Theorem rge0scvg 32197

Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16719. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rge0scvg	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12722	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12452	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
3		rge0ssre 13289	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4		fss 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
5	3, 4	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
7	1, 2, 6	serfre 13853	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
8	7	frnd 6659	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
10		1nn 12085	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
11		fdm 6660	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → dom seq1( + , 𝐹) = ℕ)
12	10, 11	eleqtrrid 2844	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13		ne0i 4281	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
14		dm0rn0 5866	. . . . . 6 ⊢ (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
15	14	necon3bii 2993	. . . . 5 ⊢ (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
16	13, 15	sylib 217	. . . 4 ⊢ (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
17	7, 12, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19		1zzd 12452	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
20		climdm 15362	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
21	20	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
22	21	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
23	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
25	1, 19, 22, 24	climrecl 15391	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
27	22	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
28		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
29		ffvelcdm 7015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞))
30	3, 29	sselid 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
31	28, 30	sylancom 588	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ)
32		elrege0 13287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑗)))
33	32	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
36	35	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑗))
37	1, 26, 27, 31, 36	climserle 15473	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
38	37	ralrimiva 3139	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
39		brralrspcev 5152	. . . 4 ⊢ ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
40	25, 38, 39	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
41		ffn 6651	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
42		breq1 5095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
43	42	ralrn 7020	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
44	7, 41, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
45	44	rexbidv 3171	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
46	45	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
47	40, 46	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥)
48		suprcl 12036	. 2 ⊢ ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧 ≤ 𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
49	9, 18, 47, 48	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  ran crn 5621   Fn wfn 6474  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  supcsup 9297  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  +∞cpnf 11107   < clt 11110   ≤ cle 11111  ℕcn 12074  [,)cico 13182  seqcseq 13822   ⇝ cli 15292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-ico 13186  df-fz 13341  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297

This theorem is referenced by: (None)