Theorem fsequb 14016

Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsequb	⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem fsequb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 14013	. . 3 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2		fimaxre3 12214	. . 3 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦)
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦)
4		r19.26 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦))
5		peano2re 11434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
6		ltp1 12107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
11		lelttr 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
13	7, 12	mpan2d 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
14	13	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
15	14	ralimdv 3169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
16		brralrspcev 5203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)
17	5, 15, 16	syl6an 684	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
18	4, 17	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
19	18	expd 415	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)))
20	19	impcom 407	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
21	20	rexlimdva 3155	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
22	3, 21	mpd 15	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by: (None)