Theorem rexabslelem 43901

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabslelem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabslelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabslelem	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2		rexabslelem.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4		nfra1 3280	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
5	2, 3, 4	nf3an 1904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6		rexabslelem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6	recnd 11224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15365	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
11	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	7	leabsd 15343	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13		rspa 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14	13	3ad2antl3 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
15	7, 10, 11, 12, 14	letrd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
16	15	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝑦))
17	5, 16	ralrimi 3253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
18		brralrspcev 5201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
20	1	renegcld 11623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	6	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23		absle 15244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
25	24	3adantl3 1168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
26	14, 25	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦))
27	26	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑦 ≤ 𝐵)
28	27	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑦 ≤ 𝐵))
29	5, 28	ralrimi 3253	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵)
30		breq1 5144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 ≤ 𝐵 ↔ -𝑦 ≤ 𝐵))
31	30	ralbidv 3176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵))
32	31	rspcev 3609	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
33	20, 29, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
34	19, 33	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
35	34	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))))
36	35	rexlimdv 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
37		renegcl 11505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
41	40	ad5ant24 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ℝ
43	2, 42	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
44		nfra1 3280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤
45	43, 44	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
46		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
47	45, 46	nfan 1902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48		nfra1 3280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵
49	47, 48	nfan 1902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
50	40	ad5ant23 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
53	6	ad5ant15 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		max2 13148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
55	39, 38, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
56	38, 40	lenegd 11775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
57	55, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58		recn 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	59	negnegd 11544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
61	57, 60	breqtrd 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
62	61	ad5ant23 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63		rspa 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
64	63	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
65	51, 52, 53, 62, 64	letrd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
66	65	adantl3r 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
67	6	ad5ant15 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
69	40	ad5ant24 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70		rspa 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
71	70	ad4ant24 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
72		max1 13146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
73	39, 38, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
74	73	ad5ant24 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
75	67, 68, 69, 71, 74	letrd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
76	75	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
77	66, 76	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
78	6	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	78	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	40	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81	80	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
82	79, 81	absled 15359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
83	82	ad5ant135 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
84	77, 83	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
85	84	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
86	49, 85	ralrimi 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87		brralrspcev 5201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
88	41, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
89	88	exp31 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
90	89	exp31 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
91	90	rexlimdv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
92	91	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
93	92	rexlimdv 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
94	93	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
95	94	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
96	95	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
97	36, 96	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ifcif 4522   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  ℂcc 11090  ℝcr 11091   ≤ cle 11231  -cneg 11427  abscabs 15163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9419  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-seq 13949  df-exp 14010  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165

This theorem is referenced by:  rexabsle  43902