Theorem divsrecd 28457

Description: Relationship between surreal division and reciprocal. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divsrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)))

Proof of Theorem divsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsrecd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		divsrecd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		1no 28033	. . . . . 6 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		divsrecd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0s )
6	4, 1, 5	divscld 28447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su 𝐵) ∈ No )
7	1, 2, 6	muls12d 28404	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = (𝐴 ·s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵))))
8	4, 1, 5	divscan2d 28448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵)) = 1s )
9	8	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐵))) = (𝐴 ·s 1s ))
10	2	mulsridd 28337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
11	7, 9, 10	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = 𝐴)
12	2, 6	mulscld 28358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)) ∈ No )
13	2, 12, 1, 5	divmulsd 28445	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)) ↔ (𝐵 ·s (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵))) = 𝐴))
14	11, 13	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐵) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423   No csur 27834   0_s c0s 28028   1_s c1s 28029   ·_s cmuls 28329   /_su cdivs 28410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-dc 10448

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-nadd 8661  df-no 27837  df-lts 27838  df-bday 27839  df-les 27939  df-slts 27981  df-cuts 27983  df-0s 28030  df-1s 28031  df-made 28050  df-old 28051  df-left 28053  df-right 28054  df-norec 28161  df-norec2 28172  df-adds 28183  df-negs 28244  df-subs 28245  df-muls 28330  df-divs 28411

This theorem is used by:  divsdird  28458