Theorem divdivs1d 28437

Description: Surreal division into a fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divdivs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divdivs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divdivs1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divdivs1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divdivs1d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divdivs1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem divdivs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divdivs1d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divdivs1d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3		divdivs1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4	1, 2	mulscld 28339	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
5		divdivs1d.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6		divdivs1d.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	1, 2	mulsne0bd 28390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐶 ≠ 0s )))
8	5, 6, 7	mpbir2and 725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s )
9	3, 4, 8	divscld 28428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No )
10	1, 2, 9	mulsassd 28371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))))
11	3, 4, 8	divscan2d 28429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = 𝐴)
12	10, 11	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴)
13	2, 9	mulscld 28339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ∈ No )
14	3, 13, 1, 5	divmulsd 28426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ↔ (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴))
15	12, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))))
16	15	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵))
17	3, 1, 5	divscld 28428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
18	17, 9, 2, 6	divmulsd 28426	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵)))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7412   No csur 27815   0_s c0s 28009   ·_s cmuls 28310   /_su cdivs 28391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-dc 10436

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-nadd 8650  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-les 27920  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-0s 28011  df-1s 28012  df-made 28031  df-old 28032  df-left 28034  df-right 28035  df-norec 28142  df-norec2 28153  df-adds 28164  df-negs 28225  df-subs 28226  df-muls 28311  df-divs 28392

This theorem is used by:  pw2cut  28664