MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfss 24925
Description: The set of continuous functions is expanded when the codomain is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfss ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))

Proof of Theorem cncfss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 24919 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
21adantl 481 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓:𝐴𝐵)
3 simpll 767 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐵𝐶)
42, 3fssd 6753 . . . 4 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓:𝐴𝐶)
5 cncfcdm 24924 . . . . 5 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
65adantll 714 . . . 4 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
74, 6mpbird 257 . . 3 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶))
87ex 412 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶)))
98ssrdv 3989 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2108  wss 3951  wf 6557  (class class class)co 7431  cc 11153  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-abs 15275  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  cncfcompt2  24934  cncfmptid  24939  cncfmpt2ss  24942  evthicc2  25495  volivth  25642  iblabslem  25863  iblabs  25864  bddmulibl  25874  cnlimci  25924  rolle  26028  c1liplem1  26035  dvivth  26049  dvcnvrelem2  26057  itgsubst  26090  logcn  26689  logccv  26705  fdvposlt  34614  fdvneggt  34615  fdvposle  34616  fdvnegge  34617  logdivsqrle  34665  knoppcnlem10  36503  ftc1cnnclem  37698  ftc2nc  37709  areacirclem2  37716  evthiccabs  45509  cncfcompt  45898  cncficcgt0  45903  cncfiooicc  45909  cncfiooiccre  45910  itgsubsticclem  45990  fourierdlem72  46193  fourierdlem78  46199  fourierdlem83  46204  fourierdlem84  46205  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209  fourierdlem95  46216  fourierdlem111  46232
  Copyright terms: Public domain W3C validator