Theorem reneg 15215

Description: Real part of negative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

Proof of Theorem reneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15200	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11264	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11186	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 15201	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11211	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negdid 11609	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
9		replim 15206	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
10	9	negeqd 11478	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
11		mulneg2 11678	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
12	3, 5, 11	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	12	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = (-(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = (-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
15	14	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
16	1	renegcld 11668	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	4	renegcld 11668	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18		crre 15204	. . 3 ⊢ ((-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
20	15, 19	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  -cneg 11469  ℜcre 15187  ℑcim 15188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191

This theorem is used by:  resub  15217  cjneg  15237  sqeqd  15256  renegi  15270  renegd  15299  cnpart  15330  asinsin  27132  ftc1anclem6  38450  sqrtcvallem4  44482