Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0scvg 32530
Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 16793. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
3 rge0ssre 13373 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 fss 6685 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
53, 4mpan2 689 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
65ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 13937 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
87frnd 6676 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
98adantr 481 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
10 1nn 12164 . . . . 5 1 ∈ ℕ
11 fdm 6677 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → dom seq1( + , 𝐹) = ℕ)
1210, 11eleqtrrid 2845 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
13 ne0i 4294 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5880 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
1514necon3bii 2996 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
1613, 15sylib 217 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
177, 12, 163syl 18 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
1817adantr 481 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19 1zzd 12534 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
20 climdm 15436 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2120biimpi 215 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2221adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
237adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2423ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
251, 19, 22, 24climrecl 15465 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
26 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2722adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
28 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
29 ffvelcdm 7032 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞))
303, 29sselid 3942 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
3128, 30sylancom 588 . . . . . 6 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
32 elrege0 13371 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑗)))
3332simprbi 497 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3429, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3534adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3635adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
371, 26, 27, 31, 36climserle 15547 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
3837ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
39 brralrspcev 5165 . . . 4 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
4025, 38, 39syl2anc 584 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
41 ffn 6668 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
42 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4342ralrn 7038 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
447, 41, 433syl 18 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4544rexbidv 3175 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4645adantr 481 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4740, 46mpbird 256 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
48 suprcl 12115 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
499, 18, 47, 48syl3anc 1371 1 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  [,)cico 13266  seqcseq 13906  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator