MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdomi 13826
Description: Non-strict order relation of the function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdomi (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 simpr 488 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3 reldom 8554 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5574 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
54adantr 484 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6 hashdom 13825 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
72, 5, 6syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
81, 7mpbird 260 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
9 pnfxr 10766 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
10 pnfge 12601 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
123brrelex1i 5573 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
13 hashinf 13780 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
1412, 13sylan 583 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
154adantr 484 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16 domfi 8810 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
1716stoic1b 1780 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18 hashinf 13780 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1915, 17, 18syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
2011, 14, 193brtr4d 5059 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
218, 20pm2.61dan 813 1 (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3397   class class class wbr 5027  cfv 6333  cdom 8546  Fincfn 8548  +∞cpnf 10743  *cxr 10745  cle 10747  chash 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776
This theorem is referenced by:  hashge0  13833  o1fsum  15254  incexc2  15279  usgriedgleord  27162  uspgredgleord  27166  esumcst  31593  idomodle  40577
  Copyright terms: Public domain W3C validator