Theorem hasheni 14301

Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hasheni	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hasheni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		enfii 9110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
3	2	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4		hashen 14300	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	3, 4	sylancom 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
7		relen 8888	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
8	7	brrelex1i 5674	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9		enfi 9111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
10	9	notbid 319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
11	10	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
12		hashinf 14288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
13	8, 11, 12	syl2an2r 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
14	7	brrelex2i 5675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
15		hashinf 14288	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
16	14, 15	sylan 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
17	13, 16	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
18	6, 17	pm2.61dan 818	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  +∞cpnf 11167  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashen1  14323  hashfn  14328  hashfz  14380  hashf1lem2  14409  ishashinf  14416  hashgcdeq  16751  ramub2  16976  ram0  16984  odhash  19540  odhash2  19541  odngen  19543  znhash  21533  znunithash  21539  cyggic  21547  birthdaylem2  26934  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  lgsquadlem3  27363  wlknwwlksneqs  29976  numclwwlk1  30449  hashimaf1  32903  lbslelsp  33782  dimval  33785  dimvalfi  33786  dimkerim  33811  fedgmul  33815  eulerpart  34566  ballotlemro  34707  ballotlemfrc  34711  ballotlem8  34721  sticksstones5  42635  sticksstones20  42651  rp-isfinite5  43961  grtrimap  48439