Theorem pntlemn 27834

Description: Lemma for pnt 27848. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐽   𝑧,𝐿   𝑧,𝐾   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑎,𝐸   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑎)   𝐴(𝑧, 𝑎)   𝐵(𝑧, 𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑧, 𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑧, 𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 13088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℕ)
5	3, 4	nndivred 12317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑈 / 𝐽) ∈ ℝ)
6		pntlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
7		pntlem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
10		pntlem1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
11		pntlem1.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15		pntlem1.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
16		pntlem1.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
17		pntlem1.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
18		pntlem1.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
19		pntlem1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
20	6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pntlemb 27831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
21	20	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
22	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	4	nnrpd 13086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 13105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+)
25	6	pntrf 27797	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
26	25	ffvelcdmi 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
27	24, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
28	27, 22	rerpdivcld 13119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15528	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
31	5, 30	resubcld 11669	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
32	23	relogcld 26858	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘𝐽) ∈ ℝ)
33	27	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ)
34	22	rpcnne0d 13097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
35	23	rpcnne0d 13097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0))
36		divdiv2 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
38	4	nncnd 12276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℂ)
39		div23 11918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
40	33, 38, 34, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
41	37, 40	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
42	41	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)))
43	29, 38	absmuld 15546	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)))
44	23	rprege0d 13095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽))
45		absid 15385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
48	42, 43, 47	3eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
49		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (𝑅‘𝑧) = (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)))
50		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → 𝑧 = (𝑍 / 𝐽))
51	49, 50	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((𝑅‘𝑧) / 𝑧) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)))
52	51	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))))
53	52	breq1d 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈))
54		pntlem1.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
55	54	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
56	24	rpred 13088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ)
57		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))
58	23	rpred 13088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ)
59	22	rpred 13088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ)
60	15	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ+)
62	58, 59, 61	lemuldiv2d 13138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
63	57, 62	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍)
64	61	rpred 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
65	64, 59, 23	lemuldivd 13137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽)))
66	63, 65	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))
67		elicopnf 13500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
68	64, 67	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
69	56, 66, 68	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞))
70	53, 55, 69	rspcdva 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈)
71	48, 70	eqbrtrrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈)
72	30, 3, 23	lemuldivd 13137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
73	71, 72	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽))
74	5, 30	subge0d 11831	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
75	73, 74	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))))
76		log1 26820	. . 3 ⊢ (log‘1) = 0
77		nnge1 12291	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
78	77	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 1 ≤ 𝐽)
79		1rp 13048	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
80		logleb 26838	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
81	79, 23, 80	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
82	78, 81	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘1) ≤ (log‘𝐽))
83	76, 82	eqbrtrrid 5145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (log‘𝐽))
84	31, 32, 75, 83	mulge0d 11818	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  ;cdc 12739  ℝ⁺crp 13044  (,)cioo 13400  [,)cico 13402  ⌊cfl 13853  ↑cexp 14127  √csqrt 15322  abscabs 15323  expce 16151  eceu 16152  logclog 26789  ψcchp 27327

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-e 16158  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-pc 16933  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-vma 27332  df-chp 27333

This theorem is used by:  pntlemj  27837  pntlemf  27839