MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd2 27365
Description: The Chebyshev bound, part 2: The function Ο€(π‘₯) is eventually upper bounded by a positive constant times π‘₯ / log(π‘₯). Alternatively stated, the function Ο€(π‘₯) / (π‘₯ / log(π‘₯)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovexd 7440 . . . . 5 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
2 ovexd 7440 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ V)
3 ovexd 7440 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ V)
4 eqidd 2727 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
5 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (2[,)+∞))
6 2re 12290 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
7 elicopnf 13428 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
95, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
10 chtrpcl 27062 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
1211rpcnne0d 13031 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0))
13 ppinncl 27061 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
1514nnrpd 13020 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
169simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
186a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
19 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 < 2)
219simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ≀ π‘₯)
2217, 18, 16, 20, 21ltletrd 11378 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 < π‘₯)
2316, 22rplogcld 26518 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2415, 23rpmulcld 13038 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2524rpcnne0d 13031 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0))
26 recdiv 11924 . . . . . . 7 ((((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0)) β†’ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
2712, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
2827mpteq2dva 5241 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
291, 2, 3, 4, 28offval2 7687 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))))
30 0red 11221 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
31 2pos 12319 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 < 2)
3330, 18, 16, 32, 21ltletrd 11378 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 < π‘₯)
3416, 33elrpd 13019 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
3534rpcnne0d 13031 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
3624rpcnd 13024 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
37 dmdcan 11928 . . . . . . 7 ((((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
3812, 35, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
3915rpcnd 13024 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4023rpcnne0d 13031 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) β‰  0))
41 divdiv2 11930 . . . . . . 7 (((Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4239, 35, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4338, 42eqtr4d 2769 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))))
4443mpteq2dva 5241 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))))
4529, 44eqtrd 2766 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))))
4634ex 412 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
4746ssrdv 3983 . . . . 5 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
48 chto1ub 27364 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
4948a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
5047, 49o1res2 15513 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
51 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
5251a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5311, 24rpdivcld 13039 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 13024 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
55 pnfxr 11272 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
56 icossre 13411 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ)
576, 55, 56mp2an 689 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
58 rlimconst 15494 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
5957, 51, 58mp2an 689 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1
6059a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
61 chtppilim 27363 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
63 ax-1ne0 11181 . . . . . . 7 1 β‰  0
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 β‰  0)
6553rpne0d 13027 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
6652, 54, 60, 62, 64, 65rlimdiv 15598 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1))
67 rlimo1 15567 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
6866, 67syl 17 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
69 o1mul 15565 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7050, 68, 69syl2anc 583 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7145, 70eqeltrrd 2828 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
7271mptru 1540 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12980  [,)cico 13332   β‡π‘Ÿ crli 15435  π‘‚(1)co1 15436  logclog 26443  ΞΈccht 26978  Ο€cppi 26981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-o1 15440  df-lo1 15441  df-sum 15639  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-cht 26984  df-ppi 26987
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator