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Theorem cdlemk7 38106
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 5, p. 119. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
cdlemk.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk.v 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉))
Distinct variable groups:   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   ,𝑖   ,𝑖   ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊   𝑓,𝑋,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk7
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇))
2 simp2 1134 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3 simp311 1317 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4 simp312 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5 simp32 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
6 simp33 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))
75, 6jca 515 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))
8 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemk6 38095 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
171, 2, 3, 4, 7, 16syl113anc 1379 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
18 simp21l 1287 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑁𝑇)
19 simp22 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
20 simp23 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
2118, 19, 203jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
22 cdlemk.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
238, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22cdlemksv2 38105 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
241, 21, 3, 4, 5, 23syl113anc 1379 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
25 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
26 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
279, 10, 11, 12, 13, 14trljat1 37424 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
2825, 26, 19, 27syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
2928oveq1d 7155 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3024, 29eqtrd 2857 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
31 simp11l 1281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
3231hllatd 36622 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ Lat)
33 simp12 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹𝑇)
34 simp21r 1288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑋𝑇)
3525, 33, 343jca 1125 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇))
36 simp313 1319 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵))
378, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22cdlemksat 38104 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
3835, 21, 3, 36, 6, 37syl113anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴)
398, 11atbase 36547 . . . . 5 (((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐴 → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
4038, 39syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵)
41 simp11r 1282 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑊𝐻)
42 simp22l 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑃𝐴)
43 cdlemk.v . . . . . 6 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
448, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 43cdlemkvcl 38100 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑉𝐵)
4531, 41, 33, 26, 34, 42, 44syl231anc 1387 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑉𝐵)
468, 10latjcom 17660 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆𝑋)‘𝑃) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉) = (𝑉 ((𝑆𝑋)‘𝑃)))
4732, 40, 45, 46syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉) = (𝑉 ((𝑆𝑋)‘𝑃)))
4843a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑉 = (((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))))
498, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 22cdlemksv2 38105 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑋)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹)))))
5035, 21, 3, 36, 6, 49syl113anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑋)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹)))))
519, 10, 11, 12, 13, 14trljat1 37424 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑋)) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
5225, 34, 19, 51syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝑋)) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
539, 11, 12, 13ltrnat 37398 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
5425, 34, 42, 53syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
5510, 11hlatjcom 36626 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴𝑃𝐴) → ((𝑋𝑃) 𝑃) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
5631, 54, 42, 55syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑋𝑃) 𝑃) = (𝑃 (𝑋𝑃)))
5752, 56eqtr4d 2860 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝑋)) = ((𝑋𝑃) 𝑃))
589, 11, 12, 13ltrnat 37398 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐴) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
5925, 18, 42, 58syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
6034, 33jca 515 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑋𝑇𝐹𝑇))
6111, 12, 13, 14trlcocnvat 37982 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)
6225, 60, 6, 61syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)
6310, 11hlatjcom 36626 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))
6431, 59, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))
6557, 64oveq12d 7158 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝑅𝑋)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) = (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃))))
6650, 65eqtrd 2857 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝑋)‘𝑃) = (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃))))
6748, 66oveq12d 7158 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑉 ((𝑆𝑋)‘𝑃)) = ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
6847, 67eqtrd 2857 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉) = ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
6917, 30, 683brtr4d 5074 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) (((𝑆𝑋)‘𝑃) 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  cmpt 5122   I cid 5436  ccnv 5531  cres 5534  ccom 5536  cfv 6334  crio 7097  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646  Atomscatm 36521  HLchlt 36608  LHypclh 37242  LTrncltrn 37359  trLctrl 37416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-riotaBAD 36211
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36434  df-ol 36436  df-oml 36437  df-covers 36524  df-ats 36525  df-atl 36556  df-cvlat 36580  df-hlat 36609  df-llines 36756  df-lplanes 36757  df-lvols 36758  df-lines 36759  df-psubsp 36761  df-pmap 36762  df-padd 37054  df-lhyp 37246  df-laut 37247  df-ldil 37362  df-ltrn 37363  df-trl 37417
This theorem is referenced by:  cdlemk11  38107
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