MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem3 26579
Description: Lemma for fta 26584. There exists a global minimum of the function abs ∘ 𝐹. The proof uses a circle of radius π‘Ÿ where π‘Ÿ is the value coming from ftalem1 26577; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
ftalem.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
ftalem.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
ftalem.4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
ftalem3.5 𝐷 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅}
ftalem3.6 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftalem3.7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
ftalem3.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
ftalem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑧,𝐷   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑦,𝐹,𝑧   π‘₯,𝐽,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐷(𝑦)   𝑅(𝑧)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4 𝐷 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅}
21ssrab3 4081 . . 3 𝐷 βŠ† β„‚
3 ftalem3.6 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43cnfldtopon 24299 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
5 resttopon 22665 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
64, 2, 5mp2an 691 . . . . . 6 (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·)
76toponunii 22418 . . . . 5 𝐷 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐷)
8 eqid 2733 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
9 cnxmet 24289 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
109a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
11 0cn 11206 . . . . . . . 8 0 ∈ β„‚
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
13 ftalem3.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
1413rpxrd 13017 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
153cnfldtopn 24298 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
1716cnmetdval 24287 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)))
1811, 17mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)))
19 df-neg 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝑦 = (0 βˆ’ 𝑦)
2019fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (absβ€˜-𝑦) = (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦))
21 absneg 15224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜-𝑦) = (absβ€˜π‘¦))
2220, 21eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ 𝑦)) = (absβ€˜π‘¦))
2318, 22eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜π‘¦))
2423breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ ((0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅))
2524rabbiia 3437 . . . . . . . . 9 {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) ≀ 𝑅} = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅}
261, 25eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 𝐷 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (0(abs ∘ βˆ’ )𝑦) ≀ 𝑅}
2715, 26blcld 24014 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2810, 12, 14, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½))
2913rpred 13016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
30 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜π‘₯))
3130breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3231, 1elrab2 3687 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
3332simprbi 498 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
3433rgen 3064 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅
35 brralrspcev 5209 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠)
3629, 34, 35sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠)
37 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt 𝐷) = (𝐽 β†Ύt 𝐷)
383, 37cnheibor 24471 . . . . . . 7 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠)))
392, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ Comp ↔ (𝐷 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘  ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑠))
4028, 36, 39sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐷) ∈ Comp)
41 ftalem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
42 plycn 25775 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
44 abscncf 24417 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
4544a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
4643, 45cncfco 24423 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ (ℂ–cn→ℝ))
47 ssid 4005 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
48 ax-resscn 11167 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
494toponrestid 22423 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝐽 β†Ύt β„‚)
503tgioo2 24319 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐽 β†Ύt ℝ)
513, 49, 50cncfcn 24426 . . . . . . . 8 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
5247, 48, 51mp2an 691 . . . . . . 7 (ℂ–cn→ℝ) = (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,)))
5346, 52eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
544toponunii 22418 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ 𝐽
5554cnrest 22789 . . . . . 6 (((abs ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐷) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
5653, 2, 55sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐷) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
5713rpge0d 13020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 β†’ (absβ€˜π‘¦) = (absβ€˜0))
59 abs0 15232 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜0) = 0
6058, 59eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (absβ€˜π‘¦) = 0)
6160breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ ((absβ€˜π‘¦) ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ 𝑅))
6261, 1elrab2 3687 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 ↔ (0 ∈ β„‚ ∧ 0 ≀ 𝑅))
6312, 57, 62sylanbrc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐷)
6463ne0d 4336 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
657, 8, 40, 56, 64evth2 24476 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯))
66 fvres 6911 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
6766ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§))
68 plyf 25712 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
6941, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
71 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
722, 71sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
73 fvco3 6991 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7470, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7567, 74eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
76 fvres 6911 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
7776adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯))
78 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
792, 78sselid 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
80 fvco3 6991 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8170, 79, 80syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((abs ∘ 𝐹)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8277, 81eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8375, 82breq12d 5162 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ ((((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8483ralbidva 3176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8584rexbidva 3177 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘§) ≀ (((abs ∘ 𝐹) β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
8665, 85mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
87 ssrexv 4052 . . 3 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
882, 86, 87mpsyl 68 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8963adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ 𝐷)
90 2fveq3 6897 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 0 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (absβ€˜(πΉβ€˜0)))
9190breq2d 5161 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0))))
9291rspcv 3609 . . . . . . 7 (0 ∈ 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0))))
9389, 92syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0))))
9469ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
95 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
9694, 11, 95sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„‚)
9796abscld 15383 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∈ ℝ)
98 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷))
9998eldifad 3961 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
10094, 99ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
101100abscld 15383 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
102 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
10498eldifbd 3962 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐷)
10532baib 537 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
10699, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
107104, 106mtbid 324 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅)
10829ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
10999abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
110108, 109ltnled 11361 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (absβ€˜π‘₯) ≀ 𝑅))
111107, 110mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝑅 < (absβ€˜π‘₯))
112 rsp 3245 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑅 < (absβ€˜π‘₯) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
113103, 99, 111, 112syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) < (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
11497, 101, 113ltled 11362 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
115 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
11694, 115ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
117116abscld 15383 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
118 letr 11308 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
119117, 97, 101, 118syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ (((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
120114, 119mpan2d 693 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
121120ralrimdva 3155 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜0)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
12293, 121syld 47 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
123122ancld 552 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
124 ralunb 4192 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
125 undif2 4477 . . . . . . 7 (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷)) = (𝐷 βˆͺ β„‚)
126 ssequn1 4181 . . . . . . . 8 (𝐷 βŠ† β„‚ ↔ (𝐷 βˆͺ β„‚) = β„‚)
1272, 126mpbi 229 . . . . . . 7 (𝐷 βˆͺ β„‚) = β„‚
128125, 127eqtri 2761 . . . . . 6 (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷)) = β„‚
129128raleqi 3324 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐷 βˆͺ (β„‚ βˆ– 𝐷))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
130124, 129bitr3i 277 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– 𝐷)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
131123, 130imbitrdi 250 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
132131reximdva 3169 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
13388, 132mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520   Cn ccn 22728  Compccmp 22890  β€“cnβ†’ccncf 24392  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  fta  26584
  Copyright terms: Public domain W3C validator