Theorem maxprmfct 16758

Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
maxprmfct.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
maxprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxprmfct.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}
2	1	ssrab3 4038	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℙ
3		prmz 16723	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3943	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℤ
5	2, 4	sstri 3948	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
7		exprmfct 16753	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁)
8		breq1 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
9	8, 1	elrab2 3657	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
10	9	exbii 1871	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
11		n0 4308	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
12		df-rex 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
13	10, 11, 12	3bitr4ri 307	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ 𝑆 ≠ ∅)
14	7, 13	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
15		eluzelz 12863	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		eluz2nn 12903	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	3	anim1i 626	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
18	9, 17	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
19		dvdsle 16358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
20	19	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁)))
21	20	impd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
22	18, 21	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	22	ralrimiv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
24	16, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
25		brralrspcev 5165	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
26	15, 24, 25	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27	6, 14, 26	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12953	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
29	27, 28	jccir 530	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  supcsup 9388  ℝcr 11087   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕcn 12224  2c2 12286  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853   ∥ cdvds 16300  ℙcprime 16719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-prm 16720

This theorem is referenced by: (None)