MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axpre-mulgt0 11177
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 11304. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 11201. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 11140 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด)
2 elreal 11140 . 2 (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต)
3 breq2 5146 . . . 4 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” 0 <โ„ ๐ด))
43anbi1d 629 . . 3 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)))
5 oveq1 7421 . . . 4 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ))
65breq2d 5154 . . 3 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)))
74, 6imbi12d 344 . 2 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)) โ†” ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ))))
8 breq2 5146 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0 <โ„ ๐ต))
98anbi2d 628 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต)))
10 oveq2 7422 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = (๐ด ยท ๐ต))
1110breq2d 5154 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
129, 11imbi12d 344 . 2 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)) โ†” ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต))))
13 df-0 11131 . . . . . 6 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ
1413breq1i 5149 . . . . 5 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ)
15 ltresr 11149 . . . . 5 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฅ)
1614, 15bitri 275 . . . 4 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฅ)
1713breq1i 5149 . . . . 5 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)
18 ltresr 11149 . . . . 5 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฆ)
1917, 18bitri 275 . . . 4 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฆ)
20 mulgt0sr 11114 . . . 4 ((0R <R ๐‘ฅ โˆง 0R <R ๐‘ฆ) โ†’ 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ))
2116, 19, 20syl2anb 597 . . 3 ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ))
2213a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ)
23 mulresr 11148 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ)
2422, 23breq12d 5155 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ))
25 ltresr 11149 . . . 4 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ โ†” 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ))
2624, 25bitrdi 287 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ)))
2721, 26imbitrrid 245 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)))
281, 2, 7, 12, 272gencl 3512 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โŸจcop 4630   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  Rcnr 10874  0Rc0r 10875   ยทR cmr 10879   <R cltr 10880  โ„cr 11123  0cc0 11124   <โ„ cltrr 11128   ยท cmul 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-ni 10881  df-pli 10882  df-mi 10883  df-lti 10884  df-plpq 10917  df-mpq 10918  df-ltpq 10919  df-enq 10920  df-nq 10921  df-erq 10922  df-plq 10923  df-mq 10924  df-1nq 10925  df-rq 10926  df-ltnq 10927  df-np 10990  df-1p 10991  df-plp 10992  df-mp 10993  df-ltp 10994  df-enr 11064  df-nr 11065  df-plr 11066  df-mr 11067  df-ltr 11068  df-0r 11069  df-m1r 11071  df-c 11130  df-0 11131  df-r 11134  df-mul 11136  df-lt 11137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator