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Theorem cmpsub 21581
Description: Two equivalent ways of describing a compact subset of a topological space. Inspired by Sue E. Goodman's Beginning Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cmpsub ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝐽   𝑆,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑

Proof of Theorem cmpsub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . 4 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
21iscmp 21569 . . 3 ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
3 id 22 . . . . . 6 (𝑆𝑋𝑆𝑋)
4 cmpsub.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54topopn 21088 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
6 ssexg 5031 . . . . . 6 ((𝑆𝑋𝑋𝐽) → 𝑆 ∈ V)
73, 5, 6syl2anr 590 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
8 resttop 21342 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
97, 8syldan 585 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
10 ibar 524 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ Top → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) ↔ ((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))))
1110bicomd 215 . . . 4 ((𝐽t 𝑆) ∈ Top → (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
132, 12syl5bb 275 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
14 vex 3417 . . . . . . . . . . 11 𝑡 ∈ V
15 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ 𝑡 = (𝑦𝑆)))
1615rexbidv 3262 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑡 → (∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ ∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆)))
1714, 16elab 3571 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆))
18 selpw 4387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽𝑐𝐽)
19 ssel2 3822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝐽𝑦𝑐) → 𝑦𝐽)
20 ineq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑦 → (𝑑𝑆) = (𝑦𝑆))
2120rspceeqv 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐽𝑡 = (𝑦𝑆)) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))
2221ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐽 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐𝐽𝑦𝑐) → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
2423ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐽 → (𝑦𝑐 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))))
2518, 24sylbi 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝑦𝑐 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))))
2625adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑦𝑐 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))))
2726rexlimdv 3239 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
28 simpll 783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
294sseq2i 3855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑋𝑆 𝐽)
30 uniexg 7220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
31 ssexg 5031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 𝐽 𝐽 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
3230, 31sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 𝐽𝐽 ∈ Top) → 𝑆 ∈ V)
3332ancoms 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3429, 33sylan2b 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
3534adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
36 elrest 16448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
3728, 35, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
3827, 37sylibrd 251 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆) → 𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆)))
3917, 38syl5bi 234 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → 𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆)))
4039ssrdv 3833 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ⊆ (𝐽t 𝑆))
41 vex 3417 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ V
4241abrexex 7408 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ V
4342elpw 4386 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ⊆ (𝐽t 𝑆))
4440, 43sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆))
45 unieq 4668 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → 𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
4645eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)}))
47 pweq 4383 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → 𝒫 𝑠 = 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
4847ineq1d 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin))
4948rexeqdv 3357 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → (∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡 ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
5046, 49imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → (( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) ↔ ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
5150rspcva 3524 . . . . . . 7 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) → ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
5244, 51sylan 575 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) → ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
5352ex 403 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
544restuni 21344 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
5554ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
56 vex 3417 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
5756inex1 5026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑆) ∈ V
5857dfiun2 4776 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑐 (𝑦𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)}
59 incom 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑆) = (𝑆𝑦)
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ 𝑦𝑐) → (𝑦𝑆) = (𝑆𝑦))
6160iuneq2dv 4764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑦𝑐 (𝑦𝑆) = 𝑦𝑐 (𝑆𝑦))
6258, 61syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} = 𝑦𝑐 (𝑆𝑦))
63 iunin2 4806 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑐 (𝑆𝑦) = (𝑆 𝑦𝑐 𝑦)
64 uniiun 4795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 = 𝑦𝑐 𝑦
6564eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑐 𝑦 = 𝑐
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑦𝑐 𝑦 = 𝑐)
6766ineq2d 4043 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 𝑦𝑐 𝑦) = (𝑆 𝑐))
68 incom 4034 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑐) = ( 𝑐𝑆)
69 sseqin2 4046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑐 ↔ ( 𝑐𝑆) = 𝑆)
7069biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑐 → ( 𝑐𝑆) = 𝑆)
7168, 70syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 𝑐 → (𝑆 𝑐) = 𝑆)
7271adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 𝑐) = 𝑆)
7367, 72eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 𝑦𝑐 𝑦) = 𝑆)
7463, 73syl5eq 2873 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑦𝑐 (𝑆𝑦) = 𝑆)
7562, 74eqtr2d 2862 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑆 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
7655, 75eqeq12d 2840 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 = 𝑆 (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)}))
7755eqeq1d 2827 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 = 𝑡 (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
7877rexbidv 3262 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡 ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
7976, 78imbi12d 336 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → ((𝑆 = 𝑆 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡) ↔ ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
80 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 𝑆 = 𝑆
8180a1bi 354 . . . . . . . . 9 (∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡 ↔ (𝑆 = 𝑆 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡))
82 elin 4025 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∧ 𝑡 ∈ Fin))
83 selpw 4387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ 𝑡 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
84 dfss3 3816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∀𝑠𝑡 𝑠 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
85 vex 3417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠 ∈ V
86 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ 𝑠 = (𝑦𝑆)))
8786rexbidv 3262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ ∃𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆)))
8885, 87elab 3571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∃𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆))
8988ralbii 3189 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑠𝑡 𝑠 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆))
9083, 84, 893bitri 289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆))
9190anbi1i 617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∧ 𝑡 ∈ Fin) ↔ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
9282, 91bitri 267 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) ↔ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
93 ineq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑠) → (𝑦𝑆) = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))
9493eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑠) → (𝑠 = (𝑦𝑆) ↔ 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
9594ac6sfi 8479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Fin ∧ ∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆)) → ∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
9695ancoms 452 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
9796adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
98 frn 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑡𝑐 → ran 𝑓𝑐)
9998ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓𝑐)
100 vex 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑓 ∈ V
101100rnex 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran 𝑓 ∈ V
102101elpw 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ↔ ran 𝑓𝑐)
10399, 102sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐)
104 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
105104ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → 𝑡 ∈ Fin)
106 ffn 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑡𝑐𝑓 Fn 𝑡)
107 dffn4 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑡𝑓:𝑡onto→ran 𝑓)
108106, 107sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:𝑡𝑐𝑓:𝑡onto→ran 𝑓)
109 fodomfi 8514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑡onto→ran 𝑓) → ran 𝑓𝑡)
110108, 109sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑡𝑐) → ran 𝑓𝑡)
111110adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝑡𝑐) → ran 𝑓𝑡)
112111adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑓:𝑡𝑐) → ran 𝑓𝑡)
113112ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓𝑡)
114 domfi 8456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ Fin ∧ ran 𝑓𝑡) → ran 𝑓 ∈ Fin)
115105, 113, 114syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓 ∈ Fin)
116103, 115elind 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin))
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑢𝑠 = 𝑢)
118 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑢 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑢))
119118ineq1d 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆) = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆))
120117, 119eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 = 𝑢 → (𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆) ↔ 𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)))
121120rspccv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆) → (𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)))
122 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢𝑡 → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → 𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)))
123 inss1 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑓𝑢)
124 sseq1 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) ↔ ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑓𝑢)))
125123, 124mpbiri 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
126 ssel 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) → (𝑤𝑢𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢))))
128125, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢))))
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑢𝑡 → (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))))
1301293imp 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))
131 fnfvelrn 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓 Fn 𝑡𝑢𝑡) → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)
132131expcom 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑢𝑡 → (𝑓 Fn 𝑡 → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
1331323ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓 Fn 𝑡 → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
134106, 133syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
135130, 134jcad 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
1361353exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢𝑡 → (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))))
137122, 136syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢𝑡 → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))))
138137com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤𝑢 → (𝑢𝑡 → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))))
139138imp 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))))
140139com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑓:𝑡𝑐 → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))))
141140impcom 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ (𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆))) → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
142121, 141sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
143 fvex 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓𝑢) ∈ V
144 eleq2 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑤𝑣𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))
145 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑣 ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
146144, 145anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = (𝑓𝑢) → ((𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓) ↔ (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
147143, 146spcev 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓) → ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓))
148142, 147syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓)))
149148exlimdv 2032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (∃𝑢(𝑤𝑢𝑢𝑡) → ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓)))
150 eluni 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 𝑡 ↔ ∃𝑢(𝑤𝑢𝑢𝑡))
151 eluni 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ran 𝑓 ↔ ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓))
152149, 150, 1513imtr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (𝑤 𝑡𝑤 ran 𝑓))
153152ssrdv 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → 𝑡 ran 𝑓)
154153adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → 𝑡 ran 𝑓)
155 sseq1 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 = 𝑡 → (𝑆 ran 𝑓 𝑡 ran 𝑓))
156155ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → (𝑆 ran 𝑓 𝑡 ran 𝑓))
157154, 156mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → 𝑆 ran 𝑓)
158116, 157jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → (ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓))
159158ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) → ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓)))
160159eximdv 2016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓)))
161160ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (𝑆 = 𝑡 → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓))))
162161com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓))))
163 unieq 4668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = ran 𝑓 𝑑 = ran 𝑓)
164163sseq2d 3858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = ran 𝑓 → (𝑆 𝑑𝑆 ran 𝑓))
165164rspcev 3526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)
166165exlimiv 2029 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)
167162, 166syl8 76 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
16897, 167mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
16992, 168sylan2b 587 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
170169rexlimdva 3240 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
17181, 170syl5bir 235 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → ((𝑆 = 𝑆 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
17279, 171sylbird 252 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
173172ex 403 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑆 𝑐 → (( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
174173com23 86 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → (𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
17553, 174syld 47 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → (𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
176175ralrimdva 3178 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
1774cmpsublem 21580 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
178176, 177impbid 204 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
17913, 178bitrd 271 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  {cab 2811  wral 3117  wrex 3118  Vcvv 3414  cin 3797  wss 3798  𝒫 cpw 4380   cuni 4660   ciun 4742   class class class wbr 4875  ran crn 5347   Fn wfn 6122  wf 6123  ontowfo 6125  cfv 6127  (class class class)co 6910  cdom 8226  Fincfn 8228  t crest 16441  Topctop 21075  Compccmp 21567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-fin 8232  df-fi 8592  df-rest 16443  df-topgen 16464  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cmp 21568
This theorem is referenced by:  cmpcld  21583  uncmp  21584  hauscmplem  21587  1stckgenlem  21734  icccmp  23005  bndth  23134  ovolicc2  23695  stoweidlem50  41059  stoweidlem57  41066
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