Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnaddabl Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The complex numbers are an Abelian group under addition. This version of cnaddablx 18985 hides the explicit structure indices i.e. is "scaffold-independent". Note that the proof also does not reference explicit structure indices. The actual structure is dependent on how Base and +g is defined. This theorem should not be referenced in any proof. For the group/ring properties of the complex numbers, see cnring 20117. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnaddabl.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
Assertion
Ref Expression
cnaddabl 𝐺 ∈ Abel

Proof of Theorem cnaddabl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10610 . . . 4 ℂ ∈ V
2 cnaddabl.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩}
32grpbase 16605 . . . 4 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘𝐺))
41, 3ax-mp 5 . . 3 ℂ = (Base‘𝐺)
5 addex 12378 . . . 4 + ∈ V
62grpplusg 16606 . . . 4 ( + ∈ V → + = (+g𝐺))
75, 6ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝐺)
8 addcl 10611 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
9 addass 10616 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
10 0cn 10625 . . 3 0 ∈ ℂ
11 addid2 10815 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
12 negcl 10878 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
13 addcom 10818 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
1412, 13mpdan 686 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = (-𝑥 + 𝑥))
15 negid 10925 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1614, 15eqtr3d 2835 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
174, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16isgrpi 18122 . 2 𝐺 ∈ Grp
18 addcom 10818 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1917, 4, 7, 18isabli 18917 1 𝐺 ∈ Abel
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532  -cneg 10863  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Abelcabl 18903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-cmn 18904  df-abl 18905 This theorem is referenced by:  cnaddinv  18988  cnaddcom  36287
 Copyright terms: Public domain W3C validator