Theorem cnnvba 30754

Description: The base set of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvba.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvba	⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnvba.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2	1	cnnvg 30753	. . 3 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	2	rneqi 5886	. 2 ⊢ ran + = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
4		cnaddabloOLD 30656	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
5		ablogrpo 30622	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
7		ax-addf 11105	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	fdmi 6673	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
9	6, 8	grporn 30596	. 2 ⊢ ℂ = ran +
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
12	10, 11	bafval 30679	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
13	3, 9, 12	3eqtr4i 2769	1 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586   × cxp 5622  ran crn 5625  ‘cfv 6492  ℂcc 11024   + caddc 11029   · cmul 11031  abscabs 15157  GrpOpcgr 30564  AbelOpcablo 30619   +_𝑣 cpv 30660  BaseSetcba 30661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-grpo 30568  df-ablo 30620  df-va 30670  df-ba 30671

This theorem is referenced by:  cnnvm  30757  ipblnfi  30930  cnbn  30944  htthlem  30992