Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1203 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp22 1207 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp1 1136 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π)) |
4 | | simp21 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π) |
5 | | cdlemk.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemk.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemk.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemk.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 39005 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
10 | 1, 4, 2, 9 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
11 | | simp11l 1284 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
12 | | simp22l 1292 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
13 | 9 | simpld 495 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπ) β π΄) |
14 | 1, 4, 2, 13 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
15 | | cdlemk.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | 5, 15, 6 | hlatlej2 38241 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πβπ) β π΄) β (πβπ) β€ (π β¨ (πβπ))) |
17 | 11, 12, 14, 16 | syl3anc 1371 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ (π β¨ (πβπ))) |
18 | | simp23 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
19 | 18 | oveq2d 7424 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (π
βπ))) |
20 | | cdlemk.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
21 | 5, 15, 6, 7, 8, 20 | trljat1 39032 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (πβπ))) |
22 | 1, 4, 2, 21 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (πβπ))) |
23 | 19, 22 | eqtr2d 2773 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (πβπ)) = (π β¨ (π
βπΉ))) |
24 | 17, 23 | breqtrd 5174 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
25 | | simp31 1209 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
26 | | simp32 1210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
27 | | simp33 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
28 | 27 | necomd 2996 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
29 | | cdlemk.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
30 | | cdlemk.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
31 | | eqid 2732 |
. . . 4
β’ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
32 | 29, 5, 15, 30, 6, 7, 8, 20, 31 | cdlemh 39683 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π) β§ (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ π)) |
33 | 3, 2, 10, 24, 25, 26, 28, 32 | syl133anc 1393 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ π)) |
34 | | cdlemk.i |
. . 3
β’ πΌ = (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) |
35 | 5, 6, 7, 8, 34 | ltrniotacl 39445 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ π)) β πΌ β π) |
36 | 1, 2, 33, 35 | syl3anc 1371 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΌ β π) |