Theorem cdlemk37 40953

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 18-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk4.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk4.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk4.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk4.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk4.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk37	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑋‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑏, ∧   ≤ ,𝑏,𝑧   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏,𝑧   𝐾,𝑏,𝑧   𝑁,𝑏,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑏)   𝑌(𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk4.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk4.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk4.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemk4.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemk4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemk4.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk4.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk4.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
10		cdlemk4.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))))
11		cdlemk4.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemk36 40952	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑋‘𝑃) = 𝑌)
13		simp11l 1285	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
14	13	hllatd 39403	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐾 ∈ Lat)
15		simp22l 1293	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
16		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		simp13l 1289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
18		simp13r 1290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
19	1, 5, 6, 7, 8	trlnidat 40212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴)
21	1, 3, 5	hlatjcl 39406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
22	13, 15, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵)
23		simp3l 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ∈ 𝑇)
24		simp3r1 1282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵))
25	1, 5, 6, 7, 8	trlnidat 40212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴)
26	16, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴)
27	1, 3, 5	hlatjcl 39406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵)
28	13, 15, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵)
29		simp21 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
30	2, 5, 6, 7	ltrnat 40179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
31	16, 29, 15, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
32	1, 5	atbase 39328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴 → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵)
34		simp12l 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
35	6, 7	ltrncnv 40185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
36	16, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
37	6, 7	ltrnco 40758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑏 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
38	16, 23, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑏 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
39	1, 6, 7, 8	trlcl 40203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑏 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵)
40	16, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵)
41	1, 3	latjcl 18340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵)
42	14, 33, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵)
43	1, 4	latmcl 18341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐵)
44	14, 28, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐵)
45	9, 44	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑍 ∈ 𝐵)
46	6, 7	ltrncnv 40185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑏 ∈ 𝑇) → ◡𝑏 ∈ 𝑇)
47	16, 23, 46	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ◡𝑏 ∈ 𝑇)
48	6, 7	ltrnco 40758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝑏 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝑏) ∈ 𝑇)
49	16, 17, 47, 48	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐺 ∘ ◡𝑏) ∈ 𝑇)
50	1, 6, 7, 8	trlcl 40203	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝑏) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)) ∈ 𝐵)
51	16, 49, 50	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)) ∈ 𝐵)
52	1, 3	latjcl 18340	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)) ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))) ∈ 𝐵)
53	14, 45, 51, 52	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))) ∈ 𝐵)
54	1, 2, 4	latmle1 18365	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏))) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
55	14, 22, 53, 54	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝑏)))) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
56	10, 55	eqbrtrid 5121	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑌 ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))
57	12, 56	eqbrtrd 5108	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑋‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   class class class wbr 5086   I cid 5505  ^◡ccnv 5610   ↾ cres 5613   ∘ ccom 5615  ‘cfv 6476  ℩crio 7297  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  lecple 17163  joincjn 18212  meetcmee 18213  Latclat 18332  Atomscatm 39302  HLchlt 39389  LHypclh 40023  LTrncltrn 40140  trLctrl 40197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-riotaBAD 38992

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-undef 8198  df-map 8747  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-p1 18325  df-lat 18333  df-clat 18400  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-llines 39537  df-lplanes 39538  df-lvols 39539  df-lines 39540  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835  df-lhyp 40027  df-laut 40028  df-ldil 40143  df-ltrn 40144  df-trl 40198

This theorem is referenced by:  cdlemk38  40954