Theorem chebbnd2 27440

Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π(𝑥) is eventually upper bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function π(𝑥) / (𝑥 / log(𝑥)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chebbnd2	⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
3		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
4		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
5		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
6		2re 12314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		elicopnf 13462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
9	5, 8	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
10		chtrpcl 27137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
12	11	rpcnne0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
13		ppinncl 27136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℕ)
15	14	nnrpd 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℝ+)
16	9	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17		1red 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
18	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
19		1lt2 12411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 < 2
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
21	9	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
22	17, 18, 16, 20, 21	ltletrd 11395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
23	16, 22	rplogcld 26590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
24	15, 23	rpmulcld 13067	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
25	24	rpcnne0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0))
26		recdiv 11947	. . . . . . 7 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
27	12, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
28	27	mpteq2dva 5214	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
29	1, 2, 3, 4, 28	offval2 7691	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
30		0red 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
31		2pos 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
33	30, 18, 16, 32, 21	ltletrd 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
34	16, 33	elrpd 13048	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
35	34	rpcnne0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
36	24	rpcnd 13053	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
37		dmdcan 11951	. . . . . . 7 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
38	12, 35, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
39	15	rpcnd 13053	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π‘𝑥) ∈ ℂ)
40	23	rpcnne0d 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
41		divdiv2 11953	. . . . . . 7 ⊢ (((π‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
42	39, 35, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
43	38, 42	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
44	43	mpteq2dva 5214	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π‘𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
45	29, 44	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
46	34	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
47	46	ssrdv 3964	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
48		chto1ub 27439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
49	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
50	47, 49	o1res2 15579	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
51		ax-1cn 11187	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
53	11, 24	rpdivcld 13068	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
54	53	rpcnd 13053	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
55		pnfxr 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
56		icossre 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
57	6, 55, 56	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (2[,)+∞) ⊆ ℝ
58		rlimconst 15560	. . . . . . . 8 ⊢ (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
59	57, 51, 58	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
60	59	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
61		chtppilim 27438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
63		ax-1ne0 11198	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
64	63	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
65	53	rpne0d 13056	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
66	52, 54, 60, 62, 64, 65	rlimdiv 15662	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
67		rlimo1 15633	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
68	66, 67	syl 17	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
69		o1mul 15631	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
70	50, 68, 69	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π‘𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
71	45, 70	eqeltrrd 2835	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
72	71	mptru 1547	1 ⊢ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π‘𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008  [,)cico 13364   ⇝_𝑟 crli 15501  𝑂(1)co1 15502  logclog 26515  θccht 27053  πcppi 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-o1 15506  df-lo1 15507  df-sum 15703  df-ef 16083  df-e 16084  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-cht 27059  df-ppi 27062

This theorem is referenced by: (None)