Theorem constrreinvcl 34397

Description: If a real number 𝑋 is constructible, then, so is its inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrinvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
constrinvcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
constrreinvcl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
constrreinvcl	⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

Proof of Theorem constrreinvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iconstr 34391	. . 3 ⊢ i ∈ Constr
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → i ∈ Constr)
3		1cnd 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4		constrinvcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Constr)
5	2, 4	constrmulcl 34396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ Constr)
6	5	constrcn 34385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝑋) ∈ ℂ)
7	3, 6	negsubd 11668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) = (1 − (i · 𝑋)))
8		1zzd 12720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9	8	zconstr 34389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ Constr)
10	5	constrnegcl 34388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(i · 𝑋) ∈ Constr)
11	9, 10	constraddcl 34387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + -(i · 𝑋)) ∈ Constr)
12	7, 11	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ Constr)
13	2, 12	constraddcl 34387	. 2 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ Constr)
14		0zd 12698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
15	14	zconstr 34389	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ Constr)
16		constrreinvcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
17		constrinvcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
18	16, 17	rereccld 12137	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11330	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
20	2	constrcn 34385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	3, 6	subcld 11662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − (i · 𝑋)) ∈ ℂ)
22	20, 21	pncan2d 11664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) = (1 − (i · 𝑋)))
23	22	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))))
24	23	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))) = (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))))
25	19, 3, 6	subdid 11765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))))
26	19	mulridd 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · 1) = (1 / 𝑋))
27	16	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
28	3, 27, 6, 17	div32d 12109	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)))
29	6, 27, 17	divcld 12086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℂ)
30	29	mullidd 11320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 · ((i · 𝑋) / 𝑋)) = ((i · 𝑋) / 𝑋))
31	20, 27, 17	divcan4d 12092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝑋) / 𝑋) = i)
32	28, 30, 31	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋)) = i)
33	26, 32	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 𝑋) · 1) − ((1 / 𝑋) · (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
34	25, 33	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋))) = ((1 / 𝑋) − i))
35	34	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) · (1 − (i · 𝑋)))) = (i + ((1 / 𝑋) − i)))
36	20, 19	pncan3d 11665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i + ((1 / 𝑋) − i)) = (1 / 𝑋))
37	24, 35, 36	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (i + ((1 / 𝑋) · ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i))))
38	3	subid1d 11651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) = 1)
39	38, 3	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 0) ∈ ℂ)
40	19, 39	mulcld 11322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) ∈ ℂ)
41	40	addlidd 11504	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))) = ((1 / 𝑋) · (1 − 0)))
42	38	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑋) · (1 − 0)) = ((1 / 𝑋) · 1))
43	41, 42, 26	3eqtrrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) = (0 + ((1 / 𝑋) · (1 − 0))))
44	38	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1))
45	13	constrcn 34385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i + (1 − (i · 𝑋))) ∈ ℂ)
46	45, 20	subcld 11662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((i + (1 − (i · 𝑋))) − i) ∈ ℂ)
47	46	cjcld 15356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) ∈ ℂ)
48	47	mulridd 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · 1) = (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)))
49	22	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
50	44, 48, 49	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0)) = (∗‘(1 − (i · 𝑋))))
51	50	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))))
52	3, 6	cjsubd 33327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))))
53		1red 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
54	53	cjred 15386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘1) = 1)
55	20, 27	cjmuld 15381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = ((∗‘i) · (∗‘𝑋)))
56		cji 15319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘i) = -i
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
58	16	cjred 15386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) = 𝑋)
59	57, 58	oveq12d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘𝑋)) = (-i · 𝑋))
60	20, 27	mulneg1d 11762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-i · 𝑋) = -(i · 𝑋))
61	55, 59, 60	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · 𝑋)) = -(i · 𝑋))
62	54, 61	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝑋))) = (1 − -(i · 𝑋)))
63	3, 6	subnegd 11669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − -(i · 𝑋)) = (1 + (i · 𝑋)))
64	52, 62, 63	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∗‘(1 − (i · 𝑋))) = (1 + (i · 𝑋)))
65	64	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(∗‘(1 − (i · 𝑋)))) = (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))))
66	53, 16	crimd 15392	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(1 + (i · 𝑋))) = 𝑋)
67	51, 65, 66	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) = 𝑋)
68	67, 17	eqnetrd 3023	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((∗‘((i + (1 − (i · 𝑋))) − i)) · (1 − 0))) ≠ 0)
69	2, 13, 15, 9, 18, 18, 19, 37, 43, 68	constrllcl 34381	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑋) ∈ Constr)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194  ici 11195   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535   / cdiv 11966  ∗ccj 15256  ℑcim 15258  Constrcconstr 34354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-constr 34355

This theorem is used by:  constrinvcl  34398