Theorem pntlemi 26797

Description: Lemma for pnt 26807. Eliminate some assumptions from pntlemj 26796. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))

Assertion

Ref	Expression
pntlemi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
2		oveq2 7315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))
3	2	breq1d 5091	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)))
4	1, 3	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝑧 = 𝑥)
6	5, 2	oveq12d 7325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥)))
7	6	raleqdv 3360	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
8	4, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
9	8	cbvrexvw 3223	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
10		breq1 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝐾↑𝐽) < 𝑥))
11		oveq2 7315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝐾 · 𝑦) = (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
12	11	breq2d 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ ((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))))
14	13	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3172	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	9, 15	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17		pntlem1.K	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
18	17	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
19		pntlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
20		pntlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
21		pntlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22		pntlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
23		pntlem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
24		pntlem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
25		pntlem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
26		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
27		pntlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
28		pntlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
29	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemc 26788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
30	29	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		elfzoelz 13433	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 13847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
33	30, 31, 32	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 12818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
35		elfzofz 13449	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
36		pntlem1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
37		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
38		pntlem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
39		pntlem1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
40		pntlem1.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
41		pntlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
42		pntlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
43	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	pntlemh 26792	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
44	35, 43	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
45	44	simpld 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
46	37	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
47	46	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
48		rpxr 12785	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ*)
49		elioopnf 13221	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
51	34, 45, 50	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞))
52	16, 18, 51	rspcdva 3567	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
53	20	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
54	21	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	22	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
56	25	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
57	26	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
58	36	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
59	37	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
60	38	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
61	40	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
62		pntlem1.U	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
63	62	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
64	17	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
65		pntlem1.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
66		simprl 769	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
68		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
69		eqid 2736	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥)))
70	19, 53, 54, 55, 23, 24, 56, 57, 27, 28, 58, 59, 60, 39, 61, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	pntlemj 26796	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
71	52, 70	rexlimddv 3155	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℝcr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922  +∞cpnf 11052  ℝ^*cxr 11054   < clt 11055   ≤ cle 11056   − cmin 11251   / cdiv 11678  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  8c8 12080  ℤcz 12365  ;cdc 12483  ℝ⁺crp 12776  (,)cioo 13125  [,)cico 13127  [,]cicc 13128  ...cfz 13285  ..^cfzo 13428  ⌊cfl 13556  ↑cexp 13828  √csqrt 14989  abscabs 14990  Σcsu 15442  expce 15816  logclog 25755  ψcchp 26287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ioc 13130  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-fac 14034  df-bc 14063  df-hash 14091  df-shft 14823  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-limsup 15225  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-ef 15822  df-e 15823  df-sin 15824  df-cos 15825  df-pi 15827  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-prm 16422  df-pc 16583  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-lp 22332  df-perf 22333  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-haus 22511  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cncf 24086  df-limc 25075  df-dv 25076  df-log 25757  df-vma 26292  df-chp 26293

This theorem is referenced by:  pntlemf  26798