Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexabslelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexabslelem 45368
Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rexabslelem.1 𝑥𝜑
rexabslelem.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexabslelem (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2 rexabslelem.1 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
3 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4 nfra1 3282 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
52, 3, 4nf3an 1899 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6 rexabslelem.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
763ad2antl1 1184 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
983ad2antl1 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
109abscld 15472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
111adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
127leabsd 15450 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13 rspa 3246 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14133ad2antl3 1186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
157, 10, 11, 12, 14letrd 11416 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
1615ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴𝐵𝑦))
175, 16ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
18 brralrspcev 5208 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
191, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
201renegcld 11688 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
216adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23 absle 15351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
25243adantl3 1167 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦𝐵𝐵𝑦)))
2614, 25mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑦𝐵𝐵𝑦))
2726simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥𝐴) → -𝑦𝐵)
2827ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥𝐴 → -𝑦𝐵))
295, 28ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵)
30 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = -𝑦 → (𝑧𝐵 ↔ -𝑦𝐵))
3130ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵))
3231rspcev 3622 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 -𝑦𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3320, 29, 32syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
3419, 33jca 511 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))
35343exp 1118 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵))))
3635rexlimdv 3151 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
37 renegcl 11570 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
4140ad5ant24 761 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤 ∈ ℝ
432, 42nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑤 ∈ ℝ)
44 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑤
4543, 44nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤)
46 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 𝑧 ∈ ℝ
4745, 46nfan 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑥𝐴 𝑧𝐵
4947, 48nfan 1897 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)
5040ad5ant23 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
5150renegcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
536ad5ant15 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54 max2 13226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5539, 38, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
5638, 40lenegd 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
5755, 56mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
6059negnegd 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
6157, 60breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
6261ad5ant23 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝑧𝐵𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6463adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6551, 52, 53, 62, 64letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
6665adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
676ad5ant15 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
6940ad5ant24 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑤𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
7170ad4ant24 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑤)
72 max1 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7339, 38, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7473ad5ant24 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7567, 68, 69, 71, 74letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7675adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
7766, 76jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
786adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79783adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8040adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81803adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
8279, 81absled 15466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8382ad5ant135 1367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
8477, 83mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
8584ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → (𝑥𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
8649, 85ralrimi 3255 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87 brralrspcev 5208 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8841, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
8988exp31 419 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9089exp31 419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
9190rexlimdv 3151 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
9291imp 406 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
9392rexlimdv 3151 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9493imp 406 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9594anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
9695ex 412 . 2 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
9736, 96impbid 212 1 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  cc 11151  cr 11152  cle 11294  -cneg 11491  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  rexabsle  45369
  Copyright terms: Public domain W3C validator