![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > imneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
imneg | โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = -(โโ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | recl 15059 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11241 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) |
3 | ax-icn 11166 | . . . . . 6 โข i โ โ | |
4 | imcl 15060 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
5 | 4 | recnd 11241 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) |
6 | mulcl 11191 | . . . . . 6 โข ((i โ โ โง (โโ๐ด) โ โ) โ (i ยท (โโ๐ด)) โ โ) | |
7 | 3, 5, 6 | sylancr 586 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (i ยท (โโ๐ด)) โ โ) |
8 | 2, 7 | negdid 11583 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ -((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = (-(โโ๐ด) + -(i ยท (โโ๐ด)))) |
9 | replim 15065 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) | |
10 | 9 | negeqd 11453 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ -๐ด = -((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
11 | mulneg2 11650 | . . . . . 6 โข ((i โ โ โง (โโ๐ด) โ โ) โ (i ยท -(โโ๐ด)) = -(i ยท (โโ๐ด))) | |
12 | 3, 5, 11 | sylancr 586 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (i ยท -(โโ๐ด)) = -(i ยท (โโ๐ด))) |
13 | 12 | oveq2d 7418 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด))) = (-(โโ๐ด) + -(i ยท (โโ๐ด)))) |
14 | 8, 10, 13 | 3eqtr4d 2774 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -๐ด = (-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด)))) |
15 | 14 | fveq2d 6886 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = (โโ(-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด))))) |
16 | 1 | renegcld 11640 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -(โโ๐ด) โ โ) |
17 | 4 | renegcld 11640 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -(โโ๐ด) โ โ) |
18 | crim 15064 | . . 3 โข ((-(โโ๐ด) โ โ โง -(โโ๐ด) โ โ) โ (โโ(-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด)))) = -(โโ๐ด)) | |
19 | 16, 17, 18 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ(-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด)))) = -(โโ๐ด)) |
20 | 15, 19 | eqtrd 2764 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = -(โโ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โcc 11105 โcr 11106 ici 11109 + caddc 11110 ยท cmul 11112 -cneg 11444 โcre 15046 โcim 15047 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-po 5579 df-so 5580 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-2 12274 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 |
This theorem is referenced by: imsub 15084 cjneg 15096 imnegi 15130 imnegd 15159 logreclem 26634 asinlem3 26743 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |