Theorem cnaddabl 18739

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddablx 18738 hides the explicit structure indices i.e. is "scaffold-independent". Note that the proof also does not reference explicit structure indices. The actual structure is dependent on how Base and +_g is defined. This theorem should not be referenced in any proof. For the group/ring properties of the complex numbers, see cnring 20263. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddabl	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10410	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnaddabl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3	2	grpbase 16460	. . . 4 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
5		addex 12196	. . . 4 ⊢ + ∈ V
6	2	grpplusg 16461	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		addcl 10411	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9		addass 10416	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0cn 10425	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
11		addid2 10617	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		negcl 10680	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
13		addcom 10620	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
14	12, 13	mpdan 674	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15		negid 10728	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
16	14, 15	eqtr3d 2810	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
17	4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16	isgrpi 17908	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
18		addcom 10620	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19	17, 4, 7, 18	isabli 18674	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3409  {cpr 4437  ⟨cop 4441  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10327  0cc0 10329   + caddc 10332  -cneg 10665  ndxcnx 16330  Basecbs 16333  +_gcplusg 16415  Abelcabl 18661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-addf 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-plusg 16428  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-cmn 18662  df-abl 18663

This theorem is referenced by:  cnaddinv  18741  cnaddcom  35553