Theorem pntlemi 27572

Description: Lemma for pnt 27582. Eliminate some assumptions from pntlemj 27571. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))

Assertion

Ref	Expression
pntlemi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
2		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))
3	2	breq1d 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)))
4	1, 3	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝑧 = 𝑥)
6	5, 2	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥)))
7	6	raleqdv 3309	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
8	4, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
9	8	cbvrexvw 3225	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
10		breq1 5127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝐾↑𝐽) < 𝑥))
11		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝐾 · 𝑦) = (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
12	11	breq2d 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ ((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))))
14	13	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3165	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	9, 15	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17		pntlem1.K	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
19		pntlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
20		pntlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
21		pntlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22		pntlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
23		pntlem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
24		pntlem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
25		pntlem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
26		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
27		pntlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
28		pntlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
29	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemc 27563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
30	29	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		elfzoelz 13681	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
33	30, 31, 32	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 13056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
35		elfzofz 13697	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
36		pntlem1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
37		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
38		pntlem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
39		pntlem1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
40		pntlem1.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
41		pntlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
42		pntlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
43	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	pntlemh 27567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
44	35, 43	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
45	44	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
46	37	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
48		rpxr 13023	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ*)
49		elioopnf 13465	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
51	34, 45, 50	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞))
52	16, 18, 51	rspcdva 3607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
53	20	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
54	21	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	22	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
56	25	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
57	26	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
58	36	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
59	37	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
60	38	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
61	40	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
62		pntlem1.U	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
63	62	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
64	17	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
65		pntlem1.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
66		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
68		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
69		eqid 2736	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥)))
70	19, 53, 54, 55, 23, 24, 56, 57, 27, 28, 58, 59, 60, 39, 61, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	pntlemj 27571	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
71	52, 70	rexlimddv 3148	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  +∞cpnf 11271  ℝ^*cxr 11273   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  8c8 12306  ℤcz 12593  ;cdc 12713  ℝ⁺crp 13013  (,)cioo 13367  [,)cico 13369  [,]cicc 13370  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ⌊cfl 13812  ↑cexp 14084  √csqrt 15257  abscabs 15258  Σcsu 15707  expce 16082  logclog 26520  ψcchp 27060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-e 16089  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16862  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-vma 27065  df-chp 27066

This theorem is referenced by:  pntlemf  27573