Theorem imneg 15183

Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))

Proof of Theorem imneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15160	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11158	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 15161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11183	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negdid 11581	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
9		replim 15166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
10	9	negeqd 11450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
11		mulneg2 11650	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
12	3, 5, 11	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	12	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2814	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
15	14	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = (ℑ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
16	1	renegcld 11640	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	4	renegcld 11640	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18		crim 15165	. . 3 ⊢ ((-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℑ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
20	15, 19	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐴) = -(ℑ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104  -cneg 11441  ℜcre 15147  ℑcim 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151

This theorem is referenced by:  imsub  15185  cjneg  15197  imnegi  15231  imnegd  15260  logreclem  26892  asinlem3  27001