Theorem rge0scvg 34248

Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16959. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rge0scvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12880	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12604	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
3		rge0ssre 13462	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4		fss 6710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
5	3, 4	mpan2 701	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7067	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
7	1, 2, 6	serfre 14046	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
8	7	frnd 6702	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
9	8	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
10		1nn 12223	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
11		fdm 6703	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → dom seq1( + , 𝐹) = ℕ)
12	10, 11	eleqtrrid 2871	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13		ne0i 4295	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
14		dm0rn0 5902	. . . . . 6 ⊢ (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
15	14	necon3bii 3011	. . . . 5 ⊢ (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
16	13, 15	sylib 220	. . . 4 ⊢ (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
17	7, 12, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
18	17	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19		1zzd 12604	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
20		climdm 15583	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
21	20	bilani 508	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
22	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
23	22	ffvelcdmda 7067	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
24	1, 19, 21, 23	climrecl 15612	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
25		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
26	21	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
27		simplll 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
28		ffvelcdm 7064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞))
29	3, 28	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
30	27, 29	sylancom 597	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
31		elrege0 13460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑗)))
32	31	simprbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	33	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
36	1, 25, 26, 30, 35	climserle 15692	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
37	36	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
38		brralrspcev 5162	. . . 4 ⊢ ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
39	24, 37, 38	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
40		ffn 6693	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
41		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
42	41	ralrn 7071	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
43	7, 40, 42	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
44	43	rexbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
45	44	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
46	39, 45	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥)
47		suprcl 12154	. 2 ⊢ ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
48	9, 18, 46, 47	syl3anc 1392	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  ran crn 5650   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  supcsup 9388  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  +∞cpnf 11215   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  [,)cico 13353  seqcseq 14016   ⇝ cli 15513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518

This theorem is referenced by: (None)