Theorem cdlemk12u-2N 41395

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 18, p. 119, showing Eq. 4 (line 10, p. 119) for the sigma₂ (𝑉) case. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
cdlemk2.v	⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk12u-2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ∧ ,𝑑   ∨ ,𝑑   𝐶,𝑑,𝑘   𝐺,𝑑,𝑘   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   𝑊,𝑑   ∧ ,𝑘   ≤ ,𝑘   ∨ ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑊   𝐹,𝑑   𝑋,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑑)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓,𝑑)   𝐾(𝑓,𝑑)   ≤ (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝑋(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk12u-2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1212	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3	1, 2	jca 517	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp211 1319	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
5		simp212 1320	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
6		simp213 1321	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp22l 1300	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
8		simp23l 1302	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
9	6, 7, 8	3jca 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
10		simp33 1219	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
11		simp13 1213	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
12		simp322 1332	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13		simp323 1333	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simp22r 1301	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
15	12, 13, 14	3jca 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simp23r 1303	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17		simp321 1331	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))
18	16, 17	jca 517	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋)))
19		simp31 1217	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)))
20		cdlemk2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
21		cdlemk2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22		cdlemk2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		cdlemk2.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24		cdlemk2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
25		cdlemk2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
26		cdlemk2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
27		cdlemk2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
28		cdlemk2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
29		cdlemk2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
30		cdlemk2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))
31	20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30	cdlemk12u 41377	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))))
32	3, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 31	syl333anc 1411	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155   I cid 5514  ^◡ccnv 5619   ↾ cres 5622   ∘ ccom 5624  ‘cfv 6488  ℩crio 7315  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  Atomscatm 39768  HLchlt 39855  LHypclh 40489  LTrncltrn 40606  trLctrl 40663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-riotaBAD 39458

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8769  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39681  df-ol 39683  df-oml 39684  df-covers 39771  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856  df-llines 40003  df-lplanes 40004  df-lvols 40005  df-lines 40006  df-psubsp 40008  df-pmap 40009  df-padd 40301  df-lhyp 40493  df-laut 40494  df-ldil 40609  df-ltrn 40610  df-trl 40664

This theorem is referenced by: (None)