Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg10c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg10c 37847
Description: TODO: FIX COMMENT. TODO: Can this be moved up as a stand-alone theorem in trl* area? (Contributed by NM, 4-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg8.l = (le‘𝐾)
cdlemg8.j = (join‘𝐾)
cdlemg8.m = (meet‘𝐾)
cdlemg8.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg8.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg10.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg10c (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ↔ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)))

Proof of Theorem cdlemg10c
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐹𝑇)
3 cdlemg8.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 cdlemg8.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemg8.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 cdlemg10.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6trlle 37392 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
81, 2, 7syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
98biantrud 535 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ↔ ((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊)))
10 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
1110hllatd 36572 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐾 ∈ Lat)
12 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 4, 5, 6trlcl 37372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
141, 2, 13syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
15 simp3r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝐺𝑇)
16 simp2ll 1237 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑃𝐴)
17 cdlemg8.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
183, 17, 4, 5ltrnat 37348 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
191, 15, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
20 simp2rl 1239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑄𝐴)
213, 17, 4, 5ltrnat 37348 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑄𝐴) → (𝐺𝑄) ∈ 𝐴)
221, 15, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐺𝑄) ∈ 𝐴)
23 cdlemg8.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2412, 23, 17hlatjcl 36575 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑄) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
2510, 19, 22, 24syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
26 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊𝐻)
2712, 4lhpbase 37206 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2826, 27syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
29 cdlemg8.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
3012, 3, 29latlem12 17686 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ↔ (𝑅𝐹) (((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) 𝑊)))
3111, 14, 25, 28, 30syl13anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ↔ (𝑅𝐹) (((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) 𝑊)))
3212, 23, 17hlatjcl 36575 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3310, 16, 20, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3412, 3, 29latlem12 17686 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ↔ (𝑅𝐹) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
3511, 14, 33, 28, 34syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ↔ (𝑅𝐹) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
368biantrud 535 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ (𝑅𝐹) 𝑊)))
373, 23, 29, 17, 4, 5cdlemg10b 37843 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐺𝑇) → (((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
38373adant3l 1177 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) 𝑊) = ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3938breq2d 5065 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) (((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) 𝑊) ↔ (𝑅𝐹) ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
4035, 36, 393bitr4rd 315 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) (((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) 𝑊) ↔ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)))
419, 31, 403bitrd 308 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ((𝐺𝑃) (𝐺𝑄)) ↔ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  lecple 16570  joincjn 17552  meetcmee 17553  Latclat 17653  Atomscatm 36471  HLchlt 36558  LHypclh 37192  LTrncltrn 37309  trLctrl 37366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-riotaBAD 36161
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-undef 7931  df-map 8400  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-lub 17582  df-glb 17583  df-join 17584  df-meet 17585  df-p0 17647  df-p1 17648  df-lat 17654  df-clat 17716  df-oposet 36384  df-ol 36386  df-oml 36387  df-covers 36474  df-ats 36475  df-atl 36506  df-cvlat 36530  df-hlat 36559  df-llines 36706  df-lplanes 36707  df-lvols 36708  df-lines 36709  df-psubsp 36711  df-pmap 36712  df-padd 37004  df-lhyp 37196  df-laut 37197  df-ldil 37312  df-ltrn 37313  df-trl 37367
This theorem is referenced by:  cdlemg10a  37848  cdlemg12d  37854
  Copyright terms: Public domain W3C validator