MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd2 26841
Description: The Chebyshev bound, part 2: The function Ο€(π‘₯) is eventually upper bounded by a positive constant times π‘₯ / log(π‘₯). Alternatively stated, the function Ο€(π‘₯) / (π‘₯ / log(π‘₯)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovexd 7397 . . . . 5 (⊀ β†’ (2[,)+∞) ∈ V)
2 ovexd 7397 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ V)
3 ovexd 7397 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)) ∈ V)
4 eqidd 2738 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)))
5 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (2[,)+∞))
6 2re 12234 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
7 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
95, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯))
10 chtrpcl 26540 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
1211rpcnne0d 12973 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0))
13 ppinncl 26539 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 2 ≀ π‘₯) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„•)
1514nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
169simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
17 1red 11163 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
186a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ∈ ℝ)
19 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 < 2)
219simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 2 ≀ π‘₯)
2217, 18, 16, 20, 21ltletrd 11322 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 < π‘₯)
2316, 22rplogcld 26000 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2415, 23rpmulcld 12980 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2524rpcnne0d 12973 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0))
26 recdiv 11868 . . . . . . 7 ((((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) β‰  0)) β†’ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
2712, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))
2827mpteq2dva 5210 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))))
291, 2, 3, 4, 28offval2 7642 . . . 4 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))))
30 0red 11165 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
31 2pos 12263 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 < 2)
3330, 18, 16, 32, 21ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 0 < π‘₯)
3416, 33elrpd 12961 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
3534rpcnne0d 12973 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
3624rpcnd 12966 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
37 dmdcan 11872 . . . . . . 7 ((((ΞΈβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (ΞΈβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
3812, 35, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
3915rpcnd 12966 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4023rpcnne0d 12973 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) β‰  0))
41 divdiv2 11874 . . . . . . 7 (((Ο€β€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4239, 35, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))) = (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / π‘₯))
4338, 42eqtr4d 2780 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯))) = ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯))))
4443mpteq2dva 5210 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯) Β· (((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)) / (ΞΈβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))))
4529, 44eqtrd 2777 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))))
4634ex 414 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+))
4746ssrdv 3955 . . . . 5 (⊀ β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ+)
48 chto1ub 26840 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
4948a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
5047, 49o1res2 15452 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
51 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
5251a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ 1 ∈ β„‚)
5311, 24rpdivcld 12981 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 12966 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
55 pnfxr 11216 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
56 icossre 13352 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (2[,)+∞) βŠ† ℝ)
576, 55, 56mp2an 691 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) βŠ† ℝ
58 rlimconst 15433 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
5957, 51, 58mp2an 691 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1
6059a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) β‡π‘Ÿ 1)
61 chtppilim 26839 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))) β‡π‘Ÿ 1)
63 ax-1ne0 11127 . . . . . . 7 1 β‰  0
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 β‰  0)
6553rpne0d 12969 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (2[,)+∞)) β†’ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))) β‰  0)
6652, 54, 60, 62, 64, 65rlimdiv 15537 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1))
67 rlimo1 15506 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) β‡π‘Ÿ (1 / 1) β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
6866, 67syl 17 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1))
69 o1mul 15504 . . . 4 (((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1) ∧ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯))))) ∈ 𝑂(1)) β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7050, 68, 69syl2anc 585 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((ΞΈβ€˜π‘₯) / π‘₯)) ∘f Β· (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((ΞΈβ€˜π‘₯) / ((Ο€β€˜π‘₯) Β· (logβ€˜π‘₯)))))) ∈ 𝑂(1))
7145, 70eqeltrrd 2839 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
7271mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ (2[,)+∞) ↦ ((Ο€β€˜π‘₯) / (π‘₯ / (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„+crp 12922  [,)cico 13273   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  logclog 25926  ΞΈccht 26456  Ο€cppi 26459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-cht 26462  df-ppi 26465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator