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Theorem rexabslelem 44128
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabslelem.1 𝑥𝜑
rexabslelem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabslelem (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2 rexabslelem.1 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
3 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4 nfra1 3282 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
52, 3, 4nf3an 1905 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6 rexabslelem.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
763ad2antl1 1186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
983ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
109abscld 15383 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
111adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
127leabsd 15361 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13 rspa 3246 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14133ad2antl3 1188 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
157, 10, 11, 12, 14letrd 11371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
1615ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴𝐵𝑦))
175, 16ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
18 brralrspcev 5209 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
191, 17, 18syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
201renegcld 11641 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
216adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23 absle 15262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2421, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
25243adantl3 1169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2614, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦𝐵𝐵𝑦))
2726simpld 496 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦𝐵)
2827ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴 → -𝑦𝐵))
295, 28ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵)
30 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → (𝑧𝐵 ↔ -𝑦𝐵))
3130ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵))
3231rspcev 3613 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3320, 29, 32syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3419, 33jca 513 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
35343exp 1120 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))))
3635rexlimdv 3154 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
37 renegcl 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
4140ad5ant24 760 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤 ∈ ℝ
432, 42nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
44 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑤
4543, 44nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
46 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
4745, 46nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝑧𝐵
4947, 48nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
5040ad5ant23 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
5150renegcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
536ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54 max2 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5539, 38, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5638, 40lenegd 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58 recn 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
6059negnegd 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
6157, 60breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
6261ad5ant23 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6463adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6551, 52, 53, 62, 64letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
6665adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
676ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
6940ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑤𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
7170ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
72 max1 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7339, 38, 72syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7473ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7567, 68, 69, 71, 74letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7675adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7766, 76jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
786adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79783adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8040adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81803adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
8279, 81absled 15377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8382ad5ant135 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8477, 83mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
8584ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → (𝑥𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
8649, 85ralrimi 3255 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87 brralrspcev 5209 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8841, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8988exp31 421 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9089exp31 421 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
9190rexlimdv 3154 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
9291imp 408 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9392rexlimdv 3154 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9493imp 408 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9594anasss 468 . . 3 ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9695ex 414 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9736, 96impbid 211 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cfv 6544  cc 11108  cr 11109  cle 11249  -cneg 11445  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  rexabsle  44129
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