Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rge0scvg 32924
Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16853. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12592 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 1 ∈ β„€)
3 rge0ssre 13432 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4 fss 6734 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
53, 4mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 13996 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
87frnd 6725 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
98adantr 481 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
10 1nn 12222 . . . . 5 1 ∈ β„•
11 fdm 6726 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ dom seq1( + , 𝐹) = β„•)
1210, 11eleqtrrid 2840 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13 ne0i 4334 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
14 dm0rn0 5924 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) = βˆ…)
1514necon3bii 2993 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1613, 15sylib 217 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
177, 12, 163syl 18 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1817adantr 481 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
19 1zzd 12592 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
20 climdm 15497 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2120biimpi 215 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2221adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
237adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
2423ffvelcdmda 7086 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
251, 19, 22, 24climrecl 15526 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2722adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
28 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
29 ffvelcdm 7083 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
303, 29sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
3128, 30sylancom 588 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
32 elrege0 13430 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3332simprbi 497 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3534adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3635adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
371, 26, 27, 31, 36climserle 15608 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
3837ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
39 brralrspcev 5208 . . . 4 ((( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
4025, 38, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
41 ffn 6717 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ seq1( + , 𝐹) Fn β„•)
42 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4342ralrn 7089 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
447, 41, 433syl 18 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4544rexbidv 3178 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4645adantr 481 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4740, 46mpbird 256 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯)
48 suprcl 12173 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
499, 18, 47, 48syl3anc 1371 1 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  [,)cico 13325  seqcseq 13965   ⇝ cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator