Theorem divdivs1d 28164

Description: Surreal division into a fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divdivs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divdivs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divdivs1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divdivs1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divdivs1d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divdivs1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem divdivs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divdivs1d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divdivs1d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divdivs1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4	1, 2	mulscld 28067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
5		divdivs1d.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6		divdivs1d.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	1, 2	mulsne0bd 28118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐶 ≠ 0s )))
8	5, 6, 7	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s )
9	3, 4, 8	divscld 28155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No )
10	1, 2, 9	mulsassd 28099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))))
11	3, 4, 8	divscan2d 28156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = 𝐴)
12	10, 11	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴)
13	2, 9	mulscld 28067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ∈ No )
14	3, 13, 1, 5	divsmuld 28153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ↔ (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴))
15	12, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))))
16	15	eqcomd 2736	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵))
17	3, 1, 5	divscld 28155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
18	17, 9, 2, 6	divsmuld 28153	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵)))
19	16, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  (class class class)co 7341   No csur 27571   0_s c0s 27759   ·_s cmuls 28038   /_su cdivs 28119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-dc 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-ot 4583  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-nadd 8576  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sle 27677  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-0s 27761  df-1s 27762  df-made 27781  df-old 27782  df-left 27784  df-right 27785  df-norec 27874  df-norec2 27885  df-adds 27896  df-negs 27956  df-subs 27957  df-muls 28039  df-divs 28120

This theorem is referenced by:  pw2cut  28373  zs12bday  28387