Theorem divsrecd 28245

Description: Relationship between surreal division and reciprocal. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divsrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)))

Proof of Theorem divsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsrecd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsrecd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		1no 27821	. . . . . 6 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		divsrecd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6	4, 1, 5	divscld 28235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su 𝐵) ∈ No )
7	1, 2, 6	muls12d 28192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = (𝐴 ·s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵))))
8	4, 1, 5	divscan2d 28236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵)) = 1s )
9	8	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵))) = (𝐴 ·s 1s ))
10	2	mulsridd 28125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = 𝐴)
12	2, 6	mulscld 28146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)) ∈ No )
13	2, 12, 1, 5	divmulsd 28233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)) ↔ (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = 𝐴))
14	11, 13	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7358   No csur 27622   0_s c0s 27816   1_s c1s 27817   ·_s cmuls 28117   /_su cdivs 28198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-dc 10357

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-nadd 8593  df-no 27625  df-lts 27626  df-bday 27627  df-les 27728  df-slts 27769  df-cuts 27771  df-0s 27818  df-1s 27819  df-made 27838  df-old 27839  df-left 27841  df-right 27842  df-norec 27949  df-norec2 27960  df-adds 27971  df-negs 28032  df-subs 28033  df-muls 28118  df-divs 28199

This theorem is referenced by:  divsdird  28246