Theorem constrreinvcl 34452

Description: If a real number 𝑋 is constructible, then, so is its inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
constrreinvcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
constrreinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrreinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iconstr 34446	. . 3 ⊢ i ∈ Constr
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
3		1cnd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		constrinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5	2, 4	constrmulcl 34451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ Constr)
6	5	constrcn 34440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ ℂ)
7	3, 6	negsubd 11680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) = (1 − (i · 𝑋)))
8		1zzd 12732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9	8	zconstr 34444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
10	5	constrnegcl 34443	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(i · 𝑋) ∈ Constr)
11	9, 10	constraddcl 34442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ Constr)
13	2, 12	constraddcl 34442	. 2 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ Constr)
14		0zd 12710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
15	14	zconstr 34444	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
16		constrreinvcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		constrinvcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
18	16, 17	rereccld 12149	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11342	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
20	2	constrcn 34440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	3, 6	subcld 11674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ ℂ)
22	20, 21	pncan2d 11676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) = (1 − (i · 𝑋)))
23	22	oveq2d 7438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))))
24	23	oveq2d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))) = (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))))
25	19, 3, 6	subdid 11777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))))
26	19	mulridd 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · 1) = (1 / 𝑋))
27	16	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	3, 27, 6, 17	div32d 12121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)))
29	6, 27, 17	divcld 12098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)) = ((i · 𝑋) / 𝑋))
31	20, 27, 17	divcan4d 12104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) = i)
32	28, 30, 31	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = i)
33	26, 32	oveq12d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
34	25, 33	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
35	34	oveq2d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))) = (i + ((1 / 𝑋) − i)))
36	20, 19	pncan3d 11677	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) − i)) = (1 / 𝑋))
37	24, 35, 36	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))))
38	3	subid1d 11663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
39	38, 3	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
40	19, 39	mulcld 11334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))) = ((1 / 𝑋) · (1 − 0)))
42	38	oveq2d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) = ((1 / 𝑋) · 1))
43	41, 42, 26	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))))
44	38	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1))
45	13	constrcn 34440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ ℂ)
46	45, 20	subcld 11674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) ∈ ℂ)
47	46	cjcld 15370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) ∈ ℂ)
48	47	mulridd 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1) = (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)))
49	22	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
50	44, 48, 49	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
51	50	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))))
52	3, 6	cjsubd 33382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))))
53		1red 11314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
54	53	cjred 15400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘1) = 1)
55	20, 27	cjmuld 15395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = ((∗‘i) · (∗‘𝑋)))
56		cji 15333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘i) = -i
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
58	16	cjred 15400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
59	57, 58	oveq12d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘𝑋)) = ( -i · 𝑋))
60	20, 27	mulneg1d 11774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( -i · 𝑋) = -(i · 𝑋))
61	55, 59, 60	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = -(i · 𝑋))
62	54, 61	oveq12d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))) = (1 − -(i · 𝑋)))
63	3, 6	subnegd 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − -(i · 𝑋)) = (1 + (i · 𝑋)))
64	52, 62, 63	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = (1 + (i · 𝑋)))
65	64	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))) = (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))))
66	53, 16	crimd 15406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))) = 𝑋)
67	51, 65, 66	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = 𝑋)
68	67, 17	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) ≠ 0)
69	2, 13, 15, 9, 18, 18, 19, 37, 43, 68	constrllcl 34436	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206  ici 11207   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  ∗ccj 15270  ℑcim 15272  Constrcconstr 34409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-constr 34410

This theorem is used by:  constrinvcl  34453