Theorem constrreinvcl 33722

Description: If a real number 𝑋 is constructible, then, so is its inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
constrreinvcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
constrreinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrreinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iconstr 33716	. . 3 ⊢ i ∈ Constr
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
3		1cnd 11222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		constrinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5	2, 4	constrmulcl 33721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ Constr)
6	5	constrcn 33710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ ℂ)
7	3, 6	negsubd 11592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) = (1 − (i · 𝑋)))
8		1zzd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9	8	zconstr 33714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
10	5	constrnegcl 33713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(i · 𝑋) ∈ Constr)
11	9, 10	constraddcl 33712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ Constr)
13	2, 12	constraddcl 33712	. 2 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ Constr)
14		0zd 12592	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
15	14	zconstr 33714	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
16		constrreinvcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		constrinvcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
18	16, 17	rereccld 12060	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11255	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
20	2	constrcn 33710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	3, 6	subcld 11586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ ℂ)
22	20, 21	pncan2d 11588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) = (1 − (i · 𝑋)))
23	22	oveq2d 7415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))))
24	23	oveq2d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))) = (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))))
25	19, 3, 6	subdid 11685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))))
26	19	mulridd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · 1) = (1 / 𝑋))
27	16	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	3, 27, 6, 17	div32d 12032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)))
29	6, 27, 17	divcld 12009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)) = ((i · 𝑋) / 𝑋))
31	20, 27, 17	divcan4d 12015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) = i)
32	28, 30, 31	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = i)
33	26, 32	oveq12d 7417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
34	25, 33	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
35	34	oveq2d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))) = (i + ((1 / 𝑋) − i)))
36	20, 19	pncan3d 11589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) − i)) = (1 / 𝑋))
37	24, 35, 36	3eqtrrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))))
38	3	subid1d 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
39	38, 3	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
40	19, 39	mulcld 11247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))) = ((1 / 𝑋) · (1 − 0)))
42	38	oveq2d 7415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) = ((1 / 𝑋) · 1))
43	41, 42, 26	3eqtrrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))))
44	38	oveq2d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1))
45	13	constrcn 33710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ ℂ)
46	45, 20	subcld 11586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) ∈ ℂ)
47	46	cjcld 15202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) ∈ ℂ)
48	47	mulridd 11244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1) = (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)))
49	22	fveq2d 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
50	44, 48, 49	3eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
51	50	fveq2d 6876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))))
52	3, 6	cjsubd 32654	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))))
53		1red 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
54	53	cjred 15232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘1) = 1)
55	20, 27	cjmuld 15227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = ((∗‘i) · (∗‘𝑋)))
56		cji 15165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘i) = -i
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
58	16	cjred 15232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
59	57, 58	oveq12d 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘𝑋)) = (-i · 𝑋))
60	20, 27	mulneg1d 11682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-i · 𝑋) = -(i · 𝑋))
61	55, 59, 60	3eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = -(i · 𝑋))
62	54, 61	oveq12d 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))) = (1 − -(i · 𝑋)))
63	3, 6	subnegd 11593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − -(i · 𝑋)) = (1 + (i · 𝑋)))
64	52, 62, 63	3eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = (1 + (i · 𝑋)))
65	64	fveq2d 6876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))) = (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))))
66	53, 16	crimd 15238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))) = 𝑋)
67	51, 65, 66	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = 𝑋)
68	67, 17	eqnetrd 2998	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) ≠ 0)
69	2, 13, 15, 9, 18, 18, 19, 37, 43, 68	constrllcl 33706	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122  ici 11123   + caddc 11124   · cmul 11126   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11886  ∗ccj 15102  ℑcim 15104  Constrcconstr 33679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9448  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-constr 33680

This theorem is referenced by:  constrinvcl  33723