Theorem maxprmfct 15825

Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
maxprmfct.1	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
maxprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑧,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑧)

Proof of Theorem maxprmfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxprmfct.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℙ ∣ 𝑧 ∥ 𝑁}
2	1	ssrab3 3908	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ ℙ
3		prmz 15794	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3824	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℤ
5	2, 4	sstri 3829	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ ℤ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ⊆ ℤ)
7		exprmfct 15820	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁)
8		breq1 4889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑁 ↔ 𝑦 ∥ 𝑁))
9	8, 1	elrab2 3575	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
10	9	exbii 1892	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
11		n0 4158	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
12		df-rex 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
13	10, 11, 12	3bitr4ri 296	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑁 ↔ 𝑆 ≠ ∅)
14	7, 13	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑆 ≠ ∅)
15		eluzelz 12002	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		eluz2nn 12032	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	3	anim1i 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
18	9, 17	sylbi 209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁))
19		dvdsle 15439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
20	19	expcom 404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ∥ 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁)))
21	20	impd 400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∥ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
22	18, 21	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ≤ 𝑁))
23	22	ralrimiv 3146	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
24	16, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁)
25		brralrspcev 4946	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
26	15, 24, 25	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥)
27	6, 14, 26	3jca 1119	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥))
28		suprzcl2 12085	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
29	27, 28	jccir 517	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑆 ⊆ ℤ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ⊆ wss 3791  ∅c0 4140   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  supcsup 8634  ℝcr 10271   < clt 10411   ≤ cle 10412  ℕcn 11374  2c2 11430  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992   ∥ cdvds 15387  ℙcprime 15790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-prm 15791

This theorem is referenced by: (None)