Theorem cdlemk12u-2N 40363

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 18, p. 119, showing Eq. 4 (line 10, p. 119) for the sigma₂ (𝑉) case. (Contributed by NM, 5-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
cdlemk2.v	⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk12u-2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ∧ ,𝑑   ∨ ,𝑑   𝐶,𝑑,𝑘   𝐺,𝑑,𝑘   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   𝑊,𝑑   ∧ ,𝑘   ≤ ,𝑘   ∨ ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑊   𝐹,𝑑   𝑋,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑑)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓,𝑑)   𝐾(𝑓,𝑑)   ≤ (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝑋(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk12u-2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1201	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp12 1202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4		simp211 1309	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
5		simp212 1310	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ∈ 𝑇)
6		simp213 1311	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
7		simp22l 1290	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
8		simp23l 1292	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
9	6, 7, 8	3jca 1126	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
10		simp33 1209	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
11		simp13 1203	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
12		simp322 1322	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
13		simp323 1323	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵))
14		simp22r 1291	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
15	12, 13, 14	3jca 1126	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
16		simp23r 1293	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
17		simp321 1321	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋))
18	16, 17	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋)))
19		simp31 1207	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)))
20		cdlemk2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
21		cdlemk2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22		cdlemk2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
23		cdlemk2.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
24		cdlemk2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
25		cdlemk2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
26		cdlemk2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
27		cdlemk2.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
28		cdlemk2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
29		cdlemk2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
30		cdlemk2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))
31	20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30	cdlemk12u 40345	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))))
32	3, 4, 5, 9, 10, 11, 15, 18, 19, 31	syl333anc 1400	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐶) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐶)) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝑋) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → ((𝑉‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (((𝑉‘𝑋)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐺)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5575  ^◡ccnv 5677   ↾ cres 5680   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6548  ℩crio 7375  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  joincjn 18303  meetcmee 18304  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  trLctrl 39631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38425

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632

This theorem is referenced by: (None)