Theorem constrreinvcl 34202

Description: If a real number 𝑋 is constructible, then, so is its inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
constrreinvcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
constrreinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrreinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iconstr 34196	. . 3 ⊢ i ∈ Constr
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
3		1cnd 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		constrinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5	2, 4	constrmulcl 34201	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ Constr)
6	5	constrcn 34190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ ℂ)
7	3, 6	negsubd 11586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) = (1 − (i · 𝑋)))
8		1zzd 12636	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9	8	zconstr 34194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
10	5	constrnegcl 34193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(i · 𝑋) ∈ Constr)
11	9, 10	constraddcl 34192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ Constr)
13	2, 12	constraddcl 34192	. 2 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ Constr)
14		0zd 12614	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
15	14	zconstr 34194	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
16		constrreinvcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		constrinvcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
18	16, 17	rereccld 12053	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11248	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
20	2	constrcn 34190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	3, 6	subcld 11580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ ℂ)
22	20, 21	pncan2d 11582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) = (1 − (i · 𝑋)))
23	22	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))))
24	23	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))) = (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))))
25	19, 3, 6	subdid 11681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))))
26	19	mulridd 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · 1) = (1 / 𝑋))
27	16	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	3, 27, 6, 17	div32d 12025	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)))
29	6, 27, 17	divcld 12002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)) = ((i · 𝑋) / 𝑋))
31	20, 27, 17	divcan4d 12008	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) = i)
32	28, 30, 31	3eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = i)
33	26, 32	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
34	25, 33	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
35	34	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))) = (i + ((1 / 𝑋) − i)))
36	20, 19	pncan3d 11583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) − i)) = (1 / 𝑋))
37	24, 35, 36	3eqtrrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))))
38	3	subid1d 11569	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
39	38, 3	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
40	19, 39	mulcld 11240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))) = ((1 / 𝑋) · (1 − 0)))
42	38	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) = ((1 / 𝑋) · 1))
43	41, 42, 26	3eqtrrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))))
44	38	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1))
45	13	constrcn 34190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ ℂ)
46	45, 20	subcld 11580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) ∈ ℂ)
47	46	cjcld 15267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) ∈ ℂ)
48	47	mulridd 11237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1) = (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)))
49	22	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
50	44, 48, 49	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
51	50	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))))
52	3, 6	cjsubd 33133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))))
53		1red 11220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
54	53	cjred 15297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘1) = 1)
55	20, 27	cjmuld 15292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = ((∗‘i) · (∗‘𝑋)))
56		cji 15230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘i) = -i
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
58	16	cjred 15297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
59	57, 58	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘𝑋)) = (-i · 𝑋))
60	20, 27	mulneg1d 11678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-i · 𝑋) = -(i · 𝑋))
61	55, 59, 60	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = -(i · 𝑋))
62	54, 61	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))) = (1 − -(i · 𝑋)))
63	3, 6	subnegd 11587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − -(i · 𝑋)) = (1 + (i · 𝑋)))
64	52, 62, 63	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = (1 + (i · 𝑋)))
65	64	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))) = (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))))
66	53, 16	crimd 15303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))) = 𝑋)
67	51, 65, 66	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = 𝑋)
68	67, 17	eqnetrd 3027	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) ≠ 0)
69	2, 13, 15, 9, 18, 18, 19, 37, 43, 68	constrllcl 34186	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  ∗ccj 15167  ℑcim 15169  Constrcconstr 34159

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-constr 34160

This theorem is used by:  constrinvcl  34203