Theorem hasheni 14271

Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hasheni	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hasheni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		enfii 9110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		hashen 14270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	3, 4	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
7		relen 8888	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
8	7	brrelex1i 5680	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9		enfi 9111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
10	9	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
11	10	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
12		hashinf 14258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13	8, 11, 12	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
14	7	brrelex2i 5681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15		hashinf 14258	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
16	14, 15	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
17	13, 16	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
18	6, 17	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  +∞cpnf 11163  ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-hash 14254

This theorem is referenced by:  hashen1  14293  hashfn  14298  hashfz  14350  hashf1lem2  14379  ishashinf  14386  hashgcdeq  16717  ramub2  16942  ram0  16950  odhash  19503  odhash2  19504  odngen  19506  znhash  21513  znunithash  21519  cyggic  21527  birthdaylem2  26918  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  lgsquadlem3  27349  wlknwwlksneqs  29963  numclwwlk1  30436  hashimaf1  32891  lbslelsp  33754  dimval  33757  dimvalfi  33758  dimkerim  33784  fedgmul  33788  eulerpart  34539  ballotlemro  34680  ballotlemfrc  34684  ballotlem8  34694  sticksstones5  42404  sticksstones20  42420  rp-isfinite5  43758  grtrimap  48194