Theorem elii1 24004

Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elii1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Proof of Theorem elii1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10908	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		halfre 12117	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13074	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
4	3	simp1bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
6		1re 10906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
8	3	simp3bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
9		halflt1 12121	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
10	2, 6, 9	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 1)
12	4, 5, 7, 8, 11	letrd 11062	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
13	12	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))))
14		ancom 460	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
15		an32 642	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
16		df-3an 1087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
17	3, 16	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
18	17	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
19	1, 6	elicc2i 13074	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1))
20		df-3an 1087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
21	19, 20	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
22	21	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
23	15, 18, 22	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
24	14, 23	bitri 274	. 2 ⊢ ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
25	13, 24	bitri 274	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  2c2 11958  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-icc 13015

This theorem is referenced by:  phtpycc  24060  pcoval1  24082  copco  24087  pcohtpylem  24088  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcorevlem  24095