Theorem hashdomi 14504

Description: Non-strict order relation of the ♯ function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3		reldom 8963	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5708	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6		hashdom 14503	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
9		pnfxr 11344	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		pnfge 13240	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
11	9, 10	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
12	3	brrelex1i 5707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
13		hashinf 14459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
14	12, 13	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
15	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16		domfi 9188	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	stoic1b 1806	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18		hashinf 14459	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
19	15, 17, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
20	11, 14, 19	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
21	8, 20	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531   ≼ cdom 8955  Fincfn 8957  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ♯chash 14454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-hash 14455

This theorem is used by:  hashge0  14511  o1fsum  15960  incexc2  15987  usgriedgleord  29791  uspgredgleord  29795  esumcst  34677  aks6d1c6lem5  43195  idomodle  44151