Theorem hasheni 14320

Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hasheni	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hasheni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		enfii 9156	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		hashen 14319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	3, 4	sylancom 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
7		relen 8926	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
8	7	brrelex1i 5697	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9		enfi 9157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
10	9	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
11	10	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
12		hashinf 14307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13	8, 11, 12	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
14	7	brrelex2i 5698	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15		hashinf 14307	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
16	14, 15	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
17	13, 16	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
18	6, 17	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514   ≈ cen 8918  Fincfn 8921  +∞cpnf 11212  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  hashen1  14342  hashfn  14347  hashfz  14399  hashf1lem2  14428  ishashinf  14435  hashgcdeq  16767  ramub2  16992  ram0  17000  odhash  19511  odhash2  19512  odngen  19514  znhash  21475  znunithash  21481  cyggic  21489  birthdaylem2  26869  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  lgsquadlem3  27300  wlknwwlksneqs  29827  numclwwlk1  30297  lbslelsp  33600  dimval  33603  dimvalfi  33604  dimkerim  33630  fedgmul  33634  eulerpart  34380  ballotlemro  34521  ballotlemfrc  34525  ballotlem8  34535  sticksstones5  42145  sticksstones20  42161  rp-isfinite5  43513  grtrimap  47951