MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfss 24278
Description: The set of continuous functions is expanded when the codomain is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfss ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))

Proof of Theorem cncfss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 24272 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝑓:𝐴𝐵)
21adantl 483 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓:𝐴𝐵)
3 simpll 766 . . . . 5 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐵𝐶)
42, 3fssd 6691 . . . 4 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓:𝐴𝐶)
5 cncfcdm 24277 . . . . 5 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
65adantll 713 . . . 4 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
74, 6mpbird 257 . . 3 (((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶))
87ex 414 . 2 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴cn𝐶)))
98ssrdv 3955 1 ((𝐵𝐶𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐵) ⊆ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wss 3915  wf 6497  (class class class)co 7362  cc 11056  cnccncf 24255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-abs 15128  df-cncf 24257
This theorem is referenced by:  cncfcompt2  24287  cncfmptid  24292  cncfmpt2ss  24295  evthicc2  24840  volivth  24987  iblabslem  25208  iblabs  25209  bddmulibl  25219  cnlimci  25269  rolle  25370  c1liplem1  25376  dvivth  25390  dvcnvrelem2  25398  itgsubst  25429  logcn  26018  logccv  26034  fdvposlt  33252  fdvneggt  33253  fdvposle  33254  fdvnegge  33255  logdivsqrle  33303  knoppcnlem10  34994  ftc1cnnclem  36178  ftc2nc  36189  areacirclem2  36196  evthiccabs  43808  cncfcompt  44198  cncficcgt0  44203  cncfiooicc  44209  cncfiooiccre  44210  itgsubsticclem  44290  fourierdlem72  44493  fourierdlem78  44499  fourierdlem83  44504  fourierdlem84  44505  fourierdlem85  44506  fourierdlem88  44509  fourierdlem95  44516  fourierdlem111  44532
  Copyright terms: Public domain W3C validator