Theorem pntlemi 27649

Description: Lemma for pnt 27659. Eliminate some assumptions from pntlemj 27648. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))

Assertion

Ref	Expression
pntlemi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
2		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))
3	2	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)))
4	1, 3	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝑧 = 𝑥)
6	5, 2	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥)))
7	6	raleqdv 3325	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
8	4, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
9	8	cbvrexvw 3237	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
10		breq1 5145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝐾↑𝐽) < 𝑥))
11		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝐾 · 𝑦) = (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
12	11	breq2d 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ ((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))))
14	13	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	9, 15	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17		pntlem1.K	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
19		pntlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
20		pntlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
21		pntlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22		pntlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
23		pntlem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
24		pntlem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
25		pntlem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
26		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
27		pntlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
28		pntlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
29	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemc 27640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
30	29	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		elfzoelz 13700	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
33	30, 31, 32	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 13078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
35		elfzofz 13716	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
36		pntlem1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
37		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
38		pntlem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
39		pntlem1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
40		pntlem1.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
41		pntlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
42		pntlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
43	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	pntlemh 27644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
44	35, 43	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
45	44	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
46	37	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
48		rpxr 13045	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ*)
49		elioopnf 13484	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
51	34, 45, 50	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞))
52	16, 18, 51	rspcdva 3622	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
53	20	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
54	21	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	22	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
56	25	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
57	26	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
58	36	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
59	37	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
60	38	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
61	40	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
62		pntlem1.U	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
63	62	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
64	17	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
65		pntlem1.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
66		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
68		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
69		eqid 2736	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥)))
70	19, 53, 54, 55, 23, 24, 56, 57, 27, 28, 58, 59, 60, 39, 61, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	pntlemj 27648	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
71	52, 70	rexlimddv 3160	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  8c8 12328  ℤcz 12615  ;cdc 12735  ℝ⁺crp 13035  (,)cioo 13388  [,)cico 13390  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  ⌊cfl 13831  ↑cexp 14103  √csqrt 15273  abscabs 15274  Σcsu 15723  expce 16098  logclog 26597  ψcchp 27137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-e 16105  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-vma 27142  df-chp 27143

This theorem is referenced by:  pntlemf  27650