Theorem rexabslelem 41255

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabslelem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabslelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabslelem	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2		rexabslelem.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1896	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4		nfra1 3188	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
5	2, 3, 4	nf3an 1887	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6		rexabslelem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	3ad2antl1 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6	recnd 10522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl1 1178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	abscld 14634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
11	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	7	leabsd 14612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13		rspa 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14	13	3ad2antl3 1180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
15	7, 10, 11, 12, 14	letrd 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
16	15	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝑦))
17	5, 16	ralrimi 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
18		brralrspcev 5028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
20	1	renegcld 10921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	6	adantlr 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23		absle 14513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
25	24	3adantl3 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
26	14, 25	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦))
27	26	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑦 ≤ 𝐵)
28	27	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑦 ≤ 𝐵))
29	5, 28	ralrimi 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵)
30		breq1 4971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 ≤ 𝐵 ↔ -𝑦 ≤ 𝐵))
31	30	ralbidv 3166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵))
32	31	rspcev 3561	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
33	20, 29, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
34	19, 33	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
35	34	3exp 1112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))))
36	35	rexlimdv 3248	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
37		renegcl 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
41	40	ad5ant24 757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42		nfv 1896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ℝ
43	2, 42	nfan 1885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
44		nfra1 3188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤
45	43, 44	nfan 1885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
46		nfv 1896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
47	45, 46	nfan 1885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48		nfra1 3188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵
49	47, 48	nfan 1885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
50	40	ad5ant23 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
51	50	renegcld 10921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
53	6	ad5ant15 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		max2 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
55	39, 38, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
56	38, 40	lenegd 11073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
57	55, 56	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58		recn 10480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	59	negnegd 10842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
61	57, 60	breqtrd 4994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
62	61	ad5ant23 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63		rspa 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
64	63	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
65	51, 52, 53, 62, 64	letrd 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
66	65	adantl3r 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
67	6	ad5ant15 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simp-4r 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
69	40	ad5ant24 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70		rspa 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
71	70	ad4ant24 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
72		max1 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
73	39, 38, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
74	73	ad5ant24 757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
75	67, 68, 69, 71, 74	letrd 10650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
76	75	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
77	66, 76	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
78	6	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	78	3adant2 1124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	40	adantll 710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81	80	3adant3 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
82	79, 81	absled 14628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
83	82	ad5ant135 1361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
84	77, 83	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
85	84	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
86	49, 85	ralrimi 3185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87		brralrspcev 5028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
88	41, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
89	88	exp31 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
90	89	exp31 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
91	90	rexlimdv 3248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
92	91	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
93	92	rexlimdv 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
94	93	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
95	94	anasss 467	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
96	95	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
97	36, 96	impbid 213	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525  Ⅎwnf 1769   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  ifcif 4387   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  ℂcc 10388  ℝcr 10389   ≤ cle 10529  -cneg 10724  abscabs 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433

This theorem is referenced by:  rexabsle  41256