constrremulcl - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem constrremulcl 34482

Description: If two real numbers 𝑋 and 𝑌 are constructible, then, so is their product. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constrremulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrremulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
constrremulcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
constrremulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
constrremulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

**Proof of Theorem constrremulcl**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7461	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
3		constrremulcl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	mul02d 11538	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 · 𝑌) = 0)
7	2, 6	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
8		0nn0 12651	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ₀)
10	9	nn0constr 34476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 0 ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)
13	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 ∈ Constr)
14		constrremulcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ Constr)
16		iconstr 34481	. . . . . 6 ⊢ i ∈ Constr
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
18		constrremulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
19	17	constrcn 34475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 11359	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) ∈ ℂ)
21	19	subid1d 11688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
22	21	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (i − 0)) = (𝑌 · i))
23	21, 19	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
24	4, 23	mulcld 11359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (i − 0)) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 11541	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 · (i − 0))) = (𝑌 · (i − 0)))
26	19, 4	mulcomd 11360	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) = (𝑌 · i))
27	22, 25, 26	3eqtr4rd 2809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (i − 0))))
28	19, 4	absmuld 15656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · 𝑌)) = ((abs‘i) · (abs‘𝑌)))
29		absi 15485	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
31	30	oveq1d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘𝑌)) = (1 · (abs‘𝑌)))
32	4	abscld 15638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘𝑌)) = (abs‘𝑌))
35	28, 31, 34	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · 𝑌)) = (abs‘𝑌))
36	20	subid1d 11688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) − 0) = (i · 𝑌))
37	36	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · 𝑌) − 0)) = (abs‘(i · 𝑌)))
38	4	subid1d 11688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 0) = 𝑌)
39	38	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 0)) = (abs‘𝑌))
40	35, 37, 39	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · 𝑌) − 0)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
41	10, 17, 10, 18, 10, 3, 20, 27, 40	constrlccl 34472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) ∈ Constr)
42	41	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (i · 𝑌) ∈ Constr)
43		constrremulcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	44, 19	negsubd 11705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -i) = (𝑋 − i))
46	17	constrnegcl 34478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -i ∈ Constr)
47	14, 46	constraddcl 34477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -i) ∈ Constr)
48	45, 47	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − i) ∈ Constr)
49	48, 41	constraddcl 34477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) ∈ Constr)
50	49	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) ∈ Constr)
51	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
52	44, 4	mulcld 11359	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
53	52	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
54	44	subid1d 11688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
55	54	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − 0)) = (𝑌 · 𝑋))
56	54, 44	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
57	4, 56	mulcld 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))) = (𝑌 · (𝑋 − 0)))
59	44, 4	mulcomd 11360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
60	55, 58, 59	3eqtr4rd 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))))
61	60	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))))
62	44, 19	subcld 11699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − i) ∈ ℂ)
63	62, 20	pncand 11700	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)) = (𝑋 − i))
64	63	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = (𝑌 · (𝑋 − i)))
65	64	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (𝑋 − i))))
66	4, 44, 19	subdid 11802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − i)) = ((𝑌 · 𝑋) − (𝑌 · i)))
67	59, 26	oveq12d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌)) = ((𝑌 · 𝑋) − (𝑌 · i)))
68	66, 67	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − i)) = ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌)))
69	68	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + (𝑌 · (𝑋 − i))) = ((i · 𝑌) + ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌))))
70	20, 52	pncan3d 11702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
71	65, 69, 70	3eqtrrd 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))))
72	71	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))))
73	54	fveq2d 6915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 0)) = (∗‘𝑋))
74	43	cjred 15425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
75	73, 74	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 0)) = 𝑋)
76	63, 45	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)) = (𝑋 + -i))
77	75, 76	oveq12d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑋 + -i)))
78	19	negcld 11686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -i ∈ ℂ)
79	44, 44, 78	adddid 11363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑋 + -i)) = ((𝑋 · 𝑋) + (𝑋 · -i)))
80	44, 78	mulcomd 11360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · -i) = ( -i · 𝑋))
81		mulneg12 11784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ( -i · 𝑋) = (i · -𝑋))
82	19, 44, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -i · 𝑋) = (i · -𝑋))
83	80, 82	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · -i) = (i · -𝑋))
84	83	oveq2d 7462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑋) + (𝑋 · -i)) = ((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋)))
85	77, 79, 84	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = ((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋)))
86	85	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = (ℑ‘((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋))))
87	43, 43	remulcld 11369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑋) ∈ ℝ)
88	43	renegcld 11773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
89	87, 88	crimd 15431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋))) = -𝑋)
90	86, 89	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = -𝑋)
91	90	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = -𝑋)
92	44	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
93		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
94	92, 93	negne0d 11697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → -𝑋 ≠ 0)
95	91, 94	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) ≠ 0)
96	13, 15, 42, 50, 51, 51, 53, 61, 72, 95	constrllcl 34471	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)
97	12, 96	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 ‘cfv 6561 (class class class)co 7446 ℂcc 11228 ℝcr 11229 0cc0 11230 1c1 11231 ici 11232 + caddc 11233 · cmul 11235 − cmin 11571 -cneg 11572 ℕ₀cn0 12636 ∗ccj 15295 ℑcim 15297 abscabs 15433 Constrcconstr 34444

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5236 ax-sep 5253 ax-nul 5264 ax-pow 5332 ax-pr 5396 ax-un 7778 ax-cnex 11286 ax-resscn 11287 ax-1cn 11288 ax-icn 11289 ax-addcl 11290 ax-addrcl 11291 ax-mulcl 11292 ax-mulrcl 11293 ax-mulcom 11294 ax-addass 11295 ax-mulass 11296 ax-distr 11297 ax-i2m1 11298 ax-1ne0 11299 ax-1rid 11300 ax-rnegex 11301 ax-rrecex 11302 ax-cnre 11303 ax-pre-lttri 11304 ax-pre-lttrn 11305 ax-pre-ltadd 11306 ax-pre-mulgt0 11307 ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4839 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5551 df-eprel 5556 df-po 5564 df-so 5565 df-fr 5609 df-we 5611 df-xp 5662 df-rel 5663 df-cnv 5664 df-co 5665 df-dm 5666 df-rn 5667 df-res 5668 df-ima 5669 df-pred 6325 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6515 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7403 df-ov 7449 df-oprab 7450 df-mpo 7451 df-om 7905 df-2nd 8029 df-frecs 8330 df-wrecs 8361 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8507 df-2o 8508 df-er 8748 df-en 9005 df-dom 9006 df-sdom 9007 df-fin 9008 df-sup 9464 df-pnf 11375 df-mnf 11376 df-xr 11377 df-ltxr 11378 df-le 11379 df-sub 11573 df-neg 11574 df-div 12004 df-nn 12366 df-2 12435 df-3 12436 df-4 12437 df-n0 12637 df-z 12724 df-uz 12996 df-rp 13151 df-seq 14175 df-exp 14235 df-cj 15298 df-re 15299 df-im 15300 df-sqrt 15434 df-abs 15435 df-constr 34445

This theorem is used by: constrmulcl 34486

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