Theorem pntlemn 27569

Description: Lemma for pnt 27583. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐽   𝑧,𝐿   𝑧,𝐾   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑎,𝐸   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑎)   𝐴(𝑧,𝑎)   𝐵(𝑧,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑧,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑧,𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 12951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℕ)
5	3, 4	nndivred 12201	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑈 / 𝐽) ∈ ℝ)
6		pntlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
7		pntlem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
10		pntlem1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
11		pntlem1.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15		pntlem1.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
16		pntlem1.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
17		pntlem1.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
18		pntlem1.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
19		pntlem1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
20	6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pntlemb 27566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
21	20	simp1d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	4	nnrpd 12949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 12968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+)
25	6	pntrf 27532	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
26	25	ffvelcdmi 7028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
28	27, 22	rerpdivcld 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15364	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
31	5, 30	resubcld 11567	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
32	23	relogcld 26590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘𝐽) ∈ ℝ)
33	27	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ)
34	22	rpcnne0d 12960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
35	23	rpcnne0d 12960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0))
36		divdiv2 11855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
38	4	nncnd 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℂ)
39		div23 11817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
40	33, 38, 34, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
41	37, 40	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
42	41	fveq2d 6837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)))
43	29, 38	absmuld 15382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)))
44	23	rprege0d 12958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽))
45		absid 15221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
47	46	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
48	42, 43, 47	3eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
49		fveq2 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (𝑅‘𝑧) = (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)))
50		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → 𝑧 = (𝑍 / 𝐽))
51	49, 50	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((𝑅‘𝑧) / 𝑧) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)))
52	51	fveq2d 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))))
53	52	breq1d 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈))
54		pntlem1.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
55	54	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
56	24	rpred 12951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ)
57		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))
58	23	rpred 12951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ)
59	22	rpred 12951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ)
60	15	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ+)
62	58, 59, 61	lemuldiv2d 13001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
63	57, 62	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍)
64	61	rpred 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
65	64, 59, 23	lemuldivd 13000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽)))
66	63, 65	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))
67		elicopnf 13363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
68	64, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
69	56, 66, 68	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞))
70	53, 55, 69	rspcdva 3576	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈)
71	48, 70	eqbrtrrd 5121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈)
72	30, 3, 23	lemuldivd 13000	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
73	71, 72	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽))
74	5, 30	subge0d 11729	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
75	73, 74	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))))
76		log1 26552	. . 3 ⊢ (log‘1) = 0
77		nnge1 12175	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
78	77	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 1 ≤ 𝐽)
79		1rp 12911	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
80		logleb 26570	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
81	79, 23, 80	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
82	78, 81	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘1) ≤ (log‘𝐽))
83	76, 82	eqbrtrrid 5133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (log‘𝐽))
84	31, 32, 75, 83	mulge0d 11716	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  +∞cpnf 11165   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  4c4 12204  ;cdc 12609  ℝ⁺crp 12907  (,)cioo 13263  [,)cico 13265  ⌊cfl 13712  ↑cexp 13986  √csqrt 15158  abscabs 15159  expce 15986  eceu 15987  logclog 26521  ψcchp 27061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-e 15993  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-vma 27066  df-chp 27067

This theorem is referenced by:  pntlemj  27572  pntlemf  27574