Theorem rge0scvg 34055

Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16847. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rge0scvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12788	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12520	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
3		rge0ssre 13370	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4		fss 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
5	3, 4	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7027	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
7	1, 2, 6	serfre 13952	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
8	7	frnd 6668	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
10		1nn 12154	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
11		fdm 6669	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → dom seq1( + , 𝐹) = ℕ)
12	10, 11	eleqtrrid 2841	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13		ne0i 4291	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
14		dm0rn0 5871	. . . . . 6 ⊢ (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
15	14	necon3bii 2982	. . . . 5 ⊢ (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
16	13, 15	sylib 218	. . . 4 ⊢ (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
17	7, 12, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19		1zzd 12520	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
20		climdm 15475	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
21	20	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
23	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7027	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
25	1, 19, 22, 24	climrecl 15504	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
27	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
28		simplll 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
29		ffvelcdm 7024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞))
30	3, 29	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
31	28, 30	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
32		elrege0 13368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
36	35	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
37	1, 26, 27, 31, 36	climserle 15584	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
38	37	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
39		brralrspcev 5156	. . . 4 ⊢ ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
40	25, 38, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
41		ffn 6660	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
42		breq1 5099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
43	42	ralrn 7031	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
44	7, 41, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
45	44	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
46	45	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
47	40, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥)
48		suprcl 12100	. 2 ⊢ ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
49	9, 18, 47, 48	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  ran crn 5623   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  supcsup 9341  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027  +∞cpnf 11161   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  [,)cico 13261  seqcseq 13922   ⇝ cli 15405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ico 13265  df-fz 13422  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-rlim 15410

This theorem is referenced by: (None)