MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxprmfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem maxprmfct 16653
Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
maxprmfct.1 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁}
Assertion
Ref Expression
maxprmfct (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct
StepHypRef Expression
1 maxprmfct.1 . . . . . 6 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧𝑁}
21ssrab3 4075 . . . . 5 𝑆 ⊆ ℙ
3 prmz 16619 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
43ssriv 3981 . . . . 5 ℙ ⊆ ℤ
52, 4sstri 3986 . . . 4 𝑆 ⊆ ℤ
65a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
7 exprmfct 16648 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁)
8 breq1 5144 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑁𝑦𝑁))
98, 1elrab2 3681 . . . . . 6 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
109exbii 1842 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
11 n0 4341 . . . . 5 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑆)
12 df-rex 3065 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁))
1310, 11, 123bitr4ri 304 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑁𝑆 ≠ ∅)
147, 13sylib 217 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
15 eluzelz 12836 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
16 eluz2nn 12872 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
173anim1i 614 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁))
189, 17sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑦𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁))
19 dvdsle 16260 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦𝑁𝑦𝑁))
2019expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝑁𝑦𝑁)))
2120impd 410 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝑁))
2218, 21syl5 34 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦𝑆𝑦𝑁))
2322ralrimiv 3139 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁)
2416, 23syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁)
25 brralrspcev 5201 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
2615, 24, 25syl2anc 583 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥)
276, 14, 263jca 1125 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥))
28 suprzcl2 12926 . 2 ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
2927, 28jccir 521 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝑆 𝑦𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  {crab 3426  wss 3943  c0 4317   class class class wbr 5141  cfv 6537  supcsup 9437  cr 11111   < clt 11252  cle 11253  cn 12216  2c2 12271  cz 12562  cuz 12826  cdvds 16204  cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-prm 16616
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator