constrremulcl - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem constrremulcl 33911

Description: If two real numbers 𝑋 and 𝑌 are constructible, then, so is their product. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
constrremulcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrremulcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
constrremulcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
constrremulcl.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

**Assertion**
Ref	Expression
constrremulcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

**Proof of Theorem constrremulcl**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
3		constrremulcl.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	mul02d 11344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (0 · 𝑌) = 0)
7	2, 6	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = 0)
8		0nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ₀)
10	9	nn0constr 33905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → 0 ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)
13	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 0 ∈ Constr)
14		constrremulcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ Constr)
16		iconstr 33910	. . . . . 6 ⊢ i ∈ Constr
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
18		constrremulcl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Constr)
19	17	constrcn 33904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
20	19, 4	mulcld 11165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) ∈ ℂ)
21	19	subid1d 11494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (i − 0) = i)
22	21	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (i − 0)) = (𝑌 · i))
23	21, 19	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (i − 0) ∈ ℂ)
24	4, 23	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (i − 0)) ∈ ℂ)
25	24	addlidd 11347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 · (i − 0))) = (𝑌 · (i − 0)))
26	19, 4	mulcomd 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) = (𝑌 · i))
27	22, 25, 26	3eqtr4rd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (i − 0))))
28	19, 4	absmuld 15419	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · 𝑌)) = ((abs‘i) · (abs‘𝑌)))
29		absi 15248	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘i) = 1
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘i) = 1)
31	30	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘i) · (abs‘𝑌)) = (1 · (abs‘𝑌)))
32	4	abscld 15401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℝ)
33	32	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑌) ∈ ℂ)
34	33	mullidd 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · (abs‘𝑌)) = (abs‘𝑌))
35	28, 31, 34	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(i · 𝑌)) = (abs‘𝑌))
36	20	subid1d 11494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) − 0) = (i · 𝑌))
37	36	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · 𝑌) − 0)) = (abs‘(i · 𝑌)))
38	4	subid1d 11494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 0) = 𝑌)
39	38	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 0)) = (abs‘𝑌))
40	35, 37, 39	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((i · 𝑌) − 0)) = (abs‘(𝑌 − 0)))
41	10, 17, 10, 18, 10, 3, 20, 27, 40	constrlccl 33901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑌) ∈ Constr)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (i · 𝑌) ∈ Constr)
43		constrremulcl.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
44	43	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
45	44, 19	negsubd 11511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -i) = (𝑋 − i))
46	17	constrnegcl 33907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -i ∈ Constr)
47	14, 46	constraddcl 33906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + -i) ∈ Constr)
48	45, 47	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − i) ∈ Constr)
49	48, 41	constraddcl 33906	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) ∈ Constr)
50	49	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) ∈ Constr)
51	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
52	44, 4	mulcld 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
53	52	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
54	44	subid1d 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) = 𝑋)
55	54	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − 0)) = (𝑌 · 𝑋))
56	54, 44	eqeltrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 0) ∈ ℂ)
57	4, 56	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − 0)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))) = (𝑌 · (𝑋 − 0)))
59	44, 4	mulcomd 11166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
60	55, 58, 59	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))))
61	60	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) = (0 + (𝑌 · (𝑋 − 0))))
62	44, 19	subcld 11505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − i) ∈ ℂ)
63	62, 20	pncand 11506	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)) = (𝑋 − i))
64	63	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = (𝑌 · (𝑋 − i)))
65	64	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (𝑋 − i))))
66	4, 44, 19	subdid 11606	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − i)) = ((𝑌 · 𝑋) − (𝑌 · i)))
67	59, 26	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌)) = ((𝑌 · 𝑋) − (𝑌 · i)))
68	66, 67	eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑋 − i)) = ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌)))
69	68	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + (𝑌 · (𝑋 − i))) = ((i · 𝑌) + ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌))))
70	20, 52	pncan3d 11508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑌) + ((𝑋 · 𝑌) − (i · 𝑌))) = (𝑋 · 𝑌))
71	65, 69, 70	3eqtrrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))))
72	71	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) = ((i · 𝑌) + (𝑌 · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))))
73	54	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 0)) = (∗‘𝑋))
74	43	cjred 15188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
75	73, 74	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 0)) = 𝑋)
76	63, 45	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)) = (𝑋 + -i))
77	75, 76	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = (𝑋 · (𝑋 + -i)))
78	19	negcld 11492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -i ∈ ℂ)
79	44, 44, 78	adddid 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑋 + -i)) = ((𝑋 · 𝑋) + (𝑋 · -i)))
80	44, 78	mulcomd 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · -i) = (-i · 𝑋))
81		mulneg12 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (-i · 𝑋) = (i · -𝑋))
82	19, 44, 81	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-i · 𝑋) = (i · -𝑋))
83	80, 82	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · -i) = (i · -𝑋))
84	83	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑋) + (𝑋 · -i)) = ((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋)))
85	77, 79, 84	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌))) = ((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋)))
86	85	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = (ℑ‘((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋))))
87	43, 43	remulcld 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑋) ∈ ℝ)
88	43	renegcld 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
89	87, 88	crimd 15194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝑋 · 𝑋) + (i · -𝑋))) = -𝑋)
90	86, 89	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = -𝑋)
91	90	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) = -𝑋)
92	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
93		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
94	92, 93	negne0d 11503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → -𝑋 ≠ 0)
95	91, 94	eqnetrd 2999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (ℑ‘((∗‘(𝑋 − 0)) · (((𝑋 − i) + (i · 𝑌)) − (i · 𝑌)))) ≠ 0)
96	13, 15, 42, 50, 51, 51, 53, 61, 72, 95	constrllcl 33900	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)
97	12, 96	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ Constr)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2932 ‘cfv 6498 (class class class)co 7367 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 ici 11040 + caddc 11041 · cmul 11043 − cmin 11377 -cneg 11378 ℕ₀cn0 12437 ∗ccj 15058 ℑcim 15060 abscabs 15196 Constrcconstr 33873

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2708 ax-rep 5212 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5307 ax-pr 5375 ax-un 7689 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3062 df-rmo 3342 df-reu 3343 df-rab 3390 df-v 3431 df-sbc 3729 df-csb 3838 df-dif 3892 df-un 3894 df-in 3896 df-ss 3906 df-pss 3909 df-nul 4274 df-if 4467 df-pw 4543 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4851 df-iun 4935 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5167 df-tr 5193 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6265 df-ord 6326 df-on 6327 df-lim 6328 df-suc 6329 df-iota 6454 df-fun 6500 df-fn 6501 df-f 6502 df-f1 6503 df-fo 6504 df-f1o 6505 df-fv 6506 df-riota 7324 df-ov 7370 df-oprab 7371 df-mpo 7372 df-om 7818 df-2nd 7943 df-frecs 8231 df-wrecs 8262 df-recs 8311 df-rdg 8349 df-1o 8405 df-2o 8406 df-er 8643 df-en 8894 df-dom 8895 df-sdom 8896 df-fin 8897 df-sup 9355 df-pnf 11181 df-mnf 11182 df-xr 11183 df-ltxr 11184 df-le 11185 df-sub 11379 df-neg 11380 df-div 11808 df-nn 12175 df-2 12244 df-3 12245 df-4 12246 df-n0 12438 df-z 12525 df-uz 12789 df-rp 12943 df-seq 13964 df-exp 14024 df-cj 15061 df-re 15062 df-im 15063 df-sqrt 15197 df-abs 15198 df-constr 33874

This theorem is referenced by: constrmulcl 33915

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