Theorem elii1 24675

Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elii1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Proof of Theorem elii1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11220	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		halfre 12430	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13394	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
4	3	simp1bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
6		1re 11218	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
8	3	simp3bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
9		halflt1 12434	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
10	2, 6, 9	ltleii 11341	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 1)
12	4, 5, 7, 8, 11	letrd 11375	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
13	12	pm4.71ri 561	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))))
14		ancom 461	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
15		an32 644	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
16		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
17	3, 16	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
18	17	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
19	1, 6	elicc2i 13394	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
20		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
21	19, 20	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
22	21	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
23	15, 18, 22	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
24	14, 23	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
25	13, 24	bitri 274	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  [,]cicc 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-icc 13335

This theorem is referenced by:  phtpycc  24731  pcoval1  24753  copco  24758  pcohtpylem  24759  pcopt  24762  pcopt2  24763  pcorevlem  24766