MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvba Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvba 29419
Description: The base set of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 7-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvba.6 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvba β„‚ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)

Proof of Theorem cnnvba
StepHypRef Expression
1 cnnvba.6 . . . 4 π‘ˆ = ⟨⟨ + , Β· ⟩, abs⟩
21cnnvg 29418 . . 3 + = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
32rneqi 5888 . 2 ran + = ran ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 cnaddabloOLD 29321 . . . 4 + ∈ AbelOp
5 ablogrpo 29287 . . . 4 ( + ∈ AbelOp β†’ + ∈ GrpOp)
64, 5ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
7 ax-addf 11063 . . . 4 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
87fdmi 6675 . . 3 dom + = (β„‚ Γ— β„‚)
96, 8grporn 29261 . 2 β„‚ = ran +
10 eqid 2737 . . 3 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2737 . . 3 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
1210, 11bafval 29344 . 2 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = ran ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
133, 9, 123eqtr4i 2775 1 β„‚ = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4590   Γ— cxp 5628  ran crn 5631  β€˜cfv 6491  β„‚cc 10982   + caddc 10987   Β· cmul 10989  abscabs 15052  GrpOpcgr 29229  AbelOpcablo 29284   +𝑣 cpv 29325  BaseSetcba 29326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-seq 13835  df-exp 13896  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-grpo 29233  df-ablo 29285  df-va 29335  df-ba 29336
This theorem is referenced by:  cnnvm  29422  ipblnfi  29595  cnbn  29609  htthlem  29657
  Copyright terms: Public domain W3C validator