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Theorem disjinfi 40027
Description: Only a finite number of disjoint sets can have a nonempty intersection with a finite set 𝐶 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
disjinfi.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
disjinfi.d (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
disjinfi.c (𝜑𝐶 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
disjinfi (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjinfi
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjinfi.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
2 id 22 . . . 4 (𝐶 ∈ Fin → 𝐶 ∈ Fin)
3 inss2 3993 . . . . 5 ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
43a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ Fin → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
5 ssfi 8387 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶) → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
62, 4, 5syl2anc 579 . . 3 (𝐶 ∈ Fin → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
71, 6syl 17 . 2 (𝜑 → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
83a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
98, 1jca 507 . . . 4 (𝜑 → (( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶𝐶 ∈ Fin))
10 ssexg 4965 . . . 4 ((( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶𝐶 ∈ Fin) → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V)
12 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵))
13 eluni2 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑦𝑤)
1413biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑦𝑤)
15 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
16 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1716elrnmpt 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
1918biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → ∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵)
21 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑤
22 nfmpt1 4906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
2322nfrn 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥ran (𝑥𝐴𝐵)
2421, 23nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)
25 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 𝑦𝑤
2624, 25nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑤)
27 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑤𝑤 = 𝐵) → 𝑦𝑤)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑤𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
2927, 28eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝑤𝑤 = 𝐵) → 𝑦𝐵)
3029ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝑤 → (𝑤 = 𝐵𝑦𝐵))
3130a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑤 → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑦𝐵)))
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → (𝑥𝐴 → (𝑤 = 𝐵𝑦𝐵)))
3326, 32reximdai 3158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → (∃𝑥𝐴 𝑤 = 𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵))
3420, 33mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) ∧ 𝑦𝑤) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
3534ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) → (𝑦𝑤 → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵))
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵) → (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵) → (𝑦𝑤 → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)))
3736rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)𝑦𝑤 → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵))
3814, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
3912, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
4039adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
41 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝜑
42 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑦
4323nfuni 4600 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ran (𝑥𝐴𝐵)
44 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
4543, 44nfin 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)
4642, 45nfel 2920 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)
4741, 46nfan 1998 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶))
48 nfre1 3151 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)
493sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑦𝐶)
50 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥𝐴)
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝐶𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
52 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝐶𝑦𝐵) → 𝑦𝐶)
5351, 52elind 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐶𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
54533adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
55 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
5650, 54, 55syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐶𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
57563exp 1148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐶 → (𝑥𝐴 → (𝑦𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
5849, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) → (𝑥𝐴 → (𝑦𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
5958adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → (𝑥𝐴 → (𝑦𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
6047, 48, 59rexlimd 3173 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → (∃𝑥𝐴 𝑦𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
6140, 60mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
62 disjinfi.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
63 disjors 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Disj 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
6462, 63sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
65 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑧𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
66 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝐴
67 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑧 = 𝑤
68 nfcsb1v 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
6921nfcsb1 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
7068, 69nfin 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥(𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
71 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥
7270, 71nfeq 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅
7367, 72nfor 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥(𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
7466, 73nfral 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑤𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
75 equequ1 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑤𝑧 = 𝑤))
76 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
7776ineq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵))
7877eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅ ↔ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
7975, 78orbi12d 942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅) ↔ (𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)))
8079ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅) ↔ ∀𝑤𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)))
8165, 74, 80cbvral 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅) ↔ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (𝑧 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
8264, 81sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
83 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑥𝐴𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
8482, 83sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → ∀𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
86 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤𝐴)
87 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅) ∧ 𝑤𝐴) → (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅))
8887orcomd 897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑤𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
8985, 86, 88syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶))) → ((𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
91 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑦𝐵)
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑦𝐵)
93 sbsbc 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
94 sbcel2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦𝑤 / 𝑥(𝐵𝐶))
95 csbin 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑤 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑤 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐶)
9695eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑤 / 𝑥(𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐶))
9793, 94, 963bitri 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐶))
9897biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐶))
99 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐶) → 𝑦𝑤 / 𝑥𝐵)
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → 𝑦𝑤 / 𝑥𝐵)
101100adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑦𝑤 / 𝑥𝐵)
10292, 101jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑦𝐵𝑦𝑤 / 𝑥𝐵))
103 inelcm 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝐵𝑦𝑤 / 𝑥𝐵) → (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) ≠ ∅)
104103neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐵𝑦𝑤 / 𝑥𝐵) → ¬ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → ¬ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶))) → ¬ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
107 pm2.53 877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤) → (¬ (𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅ → 𝑥 = 𝑤))
10890, 106, 107sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶))) → 𝑥 = 𝑤)
109108ex 401 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑤𝐴) → ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
110109ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
111110ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
112111adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
11361, 112jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤)))
114 reu2 3553 . . . . . . . . 9 (∃!𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ ∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤)))
115113, 114sylibr 225 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃!𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
116 riotacl2 6816 . . . . . . . 8 (∃!𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶) → (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)})
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)})
118 nfriota1 6810 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
119118nfcsb1 3706 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵
120119, 44nfin 3980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶)
12142, 120nfel 2920 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶)
122 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝐵 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵)
123122ineq1d 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) = ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶))
124123eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶)))
125118, 66, 121, 124elrabf 3515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} ↔ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐴𝑦 ∈ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶)))
126125biimpi 207 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} → ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐴𝑦 ∈ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶)))
127126simpld 488 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} → (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐴)
128126simprd 489 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶))
129128ne0d 4086 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} → ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅)
130127, 129jca 507 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} → ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅))
131120, 71nfne 3037 . . . . . . . . 9 𝑥((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅
132123neeq1d 2996 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → ((𝐵𝐶) ≠ ∅ ↔ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅))
133118, 66, 131, 132elrabf 3515 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ↔ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅))
134130, 133sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴𝑦 ∈ (𝐵𝐶)} → (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅})
135117, 134syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅})
136135ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)(𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅})
13769, 44nfin 3980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
138137, 71nfne 3037 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅
139 csbeq1a 3700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
140139ineq1d 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝐶) = (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
141140neeq1d 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐵𝐶) ≠ ∅ ↔ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅))
14221, 66, 138, 141elrabf 3515 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ↔ (𝑤𝐴 ∧ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅))
143142simprbi 490 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} → (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅)
144 n0 4095 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
145143, 144sylib 209 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
146145adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
147 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑦(𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅})
148 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → 𝜑)
149142simplbi 491 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} → 𝑤𝐴)
150149adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → 𝑤𝐴)
151 elinel1 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) → 𝑦𝑤 / 𝑥𝐵)
152151adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑦𝑤 / 𝑥𝐵)
153 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤𝐴)
154 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝜑𝑤𝐴)
155 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑉
15669, 155nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵𝑉
157154, 156nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 / 𝑥𝐵𝑉)
158 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑤𝐴))
159158anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑤𝐴)))
160139eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵𝑉𝑤 / 𝑥𝐵𝑉))
161159, 160imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 / 𝑥𝐵𝑉)))
162 disjinfi.b . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
163157, 161, 162chvar 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 / 𝑥𝐵𝑉)
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 / 𝑥𝐵𝑉)
165 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵) = (𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵)
166165elrnmpt1 5543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵𝑉) → 𝑤 / 𝑥𝐵 ∈ ran (𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵))
167153, 164, 166syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 / 𝑥𝐵 ∈ ran (𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵))
168 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤𝐵
169139equcoms 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
170169eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
17169, 168, 170cbvmpt 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
172171rneqi 5520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑤𝐴𝑤 / 𝑥𝐵) = ran (𝑥𝐴𝐵)
173167, 172syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 / 𝑥𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
174 elunii 4599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑤 / 𝑥𝐵𝑤 / 𝑥𝐵 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)) → 𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵))
175152, 173, 174syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑦 ran (𝑥𝐴𝐵))
176 elinel2 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) → 𝑦𝐶)
177176adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑦𝐶)
178175, 177elind 3960 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶))
179 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑤 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)
18042, 137nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
181140eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
182179, 180, 181cbvriota 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) = (𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) = (𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
184 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
185153, 184jca 507 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → (𝑤𝐴𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
186 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤𝐴𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → ∃𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
187186adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → ∃𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
188 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝜑)
189 sbequ 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
190 sbsbc 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶))
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
192 sbcel2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
193 csbin 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐶)
194 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 ∈ V
195 csbconstg 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑥𝐶 = 𝐶)
196194, 195ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 / 𝑥𝐶 = 𝐶
197196ineq2i 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑥𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
198193, 197eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
199198eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
200192, 199bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)))
202189, 191, 2013bitrd 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)))
203202anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))))
204 equequ2 2123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑧))
205203, 204imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧)))
206205cbvralv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧))
207206ralbii 3127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧))
208 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧)
20968, 44nfin 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑥(𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
21042, 209nfel 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
211180, 210nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥(𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
212 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑤 = 𝑧
213211, 212nfim 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)
21466, 213nfral 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)
215181anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))))
216 equequ1 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧𝑤 = 𝑧))
217215, 216imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑤 → (((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
218217ralbidv 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
219208, 214, 218cbvral 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
220 biid 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
221 sbsbc 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
222 sbcel2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ([𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ↔ 𝑦𝑧 / 𝑤(𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
223 csbin 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑧 / 𝑤(𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑤𝑤 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑤𝐶)
224 csbco 3701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 / 𝑤𝑤 / 𝑥𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵
225 csbconstg 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑤𝐶 = 𝐶)
226194, 225ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 / 𝑤𝐶 = 𝐶
227224, 226ineq12i 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 / 𝑤𝑤 / 𝑥𝐵𝑧 / 𝑤𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
228 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
229223, 227, 2283eqtri 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑧 / 𝑤(𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
230229eleq2i 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝑧 / 𝑤(𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
231221, 222, 2303bitrri 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
232231anbi2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
233232imbi1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
234233ralbii 3127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
235234ralbii 3127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
236220, 235bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
237207, 219, 2363bitri 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥𝐴𝑤𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
238112, 237sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
239188, 178, 238syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
240187, 239jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → (∃𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
241 reu2 3553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃!𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ↔ (∃𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 ((𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
242240, 241sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → ∃!𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
243 riota1 6821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃!𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) → ((𝑤𝐴𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ↔ (𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) = 𝑤))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → ((𝑤𝐴𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) ↔ (𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) = 𝑤))
245185, 244mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → (𝑤𝐴 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) = 𝑤)
246183, 245eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
247178, 246jca 507 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)) → (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
248247ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) → (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))))
249148, 150, 248syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → (𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) → (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))))
250147, 249eximd 2249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))))
251146, 250mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
252 df-rex 3061 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
253251, 252sylibr 225 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
254253ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
255136, 254jca 507 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)(𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
256 eqid 2765 . . . . 5 (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))) = (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)))
257256fompt 40026 . . . 4 ((𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))):( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ↔ (∀𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)(𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶)) ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))))
258255, 257sylibr 225 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))):( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅})
259 fodomg 9598 . . 3 (( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝑦 ∈ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (𝑥𝐴 𝑦 ∈ (𝐵𝐶))):( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ≼ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)))
26011, 258, 259sylc 65 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ≼ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶))
261 domfi 8388 . 2 ((( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ≼ ( ran (𝑥𝐴𝐵) ∩ 𝐶)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)
2627, 260, 261syl2anc 579 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  [wsb 2062  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  ∃!wreu 3057  {crab 3059  Vcvv 3350  [wsbc 3596  csb 3691  cin 3731  wss 3732  c0 4079   cuni 4594  Disj wdisj 4777   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ran crn 5278  ontowfo 6066  crio 6802  cdom 8158  Fincfn 8160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-ac2 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-fin 8164  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190
This theorem is referenced by:  fsumiunss  40445  sge0iunmptlemre  41269
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