MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnaddabl 19836
Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddablx 19835 hides the explicit structure indices i.e. is "scaffold-independent". Note that the proof also does not reference explicit structure indices. The actual structure is dependent on how Base and +g is defined. This theorem should not be referenced in any proof. For the group/ring properties of the complex numbers, see cnring 21335. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddabl.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
cnaddabl 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddabl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 11221 . . . 4 ℂ ∈ V
2 cnaddabl.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
32grpbase 17270 . . . 4 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
41, 3ax-mp 5 . . 3 ℂ = (Base‘𝐺)
5 addex 13006 . . . 4 + ∈ V
62grpplusg 17272 . . . 4 ( + ∈ V → + = (+g𝐺))
75, 6ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝐺)
8 addcl 11222 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9 addass 11227 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 0cn 11238 . . 3 0 ∈ ℂ
11 addlid 11429 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12 negcl 11492 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
13 addcom 11432 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
1412, 13mpdan 685 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15 negid 11539 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1614, 15eqtr3d 2767 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
174, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16isgrpi 18924 . 2 𝐺 ∈ Grp
18 addcom 11432 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1917, 4, 7, 18isabli 19763 1 𝐺 ∈ Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  {cpr 4632  cop 4636  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140   + caddc 11143  -cneg 11477  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  Abelcabl 19748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-cmn 19749  df-abl 19750
This theorem is referenced by:  cnaddinv  19838  cnaddcom  38571
  Copyright terms: Public domain W3C validator