MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemn 27092
Description: Lemma for pnt 27106. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntlem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 βˆ’ (1 / 𝐷)) Β· ((𝐿 / (32 Β· 𝐡)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (π‘ˆ / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (expβ€˜(𝐡 / 𝐸))
pntlem1.y (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘Œ))
pntlem1.x (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ π‘Œ < 𝑋))
pntlem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
pntlem1.w π‘Š = (((π‘Œ + (4 / (𝐿 Β· 𝐸)))↑2) + (((𝑋 Β· (𝐾↑2))↑4) + (expβ€˜(((32 Β· 𝐡) / ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (𝐿 Β· (𝐸↑2)))) Β· ((π‘ˆ Β· 3) + 𝐢)))))
pntlem1.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((βŒŠβ€˜((logβ€˜π‘‹) / (logβ€˜πΎ))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (βŒŠβ€˜(((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 2))
pntlem1.U (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ[,)+∞)(absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) ≀ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
pntlemn ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 0 ≀ (((π‘ˆ / 𝐽) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π½)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐢   𝑧,𝐽   𝑧,𝐿   𝑧,𝐾   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,π‘ˆ   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑧,π‘Ž,𝐸   𝑧,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,π‘Ž)   𝐴(𝑧,π‘Ž)   𝐡(𝑧,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(𝑧,π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   π‘ˆ(π‘Ž)   𝐹(𝑧,π‘Ž)   𝐽(π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝐿(π‘Ž)   𝑀(π‘Ž)   𝑁(π‘Ž)   π‘Š(π‘Ž)   𝑋(π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)   𝑍(π‘Ž)

Proof of Theorem pntlemn
StepHypRef Expression
1 pntlem1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
21adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ+)
32rpred 13012 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
4 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝐽 ∈ β„•)
53, 4nndivred 12262 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (π‘ˆ / 𝐽) ∈ ℝ)
6 pntlem1.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
7 pntlem1.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.l . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (0(,)1))
10 pntlem1.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (𝐴 + 1)
11 pntlem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = ((1 βˆ’ (1 / 𝐷)) Β· ((𝐿 / (32 Β· 𝐡)) / (𝐷↑2)))
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ 𝐴)
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (π‘ˆ / 𝐷)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (expβ€˜(𝐡 / 𝐸))
15 pntlem1.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘Œ))
16 pntlem1.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ π‘Œ < 𝑋))
17 pntlem1.c . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
18 pntlem1.w . . . . . . . . . . 11 π‘Š = (((π‘Œ + (4 / (𝐿 Β· 𝐸)))↑2) + (((𝑋 Β· (𝐾↑2))↑4) + (expβ€˜(((32 Β· 𝐡) / ((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· (𝐿 Β· (𝐸↑2)))) Β· ((π‘ˆ Β· 3) + 𝐢)))))
19 pntlem1.z . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š[,)+∞))
206, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pntlemb 27089 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≀ (βˆšβ€˜π‘) ∧ (βˆšβ€˜π‘) ≀ (𝑍 / π‘Œ)) ∧ ((4 / (𝐿 Β· 𝐸)) ≀ (βˆšβ€˜π‘) ∧ (((logβ€˜π‘‹) / (logβ€˜πΎ)) + 2) ≀ (((logβ€˜π‘) / (logβ€˜πΎ)) / 4) ∧ ((π‘ˆ Β· 3) + 𝐢) ≀ (((π‘ˆ βˆ’ 𝐸) Β· ((𝐿 Β· (𝐸↑2)) / (32 Β· 𝐡))) Β· (logβ€˜π‘)))))
2120simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ ℝ+)
2221adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ ℝ+)
234nnrpd 13010 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝐽 ∈ ℝ+)
2422, 23rpdivcld 13029 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+)
256pntrf 27055 . . . . . . . 8 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
2625ffvelcdmi 7082 . . . . . . 7 ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
2724, 26syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
2827, 22rerpdivcld 13043 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℝ)
2928recnd 11238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ β„‚)
3029abscld 15379 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
315, 30resubcld 11638 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘ˆ / 𝐽) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
3223relogcld 26122 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (logβ€˜π½) ∈ ℝ)
3327recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) ∈ β„‚)
3422rpcnne0d 13021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (𝑍 ∈ β„‚ ∧ 𝑍 β‰  0))
3523rpcnne0d 13021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 β‰  0))
36 divdiv2 11922 . . . . . . . . 9 (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) ∈ β„‚ ∧ (𝑍 ∈ β„‚ ∧ 𝑍 β‰  0) ∧ (𝐽 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 β‰  0)) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) Β· 𝐽) / 𝑍))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) Β· 𝐽) / 𝑍))
384nncnd 12224 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
39 div23 11887 . . . . . . . . 9 (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ (𝑍 ∈ β„‚ ∧ 𝑍 β‰  0)) β†’ (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) Β· 𝐽) / 𝑍) = (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) Β· 𝐽))
4033, 38, 34, 39syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) Β· 𝐽) / 𝑍) = (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) Β· 𝐽))
4137, 40eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) Β· 𝐽))
4241fveq2d 6892 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = (absβ€˜(((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) Β· 𝐽)))
4329, 38absmuld 15397 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜(((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) Β· 𝐽)) = ((absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) Β· (absβ€˜π½)))
4423rprege0d 13019 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐽))
45 absid 15239 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐽) β†’ (absβ€˜π½) = 𝐽)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜π½) = 𝐽)
4746oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) Β· (absβ€˜π½)) = ((absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) Β· 𝐽))
4842, 43, 473eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = ((absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) Β· 𝐽))
49 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) β†’ (π‘…β€˜π‘§) = (π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)))
50 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) β†’ 𝑧 = (𝑍 / 𝐽))
5149, 50oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) β†’ ((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧) = ((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)))
5251fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) = (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))))
5352breq1d 5157 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) β†’ ((absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) ≀ π‘ˆ ↔ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≀ π‘ˆ))
54 pntlem1.U . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ[,)+∞)(absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) ≀ π‘ˆ)
5554adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘Œ[,)+∞)(absβ€˜((π‘…β€˜π‘§) / 𝑧)) ≀ π‘ˆ)
5624rpred 13012 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ)
57 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))
5823rpred 13012 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
5922rpred 13012 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
6015simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
6258, 59, 61lemuldiv2d 13062 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘Œ Β· 𝐽) ≀ 𝑍 ↔ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ)))
6357, 62mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (π‘Œ Β· 𝐽) ≀ 𝑍)
6461rpred 13012 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
6564, 59, 23lemuldivd 13061 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((π‘Œ Β· 𝐽) ≀ 𝑍 ↔ π‘Œ ≀ (𝑍 / 𝐽)))
6663, 65mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ π‘Œ ≀ (𝑍 / 𝐽))
67 elicopnf 13418 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ ℝ β†’ ((𝑍 / 𝐽) ∈ (π‘Œ[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ π‘Œ ≀ (𝑍 / 𝐽))))
6864, 67syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((𝑍 / 𝐽) ∈ (π‘Œ[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ π‘Œ ≀ (𝑍 / 𝐽))))
6956, 66, 68mpbir2and 711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (𝑍 / 𝐽) ∈ (π‘Œ[,)+∞))
7053, 55, 69rspcdva 3613 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≀ π‘ˆ)
7148, 70eqbrtrrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ ((absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) Β· 𝐽) ≀ π‘ˆ)
7230, 3, 23lemuldivd 13061 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (((absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) Β· 𝐽) ≀ π‘ˆ ↔ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≀ (π‘ˆ / 𝐽)))
7371, 72mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≀ (π‘ˆ / 𝐽))
745, 30subge0d 11800 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (0 ≀ ((π‘ˆ / 𝐽) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ↔ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≀ (π‘ˆ / 𝐽)))
7573, 74mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 0 ≀ ((π‘ˆ / 𝐽) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))))
76 log1 26085 . . 3 (logβ€˜1) = 0
77 nnge1 12236 . . . . 5 (𝐽 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝐽)
7877ad2antrl 726 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 1 ≀ 𝐽)
79 1rp 12974 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
80 logleb 26102 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ 𝐽 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π½)))
8179, 23, 80sylancr 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (1 ≀ 𝐽 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π½)))
8278, 81mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π½))
8376, 82eqbrtrrid 5183 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π½))
8431, 32, 75, 83mulge0d 11787 1 ((πœ‘ ∧ (𝐽 ∈ β„• ∧ 𝐽 ≀ (𝑍 / π‘Œ))) β†’ 0 ≀ (((π‘ˆ / 𝐽) βˆ’ (absβ€˜((π‘…β€˜(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) Β· (logβ€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  4c4 12265  cdc 12673  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  βŒŠcfl 13751  β†‘cexp 14023  βˆšcsqrt 15176  abscabs 15177  expce 16001  eceu 16002  logclog 26054  Οˆcchp 26586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-vma 26591  df-chp 26592
This theorem is referenced by:  pntlemj  27095  pntlemf  27097
  Copyright terms: Public domain W3C validator