Theorem maxprmfct 16679

Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
maxprmfct.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
maxprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxprmfct.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}
2	1	ssrab3 4022	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℙ
3		prmz 16644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3925	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℤ
5	2, 4	sstri 3931	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
7		exprmfct 16674	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁)
8		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
9	8, 1	elrab2 3637	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
10	9	exbii 1850	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
11		n0 4293	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
12		df-rex 3062	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
13	10, 11, 12	3bitr4ri 304	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ 𝑆 ≠ ∅)
14	7, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
15		eluzelz 12798	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		eluz2nn 12838	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	3	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
18	9, 17	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
19		dvdsle 16279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
20	19	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁)))
21	20	impd 410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
22	18, 21	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	22	ralrimiv 3128	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
24	16, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
25		brralrspcev 5145	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
26	15, 24, 25	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27	6, 14, 26	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12888	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
29	27, 28	jccir 521	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  supcsup 9353  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by: (None)