Theorem fsequb 13935

Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsequb	⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem fsequb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13932	. . 3 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2		fimaxre3 12100	. . 3 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦)
3	1, 2	mpan 696	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦)
4		r19.26 3100	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦))
5		peano2re 11317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
6		ltp1 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
11		lelttr 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
13	7, 12	mpan2d 700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
14	13	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
15	14	ralimdv 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
16		brralrspcev 5139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)
17	5, 15, 16	syl6an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
18	4, 17	biimtrrid 244	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
19	18	expd 416	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)))
20	19	impcom 408	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
21	20	rexlimdva 3141	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
22	3, 21	mpd 15	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  ...cfz 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460

This theorem is referenced by: (None)