MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axpre-mulgt0 11186
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 11313. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 11210. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 11149 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ R โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด)
2 elreal 11149 . 2 (๐ต โˆˆ โ„ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ R โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต)
3 breq2 5148 . . . 4 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” 0 <โ„ ๐ด))
43anbi1d 629 . . 3 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)))
5 oveq1 7420 . . . 4 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ))
65breq2d 5156 . . 3 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)))
74, 6imbi12d 343 . 2 (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ = ๐ด โ†’ (((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)) โ†” ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ))))
8 breq2 5148 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0 <โ„ ๐ต))
98anbi2d 628 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” (0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต)))
10 oveq2 7421 . . . 4 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = (๐ด ยท ๐ต))
1110breq2d 5156 . . 3 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
129, 11imbi12d 343 . 2 (โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ = ๐ต โ†’ (((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)) โ†” ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต))))
13 df-0 11140 . . . . . 6 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ
1413breq1i 5151 . . . . 5 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ)
15 ltresr 11158 . . . . 5 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฅ)
1614, 15bitri 274 . . . 4 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฅ)
1713breq1i 5151 . . . . 5 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)
18 ltresr 11158 . . . . 5 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฆ)
1917, 18bitri 274 . . . 4 (0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ โ†” 0R <R ๐‘ฆ)
20 mulgt0sr 11123 . . . 4 ((0R <R ๐‘ฅ โˆง 0R <R ๐‘ฆ) โ†’ 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ))
2116, 19, 20syl2anb 596 . . 3 ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ))
2213a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ)
23 mulresr 11157 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) = โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ)
2422, 23breq12d 5157 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ))
25 ltresr 11158 . . . 4 (โŸจ0R, 0RโŸฉ <โ„ โŸจ(๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ), 0RโŸฉ โ†” 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ))
2624, 25bitrdi 286 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ (0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†” 0R <R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฆ)))
2721, 26imbitrrid 245 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โ†’ ((0 <โ„ โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ โˆง 0 <โ„ โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ) โ†’ 0 <โ„ (โŸจ๐‘ฅ, 0RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ฆ, 0RโŸฉ)))
281, 2, 7, 12, 272gencl 3507 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 <โ„ ๐ด โˆง 0 <โ„ ๐ต) โ†’ 0 <โ„ (๐ด ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โŸจcop 4631   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  Rcnr 10883  0Rc0r 10884   ยทR cmr 10888   <R cltr 10889  โ„cr 11132  0cc0 11133   <โ„ cltrr 11137   ยท cmul 11138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-ni 10890  df-pli 10891  df-mi 10892  df-lti 10893  df-plpq 10926  df-mpq 10927  df-ltpq 10928  df-enq 10929  df-nq 10930  df-erq 10931  df-plq 10932  df-mq 10933  df-1nq 10934  df-rq 10935  df-ltnq 10936  df-np 10999  df-1p 11000  df-plp 11001  df-mp 11002  df-ltp 11003  df-enr 11073  df-nr 11074  df-plr 11075  df-mr 11076  df-ltr 11077  df-0r 11078  df-m1r 11080  df-c 11139  df-0 11140  df-r 11143  df-mul 11145  df-lt 11146
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator