Theorem cnnvba 31106

Description: The base set of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvba.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvba	⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnvba.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2	1	cnnvg 31105	. . 3 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	2	rneqi 5929	. 2 ⊢ ran + = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
4		cnaddabloOLD 31008	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
5		ablogrpo 30974	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
7		ax-addf 11198	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	fdmi 6721	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
9	6, 8	grporn 30948	. 2 ⊢ ℂ = ran +
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
11		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
12	10, 11	bafval 31031	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
13	3, 9, 12	3eqtr4i 2798	1 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ran crn 5664  ‘cfv 6540  ℂcc 11117   + caddc 11122   · cmul 11124  abscabs 15313  GrpOpcgr 30916  AbelOpcablo 30971   +_𝑣 cpv 31012  BaseSetcba 31013

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198  ax-mulf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-grpo 30920  df-ablo 30972  df-va 31022  df-ba 31023

This theorem is used by:  cnnvm  31109  ipblnfi  31282  cnbn  31296  htthlem  31344