MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsequb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsequb 13941
Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsequb (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem fsequb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13938 . . 3 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
2 fimaxre3 12159 . . 3 (((𝑀...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦)
31, 2mpan 687 . 2 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦)
4 r19.26 3103 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦))
5 peano2re 11386 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
6 ltp1 12053 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
11 lelttr 11303 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 1) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
128, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘) ≤ 𝑦𝑦 < (𝑦 + 1)) → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
137, 12mpan2d 691 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
1413expimpd 453 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → (𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
1514ralimdv 3161 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)))
16 brralrspcev 5199 . . . . . . 7 (((𝑦 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < (𝑦 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)
175, 15, 16syl6an 681 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
184, 17biimtrrid 242 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
1918expd 415 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)))
2019impcom 407 . . 3 ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
2120rexlimdva 3147 . 2 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ≤ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥))
223, 21mpd 15 1 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11247  cle 11248  ...cfz 13485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator