Theorem fsequb 13985

Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsequb	⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem fsequb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13982	. . 3 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2		fimaxre3 12135	. . 3 ⊢ (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦)
3	1, 2	mpan 700	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦)
4		r19.26 3121	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦))
5		peano2re 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
6		ltp1 12028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
9		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	5	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
11		lelttr 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
13	7, 12	mpan2d 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
14	13	expimpd 457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → (𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
15	14	ralimdv 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)))
16		brralrspcev 5159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < (𝑦 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)
17	5, 15, 16	syl6an 694	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
18	4, 17	biimtrrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
19	18	expd 419	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)))
20	19	impcom 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
21	20	rexlimdva 3162	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥))
22	3, 21	mpd 15	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  ℝcr 11069  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214  ...cfz 13509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510

This theorem is referenced by: (None)