MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfss 24938
Description: The set of continuous functions is expanded when the codomain is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfss ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))

Proof of Theorem cncfss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 24932 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
21adantl 481 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓:𝐴𝐵)
3 simpll 767 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐵𝐶)
42, 3fssd 6753 . . . 4 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓:𝐴𝐶)
5 cncfcdm 24937 . . . . 5 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
65adantll 714 . . . 4 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
74, 6mpbird 257 . . 3 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶))
87ex 412 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶)))
98ssrdv 4000 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2105  wss 3962  wf 6558  (class class class)co 7430  cc 11150  cnccncf 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-abs 15271  df-cncf 24917
This theorem is referenced by:  cncfcompt2  24947  cncfmptid  24952  cncfmpt2ss  24955  evthicc2  25508  volivth  25655  iblabslem  25877  iblabs  25878  bddmulibl  25888  cnlimci  25938  rolle  26042  c1liplem1  26049  dvivth  26063  dvcnvrelem2  26071  itgsubst  26104  logcn  26703  logccv  26719  fdvposlt  34592  fdvneggt  34593  fdvposle  34594  fdvnegge  34595  logdivsqrle  34643  knoppcnlem10  36484  ftc1cnnclem  37677  ftc2nc  37688  areacirclem2  37695  evthiccabs  45448  cncfcompt  45838  cncficcgt0  45843  cncfiooicc  45849  cncfiooiccre  45850  itgsubsticclem  45930  fourierdlem72  46133  fourierdlem78  46139  fourierdlem83  46144  fourierdlem84  46145  fourierdlem85  46146  fourierdlem88  46149  fourierdlem95  46156  fourierdlem111  46172
  Copyright terms: Public domain W3C validator