Theorem maxprmfct 16677

Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
maxprmfct.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
maxprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxprmfct.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}
2	1	ssrab3 4020	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℙ
3		prmz 16642	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3926	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℤ
5	2, 4	sstri 3931	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
7		exprmfct 16672	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁)
8		breq1 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
9	8, 1	elrab2 3639	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
10	9	exbii 1855	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
11		n0 4288	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
12		df-rex 3065	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
13	10, 11, 12	3bitr4ri 305	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ 𝑆 ≠ ∅)
14	7, 13	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
15		eluzelz 12796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		eluz2nn 12836	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	3	anim1i 621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
18	9, 17	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
19		dvdsle 16277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
20	19	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁)))
21	20	impd 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
22	18, 21	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	22	ralrimiv 3131	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
24	16, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
25		brralrspcev 5139	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
26	15, 24, 25	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27	6, 14, 26	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12886	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
29	27, 28	jccir 526	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {crab 3392   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  supcsup 9350  ℝcr 11035   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  2c2 12234  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786   ∥ cdvds 16219  ℙcprime 16638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-prm 16639

This theorem is referenced by: (None)