MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdivs1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdivs1d 28258
Description: Surreal division into a fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
divdivs1d.1 (𝜑𝐴 No )
divdivs1d.2 (𝜑𝐵 No )
divdivs1d.3 (𝜑𝐶 No )
divdivs1d.4 (𝜑𝐵 ≠ 0s )
divdivs1d.5 (𝜑𝐶 ≠ 0s )
Assertion
Ref Expression
divdivs1d (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem divdivs1d
StepHypRef Expression
1 divdivs1d.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 No )
2 divdivs1d.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶 No )
3 divdivs1d.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 No )
41, 2mulscld 28162 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
5 divdivs1d.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ 0s )
6 divdivs1d.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ 0s )
71, 2mulsne0bd 28213 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s𝐶 ≠ 0s )))
85, 6, 7mpbir2and 713 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s )
93, 4, 8divscld 28249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No )
101, 2, 9mulsassd 28194 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))))
113, 4, 8divscan2d 28250 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = 𝐴)
1210, 11eqtr3d 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴)
132, 9mulscld 28162 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ∈ No )
143, 13, 1, 5divsmuld 28247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ↔ (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴))
1512, 14mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))))
1615eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵))
173, 1, 5divscld 28249 . . 3 (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
1817, 9, 2, 6divsmuld 28247 . 2 (𝜑 → (((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵)))
1916, 18mpbird 257 1 (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432   No csur 27685   0s c0s 27868   ·s cmuls 28133   /su cdivs 28214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-dc 10487
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-nadd 8705  df-no 27688  df-slt 27689  df-bday 27690  df-sle 27791  df-sslt 27827  df-scut 27829  df-0s 27870  df-1s 27871  df-made 27887  df-old 27888  df-left 27890  df-right 27891  df-norec 27972  df-norec2 27983  df-adds 27994  df-negs 28054  df-subs 28055  df-muls 28134  df-divs 28215
This theorem is referenced by:  cutpw2  28418  pw2cut  28421  zs12bday  28425
  Copyright terms: Public domain W3C validator