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Theorem rexabslelem 41255
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabslelem.1 𝑥𝜑
rexabslelem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabslelem (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem
StepHypRef Expression
1 simp2 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2 rexabslelem.1 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
3 nfv 1896 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4 nfra1 3188 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
52, 3, 4nf3an 1887 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6 rexabslelem.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
763ad2antl1 1178 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86recnd 10522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
983ad2antl1 1178 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
109abscld 14634 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
111adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
127leabsd 14612 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13 rspa 3175 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14133ad2antl3 1180 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
157, 10, 11, 12, 14letrd 10650 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
1615ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴𝐵𝑦))
175, 16ralrimi 3185 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
18 brralrspcev 5028 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
191, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
201renegcld 10921 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
216adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23 absle 14513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
25243adantl3 1161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2614, 25mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦𝐵𝐵𝑦))
2726simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦𝐵)
2827ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴 → -𝑦𝐵))
295, 28ralrimi 3185 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵)
30 breq1 4971 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → (𝑧𝐵 ↔ -𝑦𝐵))
3130ralbidv 3166 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵))
3231rspcev 3561 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3320, 29, 32syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3419, 33jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
35343exp 1112 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))))
3635rexlimdv 3248 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
37 renegcl 10803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
4140ad5ant24 757 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42 nfv 1896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤 ∈ ℝ
432, 42nfan 1885 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
44 nfra1 3188 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑤
4543, 44nfan 1885 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
46 nfv 1896 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
4745, 46nfan 1885 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48 nfra1 3188 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝑧𝐵
4947, 48nfan 1885 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
5040ad5ant23 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
5150renegcld 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
536ad5ant15 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54 max2 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5539, 38, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5638, 40lenegd 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
5755, 56mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58 recn 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
6059negnegd 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
6157, 60breqtrd 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
6261ad5ant23 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63 rspa 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6463adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6551, 52, 53, 62, 64letrd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
6665adantl3r 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
676ad5ant15 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
6940ad5ant24 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70 rspa 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑤𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
7170ad4ant24 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
72 max1 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7339, 38, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7473ad5ant24 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7567, 68, 69, 71, 74letrd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7675adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7766, 76jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
786adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79783adant2 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8040adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81803adant3 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
8279, 81absled 14628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8382ad5ant135 1361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8477, 83mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
8584ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → (𝑥𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
8649, 85ralrimi 3185 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87 brralrspcev 5028 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8841, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8988exp31 420 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9089exp31 420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
9190rexlimdv 3248 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
9291imp 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9392rexlimdv 3248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9493imp 407 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9594anasss 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9695ex 413 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9736, 96impbid 213 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wnf 1769  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  ifcif 4387   class class class wbr 4968  cfv 6232  cc 10388  cr 10389  cle 10529  -cneg 10724  abscabs 14431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433
This theorem is referenced by:  rexabsle  41256
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