MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdomi 14415
Description: Non-strict order relation of the function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdomi (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3 reldom 8989 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5745 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
54adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6 hashdom 14414 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
72, 5, 6syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
81, 7mpbird 257 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
9 pnfxr 11312 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
10 pnfge 13169 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
123brrelex1i 5744 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
13 hashinf 14370 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
1412, 13sylan 580 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
154adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16 domfi 9226 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
1716stoic1b 1769 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18 hashinf 14370 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
2011, 14, 193brtr4d 5179 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
218, 20pm2.61dan 813 1 (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  cfv 6562  cdom 8981  Fincfn 8983  +∞cpnf 11289  *cxr 11291  cle 11293  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  hashge0  14422  o1fsum  15845  incexc2  15870  usgriedgleord  29259  uspgredgleord  29263  esumcst  34043  aks6d1c6lem5  42158  idomodle  43179
  Copyright terms: Public domain W3C validator