Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rge0scvg 33583
Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16897. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12903 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12631 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 1 ∈ β„€)
3 rge0ssre 13473 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4 fss 6744 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
53, 4mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 14036 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
87frnd 6735 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
98adantr 479 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
10 1nn 12261 . . . . 5 1 ∈ β„•
11 fdm 6736 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ dom seq1( + , 𝐹) = β„•)
1210, 11eleqtrrid 2836 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13 ne0i 4338 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
14 dm0rn0 5931 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) = βˆ…)
1514necon3bii 2990 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1613, 15sylib 217 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
177, 12, 163syl 18 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1817adantr 479 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
19 1zzd 12631 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
20 climdm 15538 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2120biimpi 215 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2221adantl 480 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
237adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
2423ffvelcdmda 7099 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
251, 19, 22, 24climrecl 15567 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2722adantr 479 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
28 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
29 ffvelcdm 7096 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
303, 29sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
3128, 30sylancom 586 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
32 elrege0 13471 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3332simprbi 495 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3534adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3635adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
371, 26, 27, 31, 36climserle 15649 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
3837ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
39 brralrspcev 5212 . . . 4 ((( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
4025, 38, 39syl2anc 582 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
41 ffn 6727 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ seq1( + , 𝐹) Fn β„•)
42 breq1 5155 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4342ralrn 7103 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
447, 41, 433syl 18 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4544rexbidv 3176 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4645adantr 479 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4740, 46mpbird 256 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯)
48 suprcl 12212 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
499, 18, 47, 48syl3anc 1368 1 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  supcsup 9471  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  +∞cpnf 11283   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  [,)cico 13366  seqcseq 14006   ⇝ cli 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator