Theorem pntlemn 26948

Description: Lemma for pnt 26962. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐽   𝑧,𝐿   𝑧,𝐾   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑎,𝐸   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑎)   𝐴(𝑧,𝑎)   𝐵(𝑧,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑧,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑧,𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12957	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℕ)
5	3, 4	nndivred 12207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑈 / 𝐽) ∈ ℝ)
6		pntlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
7		pntlem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
10		pntlem1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
11		pntlem1.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15		pntlem1.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
16		pntlem1.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
17		pntlem1.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
18		pntlem1.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
19		pntlem1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
20	6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pntlemb 26945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
21	20	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	4	nnrpd 12955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 12974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+)
25	6	pntrf 26911	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
26	25	ffvelcdmi 7034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
28	27, 22	rerpdivcld 12988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
31	5, 30	resubcld 11583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
32	23	relogcld 25978	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘𝐽) ∈ ℝ)
33	27	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ)
34	22	rpcnne0d 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
35	23	rpcnne0d 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0))
36		divdiv2 11867	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
38	4	nncnd 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℂ)
39		div23 11832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
40	33, 38, 34, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
41	37, 40	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
42	41	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)))
43	29, 38	absmuld 15339	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)))
44	23	rprege0d 12964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽))
45		absid 15181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
48	42, 43, 47	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
49		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (𝑅‘𝑧) = (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)))
50		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → 𝑧 = (𝑍 / 𝐽))
51	49, 50	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((𝑅‘𝑧) / 𝑧) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)))
52	51	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))))
53	52	breq1d 5115	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈))
54		pntlem1.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
55	54	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
56	24	rpred 12957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ)
57		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))
58	23	rpred 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ)
59	22	rpred 12957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ)
60	15	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ+)
62	58, 59, 61	lemuldiv2d 13007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
63	57, 62	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍)
64	61	rpred 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
65	64, 59, 23	lemuldivd 13006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽)))
66	63, 65	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))
67		elicopnf 13362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
68	64, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
69	56, 66, 68	mpbir2and 711	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞))
70	53, 55, 69	rspcdva 3582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈)
71	48, 70	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈)
72	30, 3, 23	lemuldivd 13006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
73	71, 72	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽))
74	5, 30	subge0d 11745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
75	73, 74	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))))
76		log1 25941	. . 3 ⊢ (log‘1) = 0
77		nnge1 12181	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
78	77	ad2antrl 726	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 1 ≤ 𝐽)
79		1rp 12919	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
80		logleb 25958	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
81	79, 23, 80	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
82	78, 81	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘1) ≤ (log‘𝐽))
83	76, 82	eqbrtrrid 5141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (log‘𝐽))
84	31, 32, 75, 83	mulge0d 11732	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  ;cdc 12618  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967  √csqrt 15118  abscabs 15119  expce 15944  eceu 15945  logclog 25910  ψcchp 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-vma 26447  df-chp 26448

This theorem is referenced by:  pntlemj  26951  pntlemf  26953