Theorem cdlemk7 40849

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk.v	⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk7	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑓   ∨ ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   ∧ ,𝑖   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊   𝑓,𝑋,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)   𝑉(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
2		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
3		simp311 1321	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4		simp312 1322	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5		simp32 1211	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))
6		simp33 1212	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))
7	5, 6	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)))
8		cdlemk.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		cdlemk.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdlemk.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdlemk.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		cdlemk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdlemk.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		cdlemk.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15		cdlemk.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	cdlemk6 40838	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)))) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ≤ ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃)))))
17	1, 2, 3, 4, 7, 16	syl113anc 1384	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ≤ ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃)))))
18		simp21l 1291	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
19		simp22 1208	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
20		simp23 1209	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
21	18, 19, 20	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)))
22		cdlemk.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
23	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22	cdlemksv2 40848	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
24	1, 21, 3, 4, 5, 23	syl113anc 1384	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
25		simp11 1204	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		simp13 1206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
27	9, 10, 11, 12, 13, 14	trljat1 40167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
28	25, 26, 19, 27	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
29	28	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
30	24, 29	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
31		simp11l 1285	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
32	31	hllatd 39364	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐾 ∈ Lat)
33		simp12 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
34		simp21r 1292	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑋 ∈ 𝑇)
35	25, 33, 34	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇))
36		simp313 1323	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
37	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22	cdlemksat 40847	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
38	35, 21, 3, 36, 6, 37	syl113anc 1384	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
39	8, 11	atbase 39289	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
40	38, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
41		simp11r 1286	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
42		simp22l 1293	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
43		cdlemk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))))
44	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 43	cdlemkvcl 40843	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑉 ∈ 𝐵)
45	31, 41, 33, 26, 34, 42, 44	syl231anc 1392	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
46	8, 10	latjcom 18413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃)))
47	32, 40, 45, 46	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) = (𝑉 ∨ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃)))
48	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑉 = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))))
49	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22	cdlemksv2 40848	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))))
50	35, 21, 3, 36, 6, 49	syl113anc 1384	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))))
51	9, 10, 11, 12, 13, 14	trljat1 40167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
52	25, 34, 19, 51	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
53	9, 11, 12, 13	ltrnat 40141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴)
54	25, 34, 42, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴)
55	10, 11	hlatjcom 39368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
56	31, 54, 42, 55	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ (𝑋‘𝑃)))
57	52, 56	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) = ((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃))
58	9, 11, 12, 13	ltrnat 40141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
59	25, 18, 42, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
60	34, 33	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇))
61	11, 12, 13, 14	trlcocnvat 40725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹)) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴)
62	25, 60, 6, 61	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴)
63	10, 11	hlatjcom 39368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))) = ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃)))
64	31, 59, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹))) = ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃)))
65	57, 64	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑋)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) = (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃))))
66	50, 65	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑃) = (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃))))
67	48, 66	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑉 ∨ ((𝑆‘𝑋)‘𝑃)) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃)))))
68	47, 67	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋‘𝑃)) ∧ ((𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)))) ∨ (((𝑋‘𝑃) ∨ 𝑃) ∧ ((𝑅‘(𝑋 ∘ ◡𝐹)) ∨ (𝑁‘𝑃)))))
69	17, 30, 68	3brtr4d 5142	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑋) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑆‘𝑋)‘𝑃) ∨ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   I cid 5535  ^◡ccnv 5640   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  joincjn 18279  meetcmee 18280  Latclat 18397  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LHypclh 39985  LTrncltrn 40102  trLctrl 40159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8255  df-map 8804  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160

This theorem is referenced by:  cdlemk11  40850