![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > imneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
imneg | โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = -(โโ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | recl 15089 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
2 | 1 | recnd 11272 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) |
3 | ax-icn 11197 | . . . . . 6 โข i โ โ | |
4 | imcl 15090 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) | |
5 | 4 | recnd 11272 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) โ โ) |
6 | mulcl 11222 | . . . . . 6 โข ((i โ โ โง (โโ๐ด) โ โ) โ (i ยท (โโ๐ด)) โ โ) | |
7 | 3, 5, 6 | sylancr 586 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (i ยท (โโ๐ด)) โ โ) |
8 | 2, 7 | negdid 11614 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ -((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด))) = (-(โโ๐ด) + -(i ยท (โโ๐ด)))) |
9 | replim 15095 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) | |
10 | 9 | negeqd 11484 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ -๐ด = -((โโ๐ด) + (i ยท (โโ๐ด)))) |
11 | mulneg2 11681 | . . . . . 6 โข ((i โ โ โง (โโ๐ด) โ โ) โ (i ยท -(โโ๐ด)) = -(i ยท (โโ๐ด))) | |
12 | 3, 5, 11 | sylancr 586 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (i ยท -(โโ๐ด)) = -(i ยท (โโ๐ด))) |
13 | 12 | oveq2d 7436 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด))) = (-(โโ๐ด) + -(i ยท (โโ๐ด)))) |
14 | 8, 10, 13 | 3eqtr4d 2778 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -๐ด = (-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด)))) |
15 | 14 | fveq2d 6901 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = (โโ(-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด))))) |
16 | 1 | renegcld 11671 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -(โโ๐ด) โ โ) |
17 | 4 | renegcld 11671 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ -(โโ๐ด) โ โ) |
18 | crim 15094 | . . 3 โข ((-(โโ๐ด) โ โ โง -(โโ๐ด) โ โ) โ (โโ(-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด)))) = -(โโ๐ด)) | |
19 | 16, 17, 18 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ(-(โโ๐ด) + (i ยท -(โโ๐ด)))) = -(โโ๐ด)) |
20 | 15, 19 | eqtrd 2768 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ-๐ด) = -(โโ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 โcc 11136 โcr 11137 ici 11140 + caddc 11141 ยท cmul 11143 -cneg 11475 โcre 15076 โcim 15077 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5576 df-po 5590 df-so 5591 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-2 12305 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 |
This theorem is referenced by: imsub 15114 cjneg 15126 imnegi 15160 imnegd 15189 logreclem 26693 asinlem3 26802 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |