Theorem rexabslelem 45333

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabslelem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabslelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabslelem	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2		rexabslelem.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4		nfra1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
5	2, 3, 4	nf3an 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6		rexabslelem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
11	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	7	leabsd 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13		rspa 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14	13	3ad2antl3 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
15	7, 10, 11, 12, 14	letrd 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝑦))
17	5, 16	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
18		brralrspcev 5226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
19	1, 17, 18	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
20	1	renegcld 11717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	6	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23		absle 15364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
24	21, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
25	24	3adantl3 1168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
26	14, 25	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦))
27	26	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑦 ≤ 𝐵)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑦 ≤ 𝐵))
29	5, 28	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵)
30		breq1 5169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 ≤ 𝐵 ↔ -𝑦 ≤ 𝐵))
31	30	ralbidv 3184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵))
32	31	rspcev 3635	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
33	20, 29, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
34	19, 33	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
35	34	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))))
36	35	rexlimdv 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
37		renegcl 11599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
41	40	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ℝ
43	2, 42	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
44		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤
45	43, 44	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
46		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
47	45, 46	nfan 1898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48		nfra1 3290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵
49	47, 48	nfan 1898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
50	40	ad5ant23 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
53	6	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		max2 13249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
55	39, 38, 54	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
56	38, 40	lenegd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
57	55, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58		recn 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	59	negnegd 11638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
61	57, 60	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
62	61	ad5ant23 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
64	63	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
65	51, 52, 53, 62, 64	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
66	65	adantl3r 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
67	6	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
69	40	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
71	70	ad4ant24 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
72		max1 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
73	39, 38, 72	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
74	73	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
75	67, 68, 69, 71, 74	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
76	75	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
77	66, 76	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
78	6	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	78	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	40	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81	80	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
82	79, 81	absled 15479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
83	82	ad5ant135 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
84	77, 83	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
86	49, 85	ralrimi 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87		brralrspcev 5226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
88	41, 86, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
89	88	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
90	89	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
91	90	rexlimdv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
92	91	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
93	92	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
95	94	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
96	95	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
97	36, 96	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  ℂcc 11182  ℝcr 11183   ≤ cle 11325  -cneg 11521  abscabs 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by:  rexabsle  45334