MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsrecd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsrecd 28267
Description: Relationship between surreal division and reciprocal. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
divsrecd.1 (𝜑𝐴 No )
divsrecd.2 (𝜑𝐵 No )
divsrecd.3 (𝜑𝐵 ≠ 0s )
Assertion
Ref Expression
divsrecd (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)))

Proof of Theorem divsrecd
StepHypRef Expression
1 divsrecd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 No )
2 divsrecd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 No )
3 1sno 27881 . . . . . 6 1s No
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1s No )
5 divsrecd.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ 0s )
64, 1, 5divscld 28257 . . . 4 (𝜑 → ( 1s /su 𝐵) ∈ No )
71, 2, 6muls12d 28216 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = (𝐴 ·s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵))))
84, 1, 5divscan2d 28258 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵)) = 1s )
98oveq2d 7461 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵))) = (𝐴 ·s 1s ))
102mulsridd 28149 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
117, 9, 103eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = 𝐴)
122, 6mulscld 28170 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)) ∈ No )
132, 12, 1, 5divsmuld 28255 . 2 (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)) ↔ (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = 𝐴))
1411, 13mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  (class class class)co 7445   No csur 27693   0s c0s 27876   1s c1s 27877   ·s cmuls 28141   /su cdivs 28222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-dc 10511
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-nadd 8718  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sle 27799  df-sslt 27835  df-scut 27837  df-0s 27878  df-1s 27879  df-made 27895  df-old 27896  df-left 27898  df-right 27899  df-norec 27980  df-norec2 27991  df-adds 28002  df-negs 28062  df-subs 28063  df-muls 28142  df-divs 28223
This theorem is referenced by:  divsdird  28268
  Copyright terms: Public domain W3C validator