Theorem constrllcl 33950

Description: Constructible numbers are closed under line-line intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrllcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
constrllcl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
constrllcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
constrllcl.e	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
constrllcl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrllcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
constrllcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
constrllcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrllcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
constrllcl.3	⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
constrllcl	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Proof of Theorem constrllcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑟 𝑠 𝑡 𝑥 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑞 𝑦 𝑧 𝑜 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrcbvlem 33949	. 2 ⊢ rec((𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ 𝑦 = (𝑘 + (𝑝 · (𝑙 − 𝑘))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑗 − 𝑖)) · (𝑙 − 𝑘))) ≠ 0) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 ∃𝑜 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑖 + (𝑜 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑘)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))) ∨ ∃𝑖 ∈ 𝑧 ∃𝑗 ∈ 𝑧 ∃𝑘 ∈ 𝑧 ∃𝑙 ∈ 𝑧 ∃𝑚 ∈ 𝑧 ∃𝑞 ∈ 𝑧 (𝑖 ≠ 𝑙 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑖)) = (abs‘(𝑗 − 𝑘)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑙)) = (abs‘(𝑚 − 𝑞))))}), {0, 1}) = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		constrllcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Constr)
3		constrllcl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Constr)
4		constrllcl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Constr)
5		constrllcl.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Constr)
6		constrllcl.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
7		constrllcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
8		constrllcl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
9		constrllcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
10		constrllcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐺 + (𝑅 · (𝐷 − 𝐺))))
11		constrllcl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝐵 − 𝐴)) · (𝐷 − 𝐺))) ≠ 0)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	constrllcllem 33946	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ w3o 1092   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433  {cpr 4559   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  reccrdg 8342  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   · cmul 11039   − cmin 11373  ∗ccj 15053  ℑcim 15055  abscabs 15191  Constrcconstr 33923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-sub 11375  df-constr 33924

This theorem is referenced by:  constrremulcl  33961  constrrecl  33963  constrreinvcl  33966