Theorem cnaddabl 20044

Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddablx 20043 hides the explicit structure indices i.e. is "scaffold-independent". Note that the proof also does not reference explicit structure indices. The actual structure is dependent on how Base and +_g is defined. This theorem should not be referenced in any proof. For the group/ring properties of the complex numbers, see cnring 21661. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnaddabl.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}

Assertion

Ref	Expression
cnaddabl	⊢ 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddabl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11252	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
2		cnaddabl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
3	2	grpbase 17421	. . . 4 ⊢ (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘𝐺)
5		addex 13086	. . . 4 ⊢ + ∈ V
6	2	grpplusg 17422	. . . 4 ⊢ ( + ∈ V → + = (+g‘𝐺))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		addcl 11253	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9		addass 11258	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10		0cn 11269	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
11		addlid 11464	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12		negcl 11528	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
13		addcom 11467	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
14	12, 13	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15		negid 11576	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
16	14, 15	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
17	4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16	isgrpi 19131	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Grp
18		addcom 11467	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
19	17, 4, 7, 18	isabli 19971	1 ⊢ 𝐺 ∈ Abel

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171   + caddc 11174  -cneg 11513  ndxcnx 17332  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  Abelcabl 19956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-cmn 19957  df-abl 19958

This theorem is used by:  cnaddinv  20046  cnaddcom  39949