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Theorem rexabslelem 45434
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabslelem.1 𝑥𝜑
rexabslelem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabslelem (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2 rexabslelem.1 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
3 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4 nfra1 3283 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
52, 3, 4nf3an 1900 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6 rexabslelem.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
763ad2antl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86recnd 11290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
983ad2antl1 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
109abscld 15476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
111adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
127leabsd 15454 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13 rspa 3247 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14133ad2antl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
157, 10, 11, 12, 14letrd 11419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
1615ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴𝐵𝑦))
175, 16ralrimi 3256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
18 brralrspcev 5202 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
191, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
201renegcld 11691 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
216adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23 absle 15355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
25243adantl3 1168 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2614, 25mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦𝐵𝐵𝑦))
2726simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦𝐵)
2827ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴 → -𝑦𝐵))
295, 28ralrimi 3256 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵)
30 breq1 5145 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → (𝑧𝐵 ↔ -𝑦𝐵))
3130ralbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵))
3231rspcev 3621 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3320, 29, 32syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3419, 33jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
35343exp 1119 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))))
3635rexlimdv 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
37 renegcl 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
4140ad5ant24 760 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤 ∈ ℝ
432, 42nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
44 nfra1 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑤
4543, 44nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
46 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
4745, 46nfan 1898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48 nfra1 3283 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝑧𝐵
4947, 48nfan 1898 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
5040ad5ant23 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
5150renegcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
536ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54 max2 13230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5539, 38, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5638, 40lenegd 11843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
5755, 56mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58 recn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
6059negnegd 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
6157, 60breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
6261ad5ant23 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63 rspa 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6463adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6551, 52, 53, 62, 64letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
6665adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
676ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
6940ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70 rspa 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑤𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
7170ad4ant24 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
72 max1 13228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7339, 38, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7473ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7567, 68, 69, 71, 74letrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7675adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7766, 76jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
786adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79783adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8040adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81803adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
8279, 81absled 15470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8382ad5ant135 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8477, 83mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
8584ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → (𝑥𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
8649, 85ralrimi 3256 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87 brralrspcev 5202 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8841, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8988exp31 419 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9089exp31 419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
9190rexlimdv 3152 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
9291imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9392rexlimdv 3152 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9493imp 406 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9594anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9695ex 412 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9736, 96impbid 212 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wnf 1782  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6560  cc 11154  cr 11155  cle 11297  -cneg 11494  abscabs 15274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276
This theorem is referenced by:  rexabsle  45435
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