Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0scvg 33948
Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16959. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
3 rge0ssre 13496 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 fss 6752 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
53, 4mpan2 691 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
65ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 14072 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
87frnd 6744 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
98adantr 480 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
10 1nn 12277 . . . . 5 1 ∈ ℕ
11 fdm 6745 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → dom seq1( + , 𝐹) = ℕ)
1210, 11eleqtrrid 2848 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13 ne0i 4341 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5935 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
1514necon3bii 2993 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
1613, 15sylib 218 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
177, 12, 163syl 18 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
1817adantr 480 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19 1zzd 12648 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
20 climdm 15590 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2120biimpi 216 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
237adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2423ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
251, 19, 22, 24climrecl 15619 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2722adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
28 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
29 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞))
303, 29sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
3128, 30sylancom 588 . . . . . 6 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
32 elrege0 13494 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑗)))
3332simprbi 496 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3534adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3635adantlr 715 . . . . . 6 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
371, 26, 27, 31, 36climserle 15699 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
3837ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
39 brralrspcev 5203 . . . 4 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
4025, 38, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
41 ffn 6736 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
42 breq1 5146 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4342ralrn 7108 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
447, 41, 433syl 18 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4544rexbidv 3179 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4645adantr 480 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4740, 46mpbird 257 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
48 suprcl 12228 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
499, 18, 47, 48syl3anc 1373 1 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  [,)cico 13389  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator