Theorem lcmineqlem9 43067

Description: (1-x)^(N-M) is continuous. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem9.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem9.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem9.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem9	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀

Proof of Theorem lcmineqlem9

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		ax-1cn 11251	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))
4	3	sub2cncf 25234	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5	2, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6		lcmineqlem9.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
7		lcmineqlem9.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		lcmineqlem9.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		znn0sub 12736	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
13	6, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
14		expcncf 25240	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	13, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16		ssidd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		oveq1 7425	. 2 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 𝑀)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))
18	1, 5, 15, 16, 17	cncfcompt2 25222	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  1c1 11194   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ↑cexp 14197  –cn→ccncf 25190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192

This theorem is used by:  lcmineqlem10  43068