Theorem constrrecl 34449

Description: Constructible numbers are closed under taking the real part. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
constrcjcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)

Assertion

Ref	Expression
constrrecl	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2	1	rered 15398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) = 𝑋)
3		constrcjcl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
5	2, 4	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
6		0zd 12710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7	6	zconstr 34444	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 0 ∈ Constr)
9		1zzd 12732	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
10	9	zconstr 34444	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 1 ∈ Constr)
12	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ Constr)
13	3	constrcjcl 34448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (∗‘𝑋) ∈ Constr)
15	3	constrcn 34440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
16	15	recld 15368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) ∈ ℝ)
18		halfre 12564	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
20	16	recnd 11342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) ∈ ℂ)
22		1cnd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	22	subid1d 11663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
24	23, 22	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
25	20, 24	mulcld 11334	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
26	25	addlidd 11516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + ((ℜ‘𝑋) · (1 − 0))) = ((ℜ‘𝑋) · (1 − 0)))
27	23	oveq2d 7438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · (1 − 0)) = ((ℜ‘𝑋) · 1))
28	20	mulridd 11331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) · 1) = (ℜ‘𝑋))
29	26, 27, 28	3eqtrrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) = (0 + ((ℜ‘𝑋) · (1 − 0))))
30	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) = (0 + ((ℜ‘𝑋) · (1 − 0))))
31	15	cjcld 15370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
32	15, 31	addcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
33		2cnd 12426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
34		2ne0 12454	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
36	32, 33, 35	divrec2d 12102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋 + (∗‘𝑋))))
37		reval 15280	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
38	15, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
39	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
41	40, 31, 15	subdid 11777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((∗‘𝑋) − 𝑋)) = (((1 / 2) · (∗‘𝑋)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
42	41	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((1 / 2) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))) = (𝑋 + (((1 / 2) · (∗‘𝑋)) − ((1 / 2) · 𝑋))))
43	40, 15	mulcld 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
44	40, 31	mulcld 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
45	15, 43, 44	subadd23d 11696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − ((1 / 2) · 𝑋)) + ((1 / 2) · (∗‘𝑋))) = (𝑋 + (((1 / 2) · (∗‘𝑋)) − ((1 / 2) · 𝑋))))
46	22, 40, 15	subdird 11778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 2)) · 𝑋) = ((1 · 𝑋) − ((1 / 2) · 𝑋)))
47		1mhlfehlf 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
49	48	oveq1d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 / 2)) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
50	15	mullidd 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
51	50	oveq1d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝑋) − ((1 / 2) · 𝑋)) = (𝑋 − ((1 / 2) · 𝑋)))
52	46, 49, 51	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − ((1 / 2) · 𝑋)) = ((1 / 2) · 𝑋))
53	52	oveq1d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − ((1 / 2) · 𝑋)) + ((1 / 2) · (∗‘𝑋))) = (((1 / 2) · 𝑋) + ((1 / 2) · (∗‘𝑋))))
54	40, 15, 31	adddid 11338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 + (∗‘𝑋))) = (((1 / 2) · 𝑋) + ((1 / 2) · (∗‘𝑋))))
55	53, 54	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − ((1 / 2) · 𝑋)) + ((1 / 2) · (∗‘𝑋))) = ((1 / 2) · (𝑋 + (∗‘𝑋))))
56	42, 45, 55	3eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((1 / 2) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))) = ((1 / 2) · (𝑋 + (∗‘𝑋))))
57	36, 38, 56	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) = (𝑋 + ((1 / 2) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))))
58	57	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) = (𝑋 + ((1 / 2) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))))
59	23	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − 0)) = (∗‘1))
60		1red 11314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
61	60	cjred 15400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘1) = 1)
62	59, 61	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − 0)) = 1)
63	62	oveq1d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(1 − 0)) · ((∗‘𝑋) − 𝑋)) = (1 · ((∗‘𝑋) − 𝑋)))
64	31, 15	subcld 11674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑋) − 𝑋) ∈ ℂ)
65	64	mullidd 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ((∗‘𝑋) − 𝑋)) = ((∗‘𝑋) − 𝑋))
66	63, 65	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(1 − 0)) · ((∗‘𝑋) − 𝑋)) = ((∗‘𝑋) − 𝑋))
67	66	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘(1 − 0)) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))) = (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)))
68	67	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘(1 − 0)) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))) = (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)))
69	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
70		imval2 15325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑋) = ((𝑋 − (∗‘𝑋)) / (2 · i)))
71	15, 70	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝑋) = ((𝑋 − (∗‘𝑋)) / (2 · i)))
72	71	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘𝑋) = ((𝑋 − (∗‘𝑋)) / (2 · i)))
73	15, 31	subcld 11674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (𝑋 − (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
75	64	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → ((∗‘𝑋) − 𝑋) ∈ ℂ)
76	75	imnegd 15384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘ -((∗‘𝑋) − 𝑋)) = -(ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)))
77	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
78	77, 69	negsubdi2d 11690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → -((∗‘𝑋) − 𝑋) = (𝑋 − (∗‘𝑋)))
79	78	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘ -((∗‘𝑋) − 𝑋)) = (ℑ‘(𝑋 − (∗‘𝑋))))
80		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0)
81	80	negeqd 11556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → -(ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = -0)
82	76, 79, 81	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘(𝑋 − (∗‘𝑋))) = -0)
83		neg0 11609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -0 = 0
84	82, 83	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘(𝑋 − (∗‘𝑋))) = 0)
85	74, 84	reim0bd 15374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (𝑋 − (∗‘𝑋)) ∈ ℝ)
86		cjth 15277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋 + (∗‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑋 − (∗‘𝑋))) ∈ ℝ))
87	15, 86	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (∗‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑋 − (∗‘𝑋))) ∈ ℝ))
88	87	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (i · (𝑋 − (∗‘𝑋))) ∈ ℝ)
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (i · (𝑋 − (∗‘𝑋))) ∈ ℝ)
90		rimul 12316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 − (∗‘𝑋)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑋 − (∗‘𝑋))) ∈ ℝ) → (𝑋 − (∗‘𝑋)) = 0)
91	85, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (𝑋 − (∗‘𝑋)) = 0)
92	91	oveq1d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → ((𝑋 − (∗‘𝑋)) / (2 · i)) = (0 / (2 · i)))
93		ax-icn 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
95	33, 94	mulcld 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · i) ∈ ℂ)
96	95	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (2 · i) ∈ ℂ)
97		ine0 11756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → i ≠ 0)
99	33, 94, 35, 98	mulne0d 11973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · i) ≠ 0)
100	99	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (2 · i) ≠ 0)
101	96, 100	div0d 12097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (0 / (2 · i)) = 0)
102	72, 92, 101	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → (ℑ‘𝑋) = 0)
103	69, 102	reim0bd 15374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
104	103	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) = 0 → 𝑋 ∈ ℝ))
105	104	necon3bd 2969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ℝ → (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) ≠ 0))
106	105	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘𝑋) − 𝑋)) ≠ 0)
107	68, 106	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℑ‘((∗‘(1 − 0)) · ((∗‘𝑋) − 𝑋))) ≠ 0)
108	8, 11, 12, 14, 17, 19, 21, 30, 58, 107	constrllcl 34436	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)
109	5, 108	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206  ici 11207   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  2c2 12402  ∗ccj 15270  ℜcre 15271  ℑcim 15272  Constrcconstr 34409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-z 12699  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-abs 15410  df-constr 34410

This theorem is used by:  constrimcl  34450  constrmulcl  34451