Theorem reneg 15304

Description: Real part of negative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
reneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

Proof of Theorem reneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11347	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11269	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		imcl 15290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11347	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6		mulcl 11294	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
7	3, 5, 6	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 7	negdid 11692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ( -(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
9		replim 15295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
10	9	negeqd 11561	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = -((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
11		mulneg2 11763	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
12	3, 5, 11	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -(ℑ‘𝐴)) = -(i · (ℑ‘𝐴)))
13	12	oveq2d 7443	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))) = ( -(ℜ‘𝐴) + -(i · (ℑ‘𝐴))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 = ( -(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴))))
15	14	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) = (ℜ‘( -(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))))
16	1	renegcld 11753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
17	4	renegcld 11753	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18		crre 15293	. . 3 ⊢ (( -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘( -(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
19	16, 17, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘( -(ℜ‘𝐴) + (i · -(ℑ‘𝐴)))) = -(ℜ‘𝐴))
20	15, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘ -𝐴) = -(ℜ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  ici 11212   + caddc 11213   · cmul 11215   -cneg 11552  ℜcre 15276  ℑcim 15277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280

This theorem is used by:  resub  15306  cjneg  15326  sqeqd  15345  renegi  15359  renegd  15388  cnpart  15419  asinsin  27232  ftc1anclem6  38756  sqrtcvallem4  44779