MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdomi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdomi 14379
Description: Non-strict order relation of the function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdomi (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 simpr 483 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3 reldom 8976 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 5739 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
54adantr 479 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6 hashdom 14378 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
72, 5, 6syl2anc 582 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
81, 7mpbird 256 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
9 pnfxr 11306 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
10 pnfge 13150 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
123brrelex1i 5738 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
13 hashinf 14334 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
1412, 13sylan 578 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
154adantr 479 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16 domfi 9223 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
1716stoic1b 1767 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18 hashinf 14334 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
1915, 17, 18syl2anc 582 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
2011, 14, 193brtr4d 5184 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
218, 20pm2.61dan 811 1 (𝐴𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  cfv 6553  cdom 8968  Fincfn 8970  +∞cpnf 11283  *cxr 11285  cle 11287  chash 14329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14330
This theorem is referenced by:  hashge0  14386  o1fsum  15799  incexc2  15824  usgriedgleord  29061  uspgredgleord  29065  esumcst  33715  aks6d1c6lem5  41681  idomodle  42650
  Copyright terms: Public domain W3C validator