Theorem cnnvba 30713

Description: The base set of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnnvba.6	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩

Assertion

Ref	Expression
cnnvba	⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Proof of Theorem cnnvba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnvba.6	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2	1	cnnvg 30712	. . 3 ⊢ + = ( +𝑣 ‘𝑈)
3	2	rneqi 5962	. 2 ⊢ ran + = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
4		cnaddabloOLD 30615	. . . 4 ⊢ + ∈ AbelOp
5		ablogrpo 30581	. . . 4 ⊢ ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + ∈ GrpOp
7		ax-addf 11265	. . . 4 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	fdmi 6760	. . 3 ⊢ dom + = (ℂ × ℂ)
9	6, 8	grporn 30555	. 2 ⊢ ℂ = ran +
10		eqid 2740	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
12	10, 11	bafval 30638	. 2 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = ran ( +𝑣 ‘𝑈)
13	3, 9, 12	3eqtr4i 2778	1 ⊢ ℂ = (BaseSet‘𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4654   × cxp 5698  ran crn 5701  ‘cfv 6575  ℂcc 11184   + caddc 11189   · cmul 11191  abscabs 15285  GrpOpcgr 30523  AbelOpcablo 30578   +_𝑣 cpv 30619  BaseSetcba 30620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264  ax-addf 11265  ax-mulf 11266

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-seq 14055  df-exp 14115  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-grpo 30527  df-ablo 30579  df-va 30629  df-ba 30630

This theorem is referenced by:  cnnvm  30716  ipblnfi  30889  cnbn  30903  htthlem  30951