Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxprmfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem maxprmfct 15825
 Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
maxprmfct.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁}
Assertion
Ref Expression
maxprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct
StepHypRef Expression
1 maxprmfct.1 . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁}
21ssrab3 3908 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℙ
3 prmz 15794 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
43ssriv 3824 . . . . 5 ℙ ⊆ ℤ
52, 4sstri 3829 . . . 4 𝑆 ⊆ ℤ
65a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
7 exprmfct 15820 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁)
8 breq1 4889 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑁𝑦𝑁))
98, 1elrab2 3575 . . . . . 6 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
109exbii 1892 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
11 n0 4158 . . . . 5 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑆)
12 df-rex 3095 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
1310, 11, 123bitr4ri 296 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁𝑆 ≠ ∅)
147, 13sylib 210 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
15 eluzelz 12002 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
16 eluz2nn 12032 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
173anim1i 608 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁))
189, 17sylbi 209 . . . . . . 7 (𝑦𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁))
19 dvdsle 15439 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦𝑁𝑦𝑁))
2019expcom 404 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝑁𝑦𝑁)))
2120impd 400 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁))
2218, 21syl5 34 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦𝑆𝑦𝑁))
2322ralrimiv 3146 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁)
2416, 23syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁)
25 brralrspcev 4946 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
2615, 24, 25syl2anc 579 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
276, 14, 263jca 1119 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
28 suprzcl2 12085 . 2 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
2927, 28jccir 517 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  supcsup 8634  ℝcr 10271   < clt 10411   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  2c2 11430  ℤcz 11728  ℤ≥cuz 11992   ∥ cdvds 15387  ℙcprime 15790 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-prm 15791 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator