MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemi 27104
Description: Lemma for pnt 27114. Eliminate some assumptions from pntlemj 27103. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntlem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntlem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntlem1.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
pntlem1.d ๐ท = (๐ด + 1)
pntlem1.f ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
pntlem1.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
pntlem1.u2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
pntlem1.e ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
pntlem1.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
pntlem1.y (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
pntlem1.x (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
pntlem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
pntlem1.w ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
pntlem1.z (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
pntlem1.m ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
pntlem1.n ๐‘ = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
pntlem1.U (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
pntlem1.K (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
pntlem1.o ๐‘‚ = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐พโ†‘(๐ฝ + 1)))) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐พโ†‘๐ฝ))))
Assertion
Ref Expression
pntlemi ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (((๐ฟ ยท ๐ธ) / 8) ยท (logโ€˜๐‘))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ ๐‘‚ (((๐‘ˆ / ๐‘›) โˆ’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜(๐‘ / ๐‘›)) / ๐‘))) ยท (logโ€˜๐‘›)))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ถ   ๐‘ฆ,๐‘›,๐‘ง,๐ฝ   ๐‘ข,๐‘›,๐ฟ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘€,๐‘ง   ๐‘›,๐‘‚,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘›   ๐‘›,๐‘,๐‘ง   ๐‘…,๐‘›,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ˆ,๐‘›,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Š,๐‘ง   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Œ,๐‘ง   ๐‘›,๐‘Ž,๐‘ข,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ   ๐‘›,๐‘,๐‘ข,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ท(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐‘ˆ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐น(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ข,๐‘›,๐‘Ž)   ๐ฝ(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘Ž)   ๐‘€(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘‚(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘‹(๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘Œ(๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ฆ,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntlemi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ง โ†” ๐‘ฆ < ๐‘ฅ))
2 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))
32breq1d 5158 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)))
41, 3anbi12d 631 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ))))
5 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ง = ๐‘ฅ)
65, 2oveq12d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ)))
76raleqdv 3325 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
84, 7anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
98cbvrexvw 3235 . . . 4 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
10 breq1 5151 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ (๐‘ฆ < ๐‘ฅ โ†” (๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ))
11 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ (๐พ ยท ๐‘ฆ) = (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ)))
1211breq2d 5160 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ (((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))))
1310, 12anbi12d 631 . . . . . 6 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โ†” ((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ)))))
1413anbi1d 630 . . . . 5 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
1514rexbidv 3178 . . . 4 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
169, 15bitrid 282 . . 3 (๐‘ฆ = (๐พโ†‘๐ฝ) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
17 pntlem1.K . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
1817adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
19 pntlem1.r . . . . . . . 8 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
20 pntlem1.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
21 pntlem1.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
22 pntlem1.l . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
23 pntlem1.d . . . . . . . 8 ๐ท = (๐ด + 1)
24 pntlem1.f . . . . . . . 8 ๐น = ((1 โˆ’ (1 / ๐ท)) ยท ((๐ฟ / (32 ยท ๐ต)) / (๐ทโ†‘2)))
25 pntlem1.u . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
26 pntlem1.u2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
27 pntlem1.e . . . . . . . 8 ๐ธ = (๐‘ˆ / ๐ท)
28 pntlem1.k . . . . . . . 8 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / ๐ธ))
2919, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28pntlemc 27095 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง ๐พ โˆˆ โ„+ โˆง (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โˆง 1 < ๐พ โˆง (๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) โˆˆ โ„+)))
3029simp2d 1143 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
31 elfzoelz 13631 . . . . . 6 (๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
32 rpexpcl 14045 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„+)
3330, 31, 32syl2an 596 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„+)
3433rpred 13015 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„)
35 elfzofz 13647 . . . . . 6 (๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐ฝ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
36 pntlem1.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
37 pntlem1.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
38 pntlem1.c . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
39 pntlem1.w . . . . . . 7 ๐‘Š = (((๐‘Œ + (4 / (๐ฟ ยท ๐ธ)))โ†‘2) + (((๐‘‹ ยท (๐พโ†‘2))โ†‘4) + (expโ€˜(((32 ยท ๐ต) / ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (๐ฟ ยท (๐ธโ†‘2)))) ยท ((๐‘ˆ ยท 3) + ๐ถ)))))
40 pntlem1.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
41 pntlem1.m . . . . . . 7 ๐‘€ = ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐‘‹) / (logโ€˜๐พ))) + 1)
42 pntlem1.n . . . . . . 7 ๐‘ = (โŒŠโ€˜(((logโ€˜๐‘) / (logโ€˜๐พ)) / 2))
4319, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42pntlemh 27099 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ < (๐พโ†‘๐ฝ) โˆง (๐พโ†‘๐ฝ) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘)))
4435, 43sylan2 593 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐‘‹ < (๐พโ†‘๐ฝ) โˆง (๐พโ†‘๐ฝ) โ‰ค (โˆšโ€˜๐‘)))
4544simpld 495 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘‹ < (๐พโ†‘๐ฝ))
4637simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
4746adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
48 rpxr 12982 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)
49 elioopnf 13419 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„* โ†’ ((๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž) โ†” ((๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < (๐พโ†‘๐ฝ))))
5047, 48, 493syl 18 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž) โ†” ((๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ < (๐พโ†‘๐ฝ))))
5134, 45, 50mpbir2and 711 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐พโ†‘๐ฝ) โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž))
5216, 18, 51rspcdva 3613 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
5320ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
5421ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5522ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (0(,)1))
5625ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„+)
5726ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐‘ˆ โ‰ค ๐ด)
5836ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘Œ))
5937ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘Œ < ๐‘‹))
6038ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
6140ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘Š[,)+โˆž))
62 pntlem1.U . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
6362ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ[,)+โˆž)(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ง) / ๐‘ง)) โ‰ค ๐‘ˆ)
6417ad2antrr 724 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘‹(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐พ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
65 pntlem1.o . . 3 ๐‘‚ = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐พโ†‘(๐ฝ + 1)))) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐พโ†‘๐ฝ))))
66 simprl 769 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
67 simprr 771 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
68 simplr 767 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘))
69 eqid 2732 . . 3 (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))) = (((โŒŠโ€˜(๐‘ / ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))) + 1)...(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)))
7019, 53, 54, 55, 23, 24, 56, 57, 27, 28, 58, 59, 60, 39, 61, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69pntlemj 27103 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง (((๐พโ†‘๐ฝ) < ๐‘ฅ โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ) < (๐พ ยท (๐พโ†‘๐ฝ))) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ฅ[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ฅ))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))) โ†’ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (((๐ฟ ยท ๐ธ) / 8) ยท (logโ€˜๐‘))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ ๐‘‚ (((๐‘ˆ / ๐‘›) โˆ’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜(๐‘ / ๐‘›)) / ๐‘))) ยท (logโ€˜๐‘›)))
7152, 70rexlimddv 3161 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ฝ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐ธ) ยท (((๐ฟ ยท ๐ธ) / 8) ยท (logโ€˜๐‘))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ ๐‘‚ (((๐‘ˆ / ๐‘›) โˆ’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜(๐‘ / ๐‘›)) / ๐‘))) ยท (logโ€˜๐‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  8c8 12272  โ„คcz 12557  cdc 12676  โ„+crp 12973  (,)cioo 13323  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  โŒŠcfl 13754  โ†‘cexp 14026  โˆšcsqrt 15179  abscabs 15180  ฮฃcsu 15631  expce 16004  logclog 26062  ฯˆcchp 26594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-e 16011  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-vma 26599  df-chp 26600
This theorem is referenced by:  pntlemf  27105
  Copyright terms: Public domain W3C validator