Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rge0scvg 33458
Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16860. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12866 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12594 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 1 ∈ β„€)
3 rge0ssre 13436 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4 fss 6727 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
53, 4mpan2 688 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7079 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 13999 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
87frnd 6718 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
98adantr 480 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
10 1nn 12224 . . . . 5 1 ∈ β„•
11 fdm 6719 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ dom seq1( + , 𝐹) = β„•)
1210, 11eleqtrrid 2834 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13 ne0i 4329 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
14 dm0rn0 5917 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) = βˆ…)
1514necon3bii 2987 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1613, 15sylib 217 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
177, 12, 163syl 18 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1817adantr 480 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
19 1zzd 12594 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
20 climdm 15501 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2120biimpi 215 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2221adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
237adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
2423ffvelcdmda 7079 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
251, 19, 22, 24climrecl 15530 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2722adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
28 simplll 772 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
29 ffvelcdm 7076 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
303, 29sselid 3975 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
3128, 30sylancom 587 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
32 elrege0 13434 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3332simprbi 496 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3534adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3635adantlr 712 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
371, 26, 27, 31, 36climserle 15612 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
3837ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
39 brralrspcev 5201 . . . 4 ((( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
4025, 38, 39syl2anc 583 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
41 ffn 6710 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ seq1( + , 𝐹) Fn β„•)
42 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4342ralrn 7082 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
447, 41, 433syl 18 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4544rexbidv 3172 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4645adantr 480 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4740, 46mpbird 257 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯)
48 suprcl 12175 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
499, 18, 47, 48syl3anc 1368 1 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11246   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  [,)cico 13329  seqcseq 13969   ⇝ cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator