constrremulcl - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem constrremulcl 34025

Description: If two real numbers 𝑋 and 𝑌 are constructible, then, so is their product. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constrremulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrremulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
constrremulcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
constrremulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
constrremulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

**Proof of Theorem constrremulcl**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
3		constrremulcl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	mul02d 11378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 · 𝑌) = 0)
7	2, 6	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
8		0nn0 12493	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ₀)
10	9	nn0constr 34019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 0 ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)
13	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 ∈ Constr)
14		constrremulcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
15	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ Constr)
16		iconstr 34024	. . . . . 6 ⊢ i ∈ Constr
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
18		constrremulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
19	17	constrcn 34018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) ∈ ℂ)
21	19	subid1d 11528	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
22	21	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (i − 0)) = (𝑌 · i))
23	21, 19	eqeltrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
24	4, 23	mulcld 11199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (i − 0)) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 11381	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 · (i − 0))) = (𝑌 · (i − 0)))
26	19, 4	mulcomd 11200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) = (𝑌 · i))
27	22, 25, 26	3eqtr4rd 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (i − 0))))
28	19, 4	absmuld 15467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · 𝑌)) = ((abs‘i) · (abs‘𝑌)))
29		absi 15296	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
31	30	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘𝑌)) = (1 · (abs‘𝑌)))
32	4	abscld 15449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11197	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘𝑌)) = (abs‘𝑌))
35	28, 31, 34	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · 𝑌)) = (abs‘𝑌))
36	20	subid1d 11528	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) − 0) = (i · 𝑌))
37	36	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · 𝑌) − 0)) = (abs‘(i · 𝑌)))
38	4	subid1d 11528	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 0) = 𝑌)
39	38	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 0)) = (abs‘𝑌))
40	35, 37, 39	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · 𝑌) − 0)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
41	10, 17, 10, 18, 10, 3, 20, 27, 40	constrlccl 34015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) ∈ Constr)
42	41	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (i · 𝑌) ∈ Constr)
43		constrremulcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11207	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	44, 19	negsubd 11545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -i) = (𝑋 − i))
46	17	constrnegcl 34021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -i ∈ Constr)
47	14, 46	constraddcl 34020	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -i) ∈ Constr)
48	45, 47	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − i) ∈ Constr)
49	48, 41	constraddcl 34020	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) ∈ Constr)
50	49	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) ∈ Constr)
51	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
52	44, 4	mulcld 11199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
53	52	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
54	44	subid1d 11528	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
55	54	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − 0)) = (𝑌 · 𝑋))
56	54, 44	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
57	4, 56	mulcld 11199	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))) = (𝑌 · (𝑋 − 0)))
59	44, 4	mulcomd 11200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
60	55, 58, 59	3eqtr4rd 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))))
61	60	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))))
62	44, 19	subcld 11539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − i) ∈ ℂ)
63	62, 20	pncand 11540	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)) = (𝑋 − i))
64	63	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = (𝑌 · (𝑋 − i)))
65	64	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (𝑋 − i))))
66	4, 44, 19	subdid 11640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − i)) = ((𝑌 · 𝑋) − (𝑌 · i)))
67	59, 26	oveq12d 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌)) = ((𝑌 · 𝑋) − (𝑌 · i)))
68	66, 67	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − i)) = ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌)))
69	68	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + (𝑌 · (𝑋 − i))) = ((i · 𝑌) + ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌))))
70	20, 52	pncan3d 11542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
71	65, 69, 70	3eqtrrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))))
72	71	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))))
73	54	fveq2d 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 0)) = (∗‘𝑋))
74	43	cjred 15236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
75	73, 74	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 0)) = 𝑋)
76	63, 45	eqtr4d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)) = (𝑋 + -i))
77	75, 76	oveq12d 7410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑋 + -i)))
78	19	negcld 11526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -i ∈ ℂ)
79	44, 44, 78	adddid 11203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑋 + -i)) = ((𝑋 · 𝑋) + (𝑋 · -i)))
80	44, 78	mulcomd 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · -i) = (-i · 𝑋))
81		mulneg12 11622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (-i · 𝑋) = (i · -𝑋))
82	19, 44, 81	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-i · 𝑋) = (i · -𝑋))
83	80, 82	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · -i) = (i · -𝑋))
84	83	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑋) + (𝑋 · -i)) = ((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋)))
85	77, 79, 84	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = ((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋)))
86	85	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = (ℑ‘((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋))))
87	43, 43	remulcld 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑋) ∈ ℝ)
88	43	renegcld 11611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
89	87, 88	crimd 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋))) = -𝑋)
90	86, 89	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = -𝑋)
91	90	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = -𝑋)
92	44	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
93		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
94	92, 93	negne0d 11537	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → -𝑋 ≠ 0)
95	91, 94	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) ≠ 0)
96	13, 15, 42, 50, 51, 51, 53, 61, 72, 95	constrllcl 34014	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)
97	12, 96	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ≠ wne 2956 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ℂcc 11068 ℝcr 11069 0cc0 11070 1c1 11071 ici 11072 + caddc 11073 · cmul 11075 − cmin 11411 -cneg 11412 ℕ₀cn0 12478 ∗ccj 15106 ℑcim 15108 abscabs 15244 Constrcconstr 33987

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5226 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147 ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-tp 4586 df-op 4588 df-uni 4865 df-iun 4950 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-om 7843 df-2nd 7967 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-1o 8432 df-2o 8433 df-er 8673 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-fin 8927 df-sup 9385 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-div 11842 df-nn 12208 df-2 12277 df-3 12278 df-4 12279 df-n0 12479 df-z 12566 df-uz 12837 df-rp 12991 df-seq 14012 df-exp 14072 df-cj 15109 df-re 15110 df-im 15111 df-sqrt 15245 df-abs 15246 df-constr 33988

This theorem is referenced by: constrmulcl 34029

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