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Theorem cmpsub 23423
Description: Two equivalent ways of describing a compact subset of a topological space. Inspired by Sue E. Goodman's Beginning Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cmpsub ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
Distinct variable groups:   𝑐,𝑑,𝐽   𝑆,𝑐,𝑑   𝑋,𝑐,𝑑

Proof of Theorem cmpsub
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 (𝐽t 𝑆) = (𝐽t 𝑆)
21iscmp 23411 . . 3 ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
3 id 22 . . . . . 6 (𝑆𝑋𝑆𝑋)
4 cmpsub.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54topopn 22927 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
6 ssexg 5328 . . . . . 6 ((𝑆𝑋𝑋𝐽) → 𝑆 ∈ V)
73, 5, 6syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
8 resttop 23183 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
97, 8syldan 591 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝐽t 𝑆) ∈ Top)
10 ibar 528 . . . . 5 ((𝐽t 𝑆) ∈ Top → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) ↔ ((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))))
1110bicomd 223 . . . 4 ((𝐽t 𝑆) ∈ Top → (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((𝐽t 𝑆) ∈ Top ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
132, 12bitrid 283 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
14 vex 3481 . . . . . . . . . . 11 𝑡 ∈ V
15 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ 𝑡 = (𝑦𝑆)))
1615rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑡 → (∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ ∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆)))
1714, 16elab 3680 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆))
18 velpw 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽𝑐𝐽)
19 ssel2 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐𝐽𝑦𝑐) → 𝑦𝐽)
20 ineq1 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = 𝑦 → (𝑑𝑆) = (𝑦𝑆))
2120rspceeqv 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐽𝑡 = (𝑦𝑆)) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))
2221ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐽 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐𝐽𝑦𝑐) → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
2423ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐽 → (𝑦𝑐 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))))
2518, 24sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝑦𝑐 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑦𝑐 → (𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆))))
2726rexlimdv 3150 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆) → ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
28 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
294sseq2i 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑋𝑆 𝐽)
30 uniexg 7758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
31 ssexg 5328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 𝐽 𝐽 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
3230, 31sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 𝐽𝐽 ∈ Top) → 𝑆 ∈ V)
3332ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
3429, 33sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 ∈ V)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → 𝑆 ∈ V)
36 elrest 17473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
3728, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆) ↔ ∃𝑑𝐽 𝑡 = (𝑑𝑆)))
3827, 37sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∃𝑦𝑐 𝑡 = (𝑦𝑆) → 𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆)))
3917, 38biimtrid 242 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑡 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → 𝑡 ∈ (𝐽t 𝑆)))
4039ssrdv 4000 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ⊆ (𝐽t 𝑆))
41 vex 3481 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ V
4241abrexex 7985 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ V
4342elpw 4608 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ⊆ (𝐽t 𝑆))
4440, 43sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆))
45 unieq 4922 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → 𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
4645eqeq2d 2745 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)}))
47 pweq 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → 𝒫 𝑠 = 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
4847ineq1d 4226 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin))
4948rexeqdv 3324 . . . . . . . . 9 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → (∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡 ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
5046, 49imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → (( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) ↔ ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
5150rspcva 3619 . . . . . . 7 (({𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) → ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
5244, 51sylan 580 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)) → ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
5352ex 412 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
544restuni 23185 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
5554ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑆 = (𝐽t 𝑆))
56 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
5756inex1 5322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑆) ∈ V
5857dfiun2 5037 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑐 (𝑦𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)}
59 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑆) = (𝑆𝑦)
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ 𝑦𝑐) → (𝑦𝑆) = (𝑆𝑦))
6160iuneq2dv 5020 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑦𝑐 (𝑦𝑆) = 𝑦𝑐 (𝑆𝑦))
6258, 61eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} = 𝑦𝑐 (𝑆𝑦))
63 iunin2 5075 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑐 (𝑆𝑦) = (𝑆 𝑦𝑐 𝑦)
64 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑐 = 𝑦𝑐 𝑦
6564eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝑐 𝑦 = 𝑐
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑦𝑐 𝑦 = 𝑐)
6766ineq2d 4227 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 𝑦𝑐 𝑦) = (𝑆 𝑐))
68 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑐) = ( 𝑐𝑆)
69 sseqin2 4230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 𝑐 ↔ ( 𝑐𝑆) = 𝑆)
7069biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 𝑐 → ( 𝑐𝑆) = 𝑆)
7168, 70eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 𝑐 → (𝑆 𝑐) = 𝑆)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 𝑐) = 𝑆)
7367, 72eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 𝑦𝑐 𝑦) = 𝑆)
7463, 73eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑦𝑐 (𝑆𝑦) = 𝑆)
7562, 74eqtr2d 2775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → 𝑆 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
7655, 75eqeq12d 2750 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 = 𝑆 (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)}))
7755eqeq1d 2736 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (𝑆 = 𝑡 (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
7877rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡 ↔ ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡))
7976, 78imbi12d 344 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → ((𝑆 = 𝑆 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡) ↔ ( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
80 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 𝑆 = 𝑆
8180a1bi 362 . . . . . . . . 9 (∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡 ↔ (𝑆 = 𝑆 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡))
82 elin 3978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∧ 𝑡 ∈ Fin))
83 velpw 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ 𝑡 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
84 dfss3 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∀𝑠𝑡 𝑠 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)})
85 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑠 ∈ V
86 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ 𝑠 = (𝑦𝑆)))
8786rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆) ↔ ∃𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆)))
8885, 87elab 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∃𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆))
8988ralbii 3090 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑠𝑡 𝑠 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆))
9083, 84, 893bitri 297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ↔ ∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆))
9190anbi1i 624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ 𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∧ 𝑡 ∈ Fin) ↔ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
9282, 91bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) ↔ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin))
93 ineq1 4220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑓𝑠) → (𝑦𝑆) = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))
9493eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑓𝑠) → (𝑠 = (𝑦𝑆) ↔ 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
9594ac6sfi 9317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Fin ∧ ∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆)) → ∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
9695ancoms 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)))
98 frn 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝑡𝑐 → ran 𝑓𝑐)
9998ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓𝑐)
100 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑓 ∈ V
101100rnex 7932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran 𝑓 ∈ V
102101elpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐 ↔ ran 𝑓𝑐)
10399, 102sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓 ∈ 𝒫 𝑐)
104 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → 𝑡 ∈ Fin)
105104ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → 𝑡 ∈ Fin)
106 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝑡𝑐𝑓 Fn 𝑡)
107 dffn4 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 Fn 𝑡𝑓:𝑡onto→ran 𝑓)
108106, 107sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:𝑡𝑐𝑓:𝑡onto→ran 𝑓)
109 fodomfi 9347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑡onto→ran 𝑓) → ran 𝑓𝑡)
110108, 109sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑡 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑡𝑐) → ran 𝑓𝑡)
111110adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝑡𝑐) → ran 𝑓𝑡)
112111adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑓:𝑡𝑐) → ran 𝑓𝑡)
113112ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓𝑡)
114 domfi 9226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ Fin ∧ ran 𝑓𝑡) → ran 𝑓 ∈ Fin)
115105, 113, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓 ∈ Fin)
116103, 115elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin))
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑢𝑠 = 𝑢)
118 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑢 → (𝑓𝑠) = (𝑓𝑢))
119118ineq1d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆) = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆))
120117, 119eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 = 𝑢 → (𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆) ↔ 𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)))
121120rspccv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆) → (𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)))
122 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢𝑡 → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → 𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)))
123 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑓𝑢)
124 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) ↔ ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑓𝑢)))
125123, 124mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → 𝑢 ⊆ (𝑓𝑢))
126 ssel 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) → (𝑤𝑢𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))
127126a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑢 ⊆ (𝑓𝑢) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢))))
128125, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢))))
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑢𝑡 → (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))))
1301293imp 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓:𝑡𝑐𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))
131 fnfvelrn 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓 Fn 𝑡𝑢𝑡) → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)
132131expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑢𝑡 → (𝑓 Fn 𝑡 → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
1331323ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓 Fn 𝑡 → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
134106, 133syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
135130, 134jcad 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) ∧ 𝑤𝑢) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
1361353exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢𝑡 → (𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))))
137122, 136syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢𝑡 → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑤𝑢 → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))))
138137com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤𝑢 → (𝑢𝑡 → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))))
139138imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑓:𝑡𝑐 → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))))
140139com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆)) → (𝑓:𝑡𝑐 → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))))
141140impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ (𝑢𝑡𝑢 = ((𝑓𝑢) ∩ 𝑆))) → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
142121, 141sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
143 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓𝑢) ∈ V
144 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑤𝑣𝑤 ∈ (𝑓𝑢)))
145 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = (𝑓𝑢) → (𝑣 ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓))
146144, 145anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = (𝑓𝑢) → ((𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓) ↔ (𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓)))
147143, 146spcev 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑤 ∈ (𝑓𝑢) ∧ (𝑓𝑢) ∈ ran 𝑓) → ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓))
148142, 147syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ((𝑤𝑢𝑢𝑡) → ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓)))
149148exlimdv 1930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (∃𝑢(𝑤𝑢𝑢𝑡) → ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓)))
150 eluni 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 𝑡 ↔ ∃𝑢(𝑤𝑢𝑢𝑡))
151 eluni 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ran 𝑓 ↔ ∃𝑣(𝑤𝑣𝑣 ∈ ran 𝑓))
152149, 150, 1513imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (𝑤 𝑡𝑤 ran 𝑓))
153152ssrdv 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → 𝑡 ran 𝑓)
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → 𝑡 ran 𝑓)
155 sseq1 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 = 𝑡 → (𝑆 ran 𝑓 𝑡 ran 𝑓))
156155ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → (𝑆 ran 𝑓 𝑡 ran 𝑓))
157154, 156mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → 𝑆 ran 𝑓)
158116, 157jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) ∧ (𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆))) → (ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓))
159158ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) → ((𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓)))
160159eximdv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) ∧ 𝑆 = 𝑡) → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓)))
161160ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (𝑆 = 𝑡 → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → ∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓))))
162161com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓))))
163 unieq 4922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = ran 𝑓 𝑑 = ran 𝑓)
164163sseq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = ran 𝑓 → (𝑆 𝑑𝑆 ran 𝑓))
165164rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)
166165exlimiv 1927 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑓(ran 𝑓 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin) ∧ 𝑆 ran 𝑓) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)
167162, 166syl8 76 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (∃𝑓(𝑓:𝑡𝑐 ∧ ∀𝑠𝑡 𝑠 = ((𝑓𝑠) ∩ 𝑆)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
16897, 167mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ (∀𝑠𝑡𝑦𝑐 𝑠 = (𝑦𝑆) ∧ 𝑡 ∈ Fin)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
16992, 168sylan2b 594 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) ∧ 𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)) → (𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
170169rexlimdva 3152 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
17181, 170biimtrrid 243 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → ((𝑆 = 𝑆 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin)𝑆 = 𝑡) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
17279, 171sylbird 260 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) ∧ 𝑆 𝑐) → (( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑))
173172ex 412 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝑆 𝑐 → (( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
174173com23 86 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (( (𝐽t 𝑆) = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} → ∃𝑡 ∈ (𝒫 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑐 𝑥 = (𝑦𝑆)} ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → (𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
17553, 174syld 47 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐽) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → (𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
176175ralrimdva 3151 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
1774cmpsublem 23422 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡)))
178176, 177impbid 212 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝒫 (𝐽t 𝑆)( (𝐽t 𝑆) = 𝑠 → ∃𝑡 ∈ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) (𝐽t 𝑆) = 𝑡) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
17913, 178bitrd 279 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽(𝑆 𝑐 → ∃𝑑 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑆 𝑑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604   cuni 4911   ciun 4995   class class class wbr 5147  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  ontowfo 6560  cfv 6562  (class class class)co 7430  cdom 8981  Fincfn 8983  t crest 17466  Topctop 22914  Compccmp 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987  df-fi 9448  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cmp 23410
This theorem is referenced by:  cmpcld  23425  uncmp  23426  hauscmplem  23429  1stckgenlem  23576  icccmp  24860  bndth  25003  ovolicc2  25570  stoweidlem50  46005  stoweidlem57  46012
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