Theorem cnnvba 30702

Description: The base set of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvba.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvba	⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnvba.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2	1	cnnvg 30701	. . 3 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	2	rneqi 5961	. 2 ⊢ ran + = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
4		cnaddabloOLD 30604	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
5		ablogrpo 30570	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
7		ax-addf 11259	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	fdmi 6757	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
9	6, 8	grporn 30544	. 2 ⊢ ℂ = ran +
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
11		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
12	10, 11	bafval 30627	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
13	3, 9, 12	3eqtr4i 2772	1 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ⟨cop 4654   × cxp 5697  ran crn 5700  ‘cfv 6572  ℂcc 11178   + caddc 11183   · cmul 11185  abscabs 15279  GrpOpcgr 30512  AbelOpcablo 30567   +_𝑣 cpv 30608  BaseSetcba 30609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258  ax-addf 11259  ax-mulf 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-grpo 30516  df-ablo 30568  df-va 30618  df-ba 30619

This theorem is referenced by:  cnnvm  30705  ipblnfi  30878  cnbn  30892  htthlem  30940