Theorem hashdomi 14429

Description: Non-strict order relation of the ♯ function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3		reldom 9009	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5757	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6		hashdom 14428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
7	2, 5, 6	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
9		pnfxr 11344	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		pnfge 13193	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
12	3	brrelex1i 5756	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
13		hashinf 14384	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
14	12, 13	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
15	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16		domfi 9255	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	stoic1b 1771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18		hashinf 14384	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
19	15, 17, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
20	11, 14, 19	3brtr4d 5198	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
21	8, 20	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashge0  14436  o1fsum  15861  incexc2  15886  usgriedgleord  29263  uspgredgleord  29267  esumcst  34027  aks6d1c6lem5  42134  idomodle  43152