Theorem divdivs1d 28619

Description: Surreal division into a fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divdivs1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
divdivs1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
divdivs1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
divdivs1d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
divdivs1d.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divdivs1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem divdivs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divdivs1d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
2		divdivs1d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3		divdivs1d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
4	1, 2	mulscld 28521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No)
5		divdivs1d.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6		divdivs1d.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	1, 2	mulsne0bd 28572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s ↔ (𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐶 ≠ 0s )))
8	5, 6, 7	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ≠ 0s )
9	3, 4, 8	divscld 28610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ∈ No)
10	1, 2, 9	mulsassd 28553	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))))
11	3, 4, 8	divscan2d 28611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = 𝐴)
12	10, 11	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴)
13	2, 9	mulscld 28521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ∈ No)
14	3, 13, 1, 5	divmulsd 28608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) ↔ (𝐵 ·s (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))) = 𝐴))
15	12, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))))
16	15	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵))
17	3, 1, 5	divscld 28610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No)
18	17, 9, 2, 6	divmulsd 28608	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)) ↔ (𝐶 ·s (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶))) = (𝐴 /su 𝐵)))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) /su 𝐶) = (𝐴 /su (𝐵 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   0_s c0s 28191   ·_s cmuls 28492   /_su cdivs 28573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-dc 10524

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-muls 28493  df-divs 28574

This theorem is used by:  pw2cut  28846