Theorem divdivs1d 28649

Description: Surreal division into a fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divdivs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
divdivs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
divdivs1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
divdivs1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divdivs1d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divdivs1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem divdivs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divdivs1d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
2		divdivs1d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3		divdivs1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
4	1, 2	mulscld 28551	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No)
5		divdivs1d.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6		divdivs1d.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	1, 2	mulsne0bd 28602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐶 ≠ 0s )))
8	5, 6, 7	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s )
9	3, 4, 8	divscld 28640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No)
10	1, 2, 9	mulsassd 28583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))))
11	3, 4, 8	divscan2d 28641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = 𝐴)
12	10, 11	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴)
13	2, 9	mulscld 28551	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ∈ No)
14	3, 13, 1, 5	divmulsd 28638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ↔ (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴))
15	12, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))))
16	15	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵))
17	3, 1, 5	divscld 28640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No)
18	17, 9, 2, 6	divmulsd 28638	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵)))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   0_s c0s 28221   ·_s cmuls 28522   /_su cdivs 28603

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-dc 10551

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-muls 28523  df-divs 28604

This theorem is used by:  pw2cut  28876