Theorem rexabslelem 46112

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabslelem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabslelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabslelem	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2		rexabslelem.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1944	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4		nfra1 3289	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
5	2, 3, 4	nf3an 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6		rexabslelem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6	recnd 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
11	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	7	leabsd 15468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13		rspa 3254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14	13	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
15	7, 10, 11, 12, 14	letrd 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
16	15	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝑦))
17	5, 16	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
18		brralrspcev 5172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
19	1, 17, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
20	1	renegcld 11642	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	6	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23		absle 15369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
24	21, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
25	24	3adantl3 1187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
26	14, 25	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦))
27	26	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑦 ≤ 𝐵)
28	27	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑦 ≤ 𝐵))
29	5, 28	ralrimi 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵)
30		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 ≤ 𝐵 ↔ -𝑦 ≤ 𝐵))
31	30	ralbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵))
32	31	rspcev 3582	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
33	20, 29, 32	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
34	19, 33	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
35	34	3exp 1137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))))
36	35	rexlimdv 3164	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
37		renegcl 11522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
41	40	ad5ant24 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ℝ
43	2, 42	nfan 1929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
44		nfra1 3289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤
45	43, 44	nfan 1929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
46		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
47	45, 46	nfan 1929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48		nfra1 3289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵
49	47, 48	nfan 1929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
50	40	ad5ant23 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
53	6	ad5ant15 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		max2 13214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
55	39, 38, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
56	38, 40	lenegd 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
57	55, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58		recn 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
59	58	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	59	negnegd 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
61	57, 60	breqtrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
62	61	ad5ant23 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
64	63	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
65	51, 52, 53, 62, 64	letrd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
66	65	adantl3r 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
67	6	ad5ant15 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
69	40	ad5ant24 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70		rspa 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
71	70	ad4ant24 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
72		max1 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
73	39, 38, 72	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
74	73	ad5ant24 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
75	67, 68, 69, 71, 74	letrd 11368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
76	75	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
77	66, 76	jca 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
78	6	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	78	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	40	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81	80	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
82	79, 81	absled 15486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
83	82	ad5ant135 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
84	77, 83	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
85	84	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
86	49, 85	ralrimi 3263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87		brralrspcev 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
88	41, 86, 87	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
89	88	exp31 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
90	89	exp31 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
91	90	rexlimdv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
92	91	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
93	92	rexlimdv 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
94	93	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
95	94	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
96	95	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
97	36, 96	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  ℝcr 11100   ≤ cle 11245  -cneg 11443  abscabs 15287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  rexabsle  46113