Theorem disjinfi 40187

Description: Only a finite number of disjoint sets can have a nonempty intersection with a finite set 𝐶 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
disjinfi.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
disjinfi.d	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
disjinfi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
disjinfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjinfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjinfi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → 𝐶 ∈ Fin)
3		inss2 4057	. . . . 5 ⊢ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
5		ssfi 8448	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶) → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
8	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
9	8, 1	jca 509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ Fin))
10		ssexg 5028	. . . 4 ⊢ (((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V)
12		elinel1 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		eluni2 4661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑦 ∈ 𝑤)
14	13	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑦 ∈ 𝑤)
15		vex 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
17	16	elrnmpt 5604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
19	18	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
20	19	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
21		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
22		nfmpt1 4969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
23	22	nfrn 5600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
24	21, 23	nfel 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
25		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑤
26	24, 25	nfan 2004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)
27		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑤)
28		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
29	27, 28	eleqtrd 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
32	31	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
33	26, 32	reximdai 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵))
34	20, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)))
37	36	rexlimdv 3238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵))
38	14, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
39	12, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
40	39	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
41		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
42		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
43	23	nfuni 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
44		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
45	43, 44	nfin 4044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)
46	42, 45	nfel 2981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)
47	41, 46	nfan 2004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶))
48		nfre1 3212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)
49	3	sseli 3822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
50		simp2 1173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
52		simpl 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐶)
53	51, 52	elind 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
54	53	3adant2 1167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
55		rspe 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
56	50, 54, 55	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
57	56	3exp 1154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
58	49, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
59	58	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
60	47, 48, 59	rexlimd 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
62		disjinfi.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
63		disjors 4855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
64	62, 63	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
65		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
66		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
67		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 𝑤
68		nfcsb1v 3772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
69	21	nfcsb1 3771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
70	68, 69	nfin 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
71		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥∅
72	70, 71	nfeq 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅
73	67, 72	nfor 2009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
74	66, 73	nfral 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
75		equequ1 2131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑤 ↔ 𝑧 = 𝑤))
76		csbeq1a 3765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
77	76	ineq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
78	77	eqeq1d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ↔ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
79	75, 78	orbi12d 949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ↔ (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)))
80	79	ralbidv 3194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)))
81	65, 74, 80	cbvral 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
82	64, 81	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
83		rspa 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
84	82, 83	sylan 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
85	84	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
86		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
87		rspa 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
88	87	orcomd 904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
89	85, 86, 88	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
90	89	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
91		elinel1 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
92	91	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
93		sbsbc 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
94		sbcel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶))
95		csbin 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ⦋𝑤 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶)
96	95	eleq2i 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶))
97	93, 94, 96	3bitri 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶))
98	97	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶))
99		elinel1 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
101	100	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
102	92, 101	jca 509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
103		inelcm 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ≠ ∅)
104	103	neneqd 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → ¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
105	102, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
106	105	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) → ¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
107		pm2.53 884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤) → (¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ → 𝑥 = 𝑤))
108	90, 106, 107	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑤)
109	108	ex 403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
110	109	ralrimiva 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
111	110	ralrimiva 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
112	111	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
113	61, 112	jca 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤)))
114		reu2 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤)))
115	113, 114	sylibr 226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
116		riotacl2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)})
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)})
118		nfriota1 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
119	118	nfcsb1 3771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵
120	119, 44	nfin 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
121	42, 120	nfel 2981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
122		csbeq1a 3765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 = ⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵)
123	122	ineq1d 4039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
124	123	eleq2d 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
125	118, 66, 121, 124	elrabf 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} ↔ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
126	125	biimpi 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
127	126	simpld 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴)
128	126	simprd 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
129	128	ne0d 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
130	127, 129	jca 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
131	120, 71	nfne 3098	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅
132	123	neeq1d 3057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ↔ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
133	118, 66, 131, 132	elrabf 3580	. . . . . . . 8 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ↔ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
134	130, 133	sylibr 226	. . . . . . 7 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
135	117, 134	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
136	135	ralrimiva 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
137	69, 44	nfin 4044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
138	137, 71	nfne 3098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅
139		csbeq1a 3765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
140	139	ineq1d 4039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
141	140	neeq1d 3057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ↔ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
142	21, 66, 138, 141	elrabf 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
143	142	simprbi 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
144		n0 4159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
145	143, 144	sylib 210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → ∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
146	145	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
147		nfv 2015	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
148		simpl 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → 𝜑)
149	142	simplbi 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → 𝑤 ∈ 𝐴)
150	149	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → 𝑤 ∈ 𝐴)
151		elinel1 4025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
152	151	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
153		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
154		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)
155		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
156	69, 155	nfel 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
157	154, 156	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
158		eleq1w 2888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
159	158	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
160	139	eleq1d 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
161	159, 160	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
162		disjinfi.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
163	157, 161, 162	chvar 2415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
164	163	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
165		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
166	165	elrnmpt1 5606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
167	153, 164, 166	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
168		nfcv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑤𝐵
169	139	equcoms 2126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
170	169	eqcomd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
171	69, 168, 170	cbvmpt 4971	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
172	171	rneqi 5583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
173	167, 172	syl6eleq 2915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
174		elunii 4662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
175	152, 173, 174	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
176		elinel2 4026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
177	176	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
178	175, 177	elind 4024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶))
179		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)
180	42, 137	nfel 2981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
181	140	eleq2d 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
182	179, 180, 181	cbvriota 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
184		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
185	153, 184	jca 509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
186		rspe 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
187	186	adantll 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
188		simpll 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝜑)
189		sbequ 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
190		sbsbc 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
191	190	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
192		sbcel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶))
193		csbin 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶)
194		vex 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝑧 ∈ V
195		csbconstg 3769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
196	194, 195	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶
197	196	ineq2i 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
198	193, 197	eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
199	198	eleq2i 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
200	192, 199	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
202	189, 191, 201	3bitrd 297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
203	202	anbi2d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))))
204		equequ2 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑤 ↔ 𝑥 = 𝑧))
205	203, 204	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧)))
206	205	cbvralv 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧))
207	206	ralbii 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧))
208		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧)
209	68, 44	nfin 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
210	42, 209	nfel 2981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
211	180, 210	nfan 2004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
212		nfv 2015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 = 𝑧
213	211, 212	nfim 2001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)
214	66, 213	nfral 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)
215	181	anbi1d 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))))
216		equequ1 2131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑤 = 𝑧))
217	215, 216	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
218	217	ralbidv 3194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
219	208, 214, 218	cbvral 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
220		biid 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
221		sbsbc 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
222		sbcel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
223		csbin 4234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑤⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶)
224		csbco 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
225		csbconstg 3769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶 = 𝐶)
226	194, 225	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶 = 𝐶
227	224, 226	ineq12i 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑤⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
228		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
229	223, 227, 228	3eqtri 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
230	229	eleq2i 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
231	221, 222, 230	3bitrri 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
232	231	anbi2i 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
233	232	imbi1i 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
234	233	ralbii 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
235	234	ralbii 3188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
236	220, 235	bitri 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
237	207, 219, 236	3bitri 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
238	112, 237	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
239	188, 178, 238	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
240	187, 239	jca 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
241		reu2 3618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃!𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
242	240, 241	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃!𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
243		riota1 6883	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃!𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) = 𝑤))
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) = 𝑤))
245	185, 244	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) = 𝑤)
246	183, 245	eqtr2d 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
247	178, 246	jca 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
248	247	ex 403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
249	148, 150, 248	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
250	147, 249	eximd 2261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
251	146, 250	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
252		df-rex 3122	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
253	251, 252	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
254	253	ralrimiva 3174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
255	136, 254	jca 509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
256		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
257	256	fompt 40186	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))):(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ↔ (∀𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
258	255, 257	sylibr 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))):(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
259		fodomg 9659	. . 3 ⊢ ((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))):(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ≼ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)))
260	11, 258, 259	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ≼ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶))
261		domfi 8449	. 2 ⊢ (((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ≼ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)
262	7, 260, 261	syl2anc 581	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658  ∃wex 1880  [wsb 2069   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∀wral 3116  ∃wrex 3117  ∃!wreu 3118  {crab 3120  Vcvv 3413  [wsbc 3661  ⦋csb 3756   ∩ cin 3796   ⊆ wss 3797  ∅c0 4143  ∪ cuni 4657  Disj wdisj 4840   class class class wbr 4872   ↦ cmpt 4951  ran crn 5342  –onto→wfo 6120  ℩crio 6864   ≼ cdom 8219  Fincfn 8221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-ac2 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-disj 4841  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-fin 8225  df-card 9077  df-acn 9080  df-ac 9251

This theorem is referenced by:  fsumiunss  40601  sge0iunmptlemre  41422