Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0scvg 32594
Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16801. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12814 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12542 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 1 ∈ β„€)
3 rge0ssre 13382 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
4 fss 6689 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
53, 4mpan2 690 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 13946 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
87frnd 6680 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
98adantr 482 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ)
10 1nn 12172 . . . . 5 1 ∈ β„•
11 fdm 6681 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ dom seq1( + , 𝐹) = β„•)
1210, 11eleqtrrid 2841 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13 ne0i 4298 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
14 dm0rn0 5884 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) = βˆ…)
1514necon3bii 2993 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ↔ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1613, 15sylib 217 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
177, 12, 163syl 18 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
1817adantr 482 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ…)
19 1zzd 12542 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ 1 ∈ β„€)
20 climdm 15445 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2120biimpi 215 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
2221adantl 483 . . . . 5 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
237adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„)
2423ffvelcdmda 7039 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
251, 19, 22, 24climrecl 15474 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2722adantr 482 . . . . . 6 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
28 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞))
29 ffvelcdm 7036 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞))
303, 29sselid 3946 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
3128, 30sylancom 589 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
32 elrege0 13380 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3332simprbi 498 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3534adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
3635adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘—))
371, 26, 27, 31, 36climserle 15556 . . . . 5 (((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
3837ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)))
39 brralrspcev 5169 . . . 4 ((( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ ( ⇝ β€˜seq1( + , 𝐹))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
4025, 38, 39syl2anc 585 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
41 ffn 6672 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„ β†’ seq1( + , 𝐹) Fn β„•)
42 breq1 5112 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4342ralrn 7042 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
447, 41, 433syl 18 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4544rexbidv 3172 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4645adantr 482 . . 3 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
4740, 46mpbird 257 . 2 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯)
48 suprcl 12123 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) βŠ† ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
499, 18, 47, 48syl3anc 1372 1 ((𝐹:β„•βŸΆ(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) β†’ sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  ran crn 5638   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  +∞cpnf 11194   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  [,)cico 13275  seqcseq 13915   ⇝ cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator