MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axpre-mulgt0 11169
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 11295. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 11193. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 11132 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2 elreal 11132 . 2 (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦R𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3 breq2 5152 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (0 <𝑥, 0R⟩ ↔ 0 < 𝐴))
43anbi1d 629 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩)))
5 oveq1 7419 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩))
65breq2d 5160 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ 0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩)))
74, 6imbi12d 344 . 2 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩)) ↔ ((0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩))))
8 breq2 5152 . . . 4 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (0 <𝑦, 0R⟩ ↔ 0 < 𝐵))
98anbi2d 628 . . 3 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) ↔ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)))
10 oveq2 7420 . . . 4 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · 𝐵))
1110breq2d 5160 . . 3 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
129, 11imbi12d 344 . 2 (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (((0 < 𝐴 ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩)) ↔ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))))
13 df-0 11123 . . . . . 6 0 = ⟨0R, 0R
1413breq1i 5155 . . . . 5 (0 <𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩)
15 ltresr 11141 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑥)
1614, 15bitri 275 . . . 4 (0 <𝑥, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑥)
1713breq1i 5155 . . . . 5 (0 <𝑦, 0R⟩ ↔ ⟨0R, 0R⟩ <𝑦, 0R⟩)
18 ltresr 11141 . . . . 5 (⟨0R, 0R⟩ <𝑦, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑦)
1917, 18bitri 275 . . . 4 (0 <𝑦, 0R⟩ ↔ 0R <R 𝑦)
20 mulgt0sr 11106 . . . 4 ((0R <R 𝑥 ∧ 0R <R 𝑦) → 0R <R (𝑥 ·R 𝑦))
2116, 19, 20syl2anb 597 . . 3 ((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0R <R (𝑥 ·R 𝑦))
2213a1i 11 . . . . 5 ((𝑥R𝑦R) → 0 = ⟨0R, 0R⟩)
23 mulresr 11140 . . . . 5 ((𝑥R𝑦R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩)
2422, 23breq12d 5161 . . . 4 ((𝑥R𝑦R) → (0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ ⟨0R, 0R⟩ < ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩))
25 ltresr 11141 . . . 4 (⟨0R, 0R⟩ < ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩ ↔ 0R <R (𝑥 ·R 𝑦))
2624, 25bitrdi 287 . . 3 ((𝑥R𝑦R) → (0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ↔ 0R <R (𝑥 ·R 𝑦)))
2721, 26imbitrrid 245 . 2 ((𝑥R𝑦R) → ((0 <𝑥, 0R⟩ ∧ 0 <𝑦, 0R⟩) → 0 < (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩)))
281, 2, 7, 12, 272gencl 3516 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cop 4634   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  Rcnr 10866  0Rc0r 10867   ·R cmr 10871   <R cltr 10872  cr 11115  0cc0 11116   < cltrr 11120   · cmul 11121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-ni 10873  df-pli 10874  df-mi 10875  df-lti 10876  df-plpq 10909  df-mpq 10910  df-ltpq 10911  df-enq 10912  df-nq 10913  df-erq 10914  df-plq 10915  df-mq 10916  df-1nq 10917  df-rq 10918  df-ltnq 10919  df-np 10982  df-1p 10983  df-plp 10984  df-mp 10985  df-ltp 10986  df-enr 11056  df-nr 11057  df-plr 11058  df-mr 11059  df-ltr 11060  df-0r 11061  df-m1r 11063  df-c 11122  df-0 11123  df-r 11126  df-mul 11128  df-lt 11129
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator