MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd2 26723
Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π(𝑥) is eventually upper bounded by a positive constant times 𝑥 / log(𝑥). Alternatively stated, the function π(𝑥) / (𝑥 / log(𝑥)) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovexd 7364 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ∈ V)
2 ovexd 7364 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ V)
3 ovexd 7364 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)) ∈ V)
4 eqidd 2737 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)))
5 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ (2[,)+∞))
6 2re 12140 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
7 elicopnf 13270 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
95, 8sylib 217 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥))
10 chtrpcl 26422 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211rpcnne0d 12874 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0))
13 ppinncl 26421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑥) → (π𝑥) ∈ ℕ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℕ)
1514nnrpd 12863 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℝ+)
169simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 1red 11069 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
186a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ∈ ℝ)
19 1lt2 12237 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 2)
219simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 2 ≤ 𝑥)
2217, 18, 16, 20, 21ltletrd 11228 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 < 𝑥)
2316, 22rplogcld 25882 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
2415, 23rpmulcld 12881 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpcnne0d 12874 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0))
26 recdiv 11774 . . . . . . 7 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ≠ 0)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
2712, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))
2827mpteq2dva 5189 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))))
291, 2, 3, 4, 28offval2 7607 . . . 4 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))))
30 0red 11071 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
31 2pos 12169 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 2)
3330, 18, 16, 32, 21ltletrd 11228 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
3416, 33elrpd 12862 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3534rpcnne0d 12874 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
3624rpcnd 12867 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
37 dmdcan 11778 . . . . . . 7 ((((θ‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (θ‘𝑥) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((π𝑥) · (log‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
3812, 35, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
3915rpcnd 12867 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (π𝑥) ∈ ℂ)
4023rpcnne0d 12874 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0))
41 divdiv2 11780 . . . . . . 7 (((π𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑥) ≠ 0)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4239, 35, 40, 41syl3anc 1370 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))) = (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / 𝑥))
4338, 42eqtr4d 2779 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥))) = ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥))))
4443mpteq2dva 5189 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (((θ‘𝑥) / 𝑥) · (((π𝑥) · (log‘𝑥)) / (θ‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4529, 44eqtrd 2776 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4634ex 413 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+))
4746ssrdv 3937 . . . . 5 (⊤ → (2[,)+∞) ⊆ ℝ+)
48 chto1ub 26722 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)
4948a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
5047, 49o1res2 15363 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
51 ax-1cn 11022 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5251a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → 1 ∈ ℂ)
5311, 24rpdivcld 12882 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℝ+)
5453rpcnd 12867 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
55 pnfxr 11122 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
56 icossre 13253 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (2[,)+∞) ⊆ ℝ)
576, 55, 56mp2an 689 . . . . . . . 8 (2[,)+∞) ⊆ ℝ
58 rlimconst 15344 . . . . . . . 8 (((2[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
5957, 51, 58mp2an 689 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1
6059a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ 1) ⇝𝑟 1)
61 chtppilim 26721 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1
6261a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))) ⇝𝑟 1)
63 ax-1ne0 11033 . . . . . . 7 1 ≠ 0
6463a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 1 ≠ 0)
6553rpne0d 12870 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (2[,)+∞)) → ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))) ≠ 0)
6652, 54, 60, 62, 64, 65rlimdiv 15448 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1))
67 rlimo1 15417 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ⇝𝑟 (1 / 1) → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
6866, 67syl 17 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
69 o1mul 15415 . . . 4 (((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7050, 68, 69syl2anc 584 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∘f · (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ (1 / ((θ‘𝑥) / ((π𝑥) · (log‘𝑥)))))) ∈ 𝑂(1))
7145, 70eqeltrrd 2838 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
7271mptru 1547 1 (𝑥 ∈ (2[,)+∞) ↦ ((π𝑥) / (𝑥 / (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  wne 2940  Vcvv 3441  wss 3897   class class class wbr 5089  cmpt 5172  cfv 6473  (class class class)co 7329  f cof 7585  cc 10962  cr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   · cmul 10969  +∞cpnf 11099  *cxr 11101   < clt 11102  cle 11103   / cdiv 11725  cn 12066  2c2 12121  +crp 12823  [,)cico 13174  𝑟 crli 15285  𝑂(1)co1 15286  logclog 25808  θccht 26338  πcppi 26341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-fi 9260  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-dju 9750  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-ioo 13176  df-ioc 13177  df-ico 13178  df-icc 13179  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-fac 14081  df-bc 14110  df-hash 14138  df-shft 14869  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-limsup 15271  df-clim 15288  df-rlim 15289  df-o1 15290  df-lo1 15291  df-sum 15489  df-ef 15868  df-e 15869  df-sin 15870  df-cos 15871  df-pi 15873  df-dvds 16055  df-gcd 16293  df-prm 16466  df-pc 16627  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-hom 17075  df-cco 17076  df-rest 17222  df-topn 17223  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-topgen 17243  df-pt 17244  df-prds 17247  df-xrs 17302  df-qtop 17307  df-imas 17308  df-xps 17310  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-mulg 18789  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-fbas 20692  df-fg 20693  df-cnfld 20696  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-cld 22268  df-ntr 22269  df-cls 22270  df-nei 22347  df-lp 22385  df-perf 22386  df-cn 22476  df-cnp 22477  df-haus 22564  df-tx 22811  df-hmeo 23004  df-fil 23095  df-fm 23187  df-flim 23188  df-flf 23189  df-xms 23571  df-ms 23572  df-tms 23573  df-cncf 24139  df-limc 25128  df-dv 25129  df-log 25810  df-cxp 25811  df-cht 26344  df-ppi 26347
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator