Theorem hashdomi 14023

Description: Non-strict order relation of the ♯ function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashdomi	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hashdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
3		reldom 8697	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex2i 5635	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
6		hashdom 14022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ V) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
7	2, 5, 6	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
8	1, 7	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
9		pnfxr 10960	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		pnfge 12795	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → +∞ ≤ +∞)
12	3	brrelex1i 5634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
13		hashinf 13977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
14	12, 13	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
15	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ V)
16		domfi 8935	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	stoic1b 1777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
18		hashinf 13977	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
19	15, 17, 18	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
20	11, 14, 19	3brtr4d 5102	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))
21	8, 20	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  hashge0  14030  o1fsum  15453  incexc2  15478  usgriedgleord  27498  uspgredgleord  27502  esumcst  31931  idomodle  40937