Theorem pntlemi 27107

Description: Lemma for pnt 27117. Eliminate some assumptions from pntlemj 27106. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o	⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))

Assertion

Ref	Expression
pntlemi	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑛,𝑧,𝐽   𝑢,𝑛,𝐿,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝜑,𝑛   𝑛,𝑁,𝑧   𝑅,𝑛,𝑢,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑧   𝑛,𝑊,𝑧   𝑛,𝑋,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑧   𝑛,𝑎,𝑢,𝑦,𝑧,𝐸   𝑛,𝑍,𝑢,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑛,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
2		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) = ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))
3	2	breq1d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)))
4	1, 3	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦))))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 𝑧 = 𝑥)
6	5, 2	oveq12d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧)) = (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥)))
7	6	raleqdv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
8	4, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
9	8	cbvrexvw 3236	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
10		breq1 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝐾↑𝐽) < 𝑥))
11		oveq2 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (𝐾 · 𝑦) = (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))
12	11	breq2d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦) ↔ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ↔ ((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽)))))
14	13	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
15	14	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
16	9, 15	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐾↑𝐽) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
17		pntlem1.K	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
18	17	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
19		pntlem1.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
20		pntlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
21		pntlem1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
22		pntlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
23		pntlem1.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
24		pntlem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
25		pntlem1.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
26		pntlem1.u2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
27		pntlem1.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
28		pntlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
29	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemc 27098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
30	29	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
31		elfzoelz 13632	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
33	30, 31, 32	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
34	33	rpred 13016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ)
35		elfzofz 13648	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
36		pntlem1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
37		pntlem1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
38		pntlem1.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
39		pntlem1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
40		pntlem1.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
41		pntlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
42		pntlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
43	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	pntlemh 27102	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
44	35, 43	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
45	44	simpld 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
46	37	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
47	46	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
48		rpxr 12983	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ*)
49		elioopnf 13420	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ* → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑋 < (𝐾↑𝐽))))
51	34, 45, 50	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ (𝑋(,)+∞))
52	16, 18, 51	rspcdva 3614	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
53	20	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
54	21	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
55	22	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
56	25	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
57	26	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑈 ≤ 𝐴)
58	36	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
59	37	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
60	38	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
61	40	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
62		pntlem1.U	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
63	62	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
64	17	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
65		pntlem1.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑𝐽))))
66		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
67		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
68		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
69		eqid 2733	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥))) = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑥)))
70	19, 53, 54, 55, 23, 24, 56, 57, 27, 28, 58, 59, 60, 39, 61, 41, 42, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69	pntlemj 27106	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (((𝐾↑𝐽) < 𝑥 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥) < (𝐾 · (𝐾↑𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑥[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))
71	52, 70	rexlimddv 3162	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 − 𝐸) · (((𝐿 · 𝐸) / 8) · (log‘𝑍))) ≤ Σ𝑛 ∈ 𝑂 (((𝑈 / 𝑛) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝑛)) / 𝑍))) · (log‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  8c8 12273  ℤcz 12558  ;cdc 12677  ℝ⁺crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ⌊cfl 13755  ↑cexp 14027  √csqrt 15180  abscabs 15181  Σcsu 15632  expce 16005  logclog 26063  ψcchp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602  df-chp 26603

This theorem is referenced by:  pntlemf  27108