Theorem pntlemi 27722

Description: Lemma for pnt 27732. Eliminate some assumptions from pntlemj 27721. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))

Assertion

Ref	Expression
pntlemi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
2		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))
3	2	breq1d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)))
4	1, 3	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦))))
5		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝑧 = 𝑥)
6	5, 2	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥)))
7	6	raleqdv 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
8	4, 7	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
9	8	cbvrexvw 3244	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
10		breq1 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝐾↑𝐽) < 𝑥))
11		oveq2 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝐾 · 𝑦) = (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
12	11	breq2d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
13	10, 12	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ ((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))))
14	13	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	9, 15	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17		pntlem1.K	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
18	17	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
19		pntlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
20		pntlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
21		pntlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22		pntlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
23		pntlem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
24		pntlem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
25		pntlem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
26		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
27		pntlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
28		pntlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
29	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemc 27713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
30	29	simp2d 1159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		elfzoelz 13675	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
33	30, 31, 32	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 13048	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
35		elfzofz 13692	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
36		pntlem1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
37		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
38		pntlem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
39		pntlem1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
40		pntlem1.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
41		pntlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
42		pntlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
43	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	pntlemh 27717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
44	35, 43	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
45	44	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
46	37	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
47	46	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
48		rpxr 13014	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ*)
49		elioopnf 13458	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
50	47, 48, 49	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
51	34, 45, 50	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞))
52	16, 18, 51	rspcdva 3585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
53	20	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
54	21	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	22	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
56	25	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
57	26	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
58	36	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
59	37	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
60	38	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
61	40	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
62		pntlem1.U	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
63	62	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
64	17	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
65		pntlem1.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
66		simprl 782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67		simprr 784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
68		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
69		eqid 2765	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥)))
70	19, 53, 54, 55, 23, 24, 56, 57, 27, 28, 58, 59, 60, 39, 61, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	pntlemj 27721	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
71	52, 70	rexlimddv 3172	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  8c8 12289  ℤcz 12579  ;cdc 12699  ℝ⁺crp 13004  (,)cioo 13360  [,)cico 13362  [,]cicc 13363  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ⌊cfl 13811  ↑cexp 14085  √csqrt 15272  abscabs 15273  Σcsu 15725  expce 16103  logclog 26673  ψcchp 27211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-shft 15092  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-ef 16109  df-e 16110  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-pc 16885  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-limc 25982  df-dv 25983  df-log 26675  df-vma 27216  df-chp 27217

This theorem is referenced by:  pntlemf  27723