Theorem constrreinvcl 33929

Description: If a real number 𝑋 is constructible, then, so is its inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
constrreinvcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
constrreinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrreinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iconstr 33923	. . 3 ⊢ i ∈ Constr
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
3		1cnd 11127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		constrinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5	2, 4	constrmulcl 33928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ Constr)
6	5	constrcn 33917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ ℂ)
7	3, 6	negsubd 11498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) = (1 − (i · 𝑋)))
8		1zzd 12522	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9	8	zconstr 33921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
10	5	constrnegcl 33920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(i · 𝑋) ∈ Constr)
11	9, 10	constraddcl 33919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ Constr)
13	2, 12	constraddcl 33919	. 2 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ Constr)
14		0zd 12500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
15	14	zconstr 33921	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
16		constrreinvcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		constrinvcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
18	16, 17	rereccld 11968	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11160	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
20	2	constrcn 33917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	3, 6	subcld 11492	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ ℂ)
22	20, 21	pncan2d 11494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) = (1 − (i · 𝑋)))
23	22	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))))
24	23	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))) = (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))))
25	19, 3, 6	subdid 11593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))))
26	19	mulridd 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · 1) = (1 / 𝑋))
27	16	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	3, 27, 6, 17	div32d 11940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)))
29	6, 27, 17	divcld 11917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)) = ((i · 𝑋) / 𝑋))
31	20, 27, 17	divcan4d 11923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) = i)
32	28, 30, 31	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = i)
33	26, 32	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
34	25, 33	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
35	34	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))) = (i + ((1 / 𝑋) − i)))
36	20, 19	pncan3d 11495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) − i)) = (1 / 𝑋))
37	24, 35, 36	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))))
38	3	subid1d 11481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
39	38, 3	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
40	19, 39	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11334	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))) = ((1 / 𝑋) · (1 − 0)))
42	38	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) = ((1 / 𝑋) · 1))
43	41, 42, 26	3eqtrrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))))
44	38	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1))
45	13	constrcn 33917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ ℂ)
46	45, 20	subcld 11492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) ∈ ℂ)
47	46	cjcld 15119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) ∈ ℂ)
48	47	mulridd 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1) = (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)))
49	22	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
50	44, 48, 49	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
51	50	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))))
52	3, 6	cjsubd 32822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))))
53		1red 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
54	53	cjred 15149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘1) = 1)
55	20, 27	cjmuld 15144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = ((∗‘i) · (∗‘𝑋)))
56		cji 15082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘i) = -i
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
58	16	cjred 15149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
59	57, 58	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘𝑋)) = (-i · 𝑋))
60	20, 27	mulneg1d 11590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-i · 𝑋) = -(i · 𝑋))
61	55, 59, 60	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = -(i · 𝑋))
62	54, 61	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))) = (1 − -(i · 𝑋)))
63	3, 6	subnegd 11499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − -(i · 𝑋)) = (1 + (i · 𝑋)))
64	52, 62, 63	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = (1 + (i · 𝑋)))
65	64	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))) = (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))))
66	53, 16	crimd 15155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))) = 𝑋)
67	51, 65, 66	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = 𝑋)
68	67, 17	eqnetrd 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) ≠ 0)
69	2, 13, 15, 9, 18, 18, 19, 37, 43, 68	constrllcl 33913	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  ∗ccj 15019  ℑcim 15021  Constrcconstr 33886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-constr 33887

This theorem is referenced by:  constrinvcl  33930