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Theorem cdlemk10 40017
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk.v1 𝑉 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ≀ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))
Proof of Theorem cdlemk10
StepHypRef Expression
1 cdlemk.v1 . 2 𝑉 = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
2 simp1 1136 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp22 1207 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 simp21 1206 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 cdlemk.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 cdlemk.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
75, 6ltrncnv 39320 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
82, 4, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
95, 6ltrnco 39893 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
11 cdlemk.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdlemk.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1311, 5, 6, 12trlle 39358 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
142, 10, 13syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
15 simp23 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
165, 6ltrnco 39893 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
172, 15, 8, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
1811, 5, 6, 12trlle 39358 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
192, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š)
20 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2120hllatd 38537 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
22 cdlemk.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2322, 5, 6, 12trlcl 39338 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
242, 10, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
2522, 5, 6, 12trlcl 39338 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
262, 17, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡)
27 simp1r 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2822, 5lhpbase 39172 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
30 cdlemk.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3122, 11, 30latjle12 18407 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ≀ π‘Š))
3221, 24, 26, 29, 31syl13anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ≀ π‘Š))
3314, 19, 32mpbi2and 710 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ≀ π‘Š)
3422, 30latjcl 18396 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡 ∧ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
3521, 24, 26, 34syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡)
36 simp3l 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
37 cdlemk.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3811, 37, 5, 6ltrnat 39314 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
392, 3, 36, 38syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
4011, 37, 5, 6ltrnat 39314 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
412, 15, 36, 40syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
4222, 30, 37hlatjcl 38540 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
4320, 39, 41, 42syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
44 cdlemk.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4522, 11, 44latmlem2 18427 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ≀ π‘Š β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) ≀ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
4621, 35, 29, 43, 45syl13anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) ≀ π‘Š β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) ≀ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
4733, 46mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) ≀ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
48 simp3 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4922, 11, 30, 37, 5, 6, 12, 44cdlemk9 40013 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))
5020, 27, 3, 15, 48, 49syl221anc 1381 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))
5147, 50breqtrd 5174 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)))) ≀ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))
521, 51eqbrtrid 5183 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 ≀ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemk11  40023  cdlemk11u  40045
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