Theorem cncfss 23507

Description: The set of continuous functions is expanded when the range is expanded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfss	⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))

Proof of Theorem cncfss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncff 23501	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2	1	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
3		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	fssd 6528	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝑓:𝐴⟶𝐶)
5		cncffvrn 23506	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐶))
6	5	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐶))
7	4, 6	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶))
8	7	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐴–cn→𝐶)))
9	8	ssrdv 3973	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐵) ⊆ (𝐴–cn→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  ⟶wf 6351  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  –cn→ccncf 23484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-abs 14595  df-cncf 23486

This theorem is referenced by:  cncfmptid  23520  cncfmpt2ss  23523  evthicc2  24061  volivth  24208  iblabslem  24428  iblabs  24429  bddmulibl  24439  cnlimci  24487  rolle  24587  c1liplem1  24593  dvivth  24607  dvcnvrelem2  24615  itgsubst  24646  logcn  25230  logccv  25246  fdvposlt  31870  fdvneggt  31871  fdvposle  31872  fdvnegge  31873  logdivsqrle  31921  knoppcnlem10  33841  ftc1cnnclem  34980  ftc2nc  34991  areacirclem2  34998  evthiccabs  41820  cncfcompt  42215  cncficcgt0  42220  cncfiooicc  42226  cncfiooiccre  42227  cncfcompt2  42231  itgsubsticclem  42309  fourierdlem72  42512  fourierdlem78  42518  fourierdlem83  42523  fourierdlem84  42524  fourierdlem85  42525  fourierdlem88  42528  fourierdlem95  42535  fourierdlem111  42551