Theorem chebbnd2 27850

Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π(𝑥) is eventually upper bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function π(𝑥) / (𝑥 / log(𝑥)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chebbnd2	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7484	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2		ovexd 7484	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
3		ovexd 7484	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
4		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
5		2re 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		elicopnf 13614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
8	7	bilani 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
9		chtrpcl 27548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
11	10	rpcnne0d 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
12		ppinncl 27547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 13200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
15	8	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		1red 11346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
17	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
18		1lt2 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
20	8	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
21	16, 17, 15, 19, 20	ltletrd 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
22	15, 21	rplogcld 27003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
23	14, 22	rpmulcld 13218	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
24	23	rpcnne0d 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0))
25		recdiv 12061	. . . . . . 7 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
26	11, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
28	1, 2, 3, 4, 27	offval2 7743	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
29		0red 11348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
30		2pos 12485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
32	29, 17, 15, 31, 20	ltletrd 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
33	15, 32	elrpd 13199	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
34	33	rpcnne0d 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
35	23	rpcnd 13204	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
36		dmdcan 12065	. . . . . . 7 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
37	11, 34, 35, 36	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
38	14	rpcnd 13204	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
39	22	rpcnne0d 13211	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
40		divdiv2 12067	. . . . . . 7 ⊢ (((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
41	38, 34, 39, 40	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
42	37, 41	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
43	42	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
44	28, 43	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
45	33	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
46	45	ssrdv 3919	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
47		chto1ub 27849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
48	47	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
49	46, 48	o1res2 15771	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
50		ax-1cn 11295	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
52	10, 23	rpdivcld 13219	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
53	52	rpcnd 13204	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
54		pnfxr 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
55		icossre 13597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
56	5, 54, 55	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
57		rlimconst 15752	. . . . . . . 8 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
58	56, 50, 57	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
59	58	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
60		chtppilim 27848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
61	60	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
62		ax-1ne0 11306	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
63	62	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
64	52	rpne0d 13207	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
65	51, 53, 59, 61, 63, 64	rlimdiv 15854	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
66		rlimo1 15825	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
67	65, 66	syl 18	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
68		o1mul 15823	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
69	49, 67, 68	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
70	44, 69	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
71	70	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∘_f cof 7721  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   · cmul 11242  +∞cpnf 11377  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380   ≤ cle 11381   / cdiv 12011  ℕcn 12373  2c2 12435  ℝ⁺crp 13158  [,)cico 13516   ⇝_𝑟 crli 15693  𝑂(1)co1 15694  logclog 26928  θccht 27464  πcppi 27467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-oadd 8516  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-dju 10017  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-xnn0 12718  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-o1 15698  df-lo1 15699  df-sum 15895  df-ef 16274  df-e 16275  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-dvds 16464  df-gcd 16706  df-prm 16888  df-pc 17056  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-log 26930  df-cxp 26931  df-cht 27470  df-ppi 27473

This theorem is used by: (None)