Theorem lcmineqlem9 42136

Description: (1-x)^(N-M) is continuous. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem9.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem9.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem9.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem9	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀

Proof of Theorem lcmineqlem9

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		ax-1cn 11070	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))
4	3	sub2cncf 24846	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5	2, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6		lcmineqlem9.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7		lcmineqlem9.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem9.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		znn0sub 12525	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
13	6, 12	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
14		expcncf 24853	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16		ssidd 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		oveq1 7359	. 2 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
18	1, 5, 15, 16, 17	cncfcompt2 24834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  1c1 11013   ≤ cle 11153   − cmin 11350  ℕcn 12131  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ↑cexp 13974  –cn→ccncf 24802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-rest 17332  df-topn 17333  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-topgen 17353  df-pt 17354  df-prds 17357  df-xrs 17412  df-qtop 17417  df-imas 17418  df-xps 17420  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-mulg 18987  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-cnfld 21298  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804

This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  42137