, 112syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))
11497, 101, 113ltled 10777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
115 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → 𝑧 ∈ ℂ)
11694, 115ffvelrnd 6848 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
117116abscld 14786 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
118 letr 10723 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
119117, 97, 101, 118syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → (((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) ∧ (abs‘(𝐹‘0)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
120114, 119mpan2d 690 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
121120ralrimdva 3194 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘0)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
12293, 121syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
123122ancld 551 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))))
124 ralunb 4171 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
125 undif2 4428 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = (𝐷 ∪ ℂ)
126 ssequn1 4160 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ ℂ ↔ (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ)
1272, 126mpbi 231 . . . . . . 7 (𝐷 ∪ ℂ) = ℂ
128125, 127eqtri 2849 . . . . . 6 (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷)) = ℂ
129128raleqi 3419 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐷 ∪ (ℂ ∖ 𝐷))(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
130124, 129bitr3i 278 . . . 4 ((∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ 𝐷)(abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
131123, 130syl6ib 252 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
132131reximdva 3279 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥𝐷 (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)) → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
13388, 132mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  {crab 3147  cdif 3937  cun 3938  wss 3940   class class class wbr 5063  ran crn 5555  cres 5556  ccom 5558  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860  cn 11627  +crp 12379  (,)cioo 12728  abscabs 14583  t crest 16684  TopOpenctopn 16685  topGenctg 16701  ∞Metcxmet 20446  fldccnfld 20461  TopOnctopon 21434  Clsdccld 21540   Cn ccn 21748  Compccmp 21910  cnccncf 23399  Polycply 24689  coeffccoe 24691  degcdgr 24692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-cls 21545  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-0p 24186  df-ply 24693  df-coe 24695  df-dgr 24696
This theorem is referenced by:  fta  25571
  Copyright terms: Public domain W3C validator