Theorem rexabslelem 45658

Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexabslelem.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rexabslelem.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexabslelem	⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑦,𝑧   𝑤,𝐵,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑦,𝑧   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem rexabslelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2		rexabslelem.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ℝ
4		nfra1 3260	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦
5	2, 3, 4	nf3an 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
6		rexabslelem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	abscld 15362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
11	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	7	leabsd 15338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ (abs‘𝐵))
13		rspa 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
14	13	3ad2antl3 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
15	7, 10, 11, 12, 14	letrd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑦)
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝑦))
17	5, 16	ralrimi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦)
18		brralrspcev 5158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
20	1	renegcld 11564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
21	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
23		absle 15239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
25	24	3adantl3 1169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦)))
26	14, 25	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑦))
27	26	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝑦 ≤ 𝐵)
28	27	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑦 ≤ 𝐵))
29	5, 28	ralrimi 3234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵)
30		breq1 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (𝑧 ≤ 𝐵 ↔ -𝑦 ≤ 𝐵))
31	30	ralbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵))
32	31	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 -𝑦 ≤ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
33	20, 29, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
34	19, 33	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦) → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))
35	34	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵))))
36	35	rexlimdv 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))
37		renegcl 11444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℝ)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
40	38, 39	ifcld 4526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
41	40	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
42		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ℝ
43	2, 42	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)
44		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤
45	43, 44	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤)
46		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ ℝ
47	45, 46	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ)
48		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵
49	47, 48	nfan 1900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)
50	40	ad5ant23 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
51	50	renegcld 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
52		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
53	6	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
54		max2 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
55	39, 38, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
56	38, 40	lenegd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧))
57	55, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ --𝑧)
58		recn 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
60	59	negnegd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → --𝑧 = 𝑧)
61	57, 60	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
62	61	ad5ant23 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝑧)
63		rspa 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
64	63	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐵)
65	51, 52, 53, 62, 64	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
66	65	adantl3r 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵)
67	6	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
68		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
69	40	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
70		rspa 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
71	70	ad4ant24 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝑤)
72		max1 13100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ -𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
73	39, 38, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
74	73	ad5ant24 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑤 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
75	67, 68, 69, 71, 74	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
76	75	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
77	66, 76	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
78	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	78	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
80	40	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
81	80	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ)
82	79, 81	absled 15356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
83	82	ad5ant135 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ↔ (-if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))))
84	77, 83	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
85	84	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)))
86	49, 85	ralrimi 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤))
87		brralrspcev 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ if(𝑤 ≤ -𝑧, -𝑧, 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
88	41, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
89	88	exp31 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
90	89	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))))
91	90	rexlimdv 3135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))))
92	91	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)))
93	92	rexlimdv 3135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
94	93	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
95	94	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦)
96	95	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦))
97	36, 96	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (abs‘𝐵) ≤ 𝑦 ↔ (∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑤 ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ifcif 4479   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ℂcc 11024  ℝcr 11025   ≤ cle 11167  -cneg 11365  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  rexabsle  45659