Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangen 32697
Description: The derangement number is a cardinal invariant, i.e. it only depends on the size of a set and not on its contents. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangen ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) = (𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangen
StepHypRef Expression
1 derang.d . . 3 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
21derangenlem 32696 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵))
3 ensym 8597 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
43adantr 484 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐵𝐴)
5 enfi 8778 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
65biimpar 481 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
71derangenlem 32696 . . 3 ((𝐵𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) ≤ (𝐷𝐴))
84, 6, 7syl2anc 587 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) ≤ (𝐷𝐴))
91derangf 32693 . . . . 5 𝐷:Fin⟶ℕ0
109ffvelrni 6854 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐷𝐴) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) ∈ ℕ0)
129ffvelrni 6854 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (𝐷𝐵) ∈ ℕ0)
1312adantl 485 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐵) ∈ ℕ0)
14 nn0re 11978 . . . 4 ((𝐷𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐷𝐴) ∈ ℝ)
15 nn0re 11978 . . . 4 ((𝐷𝐵) ∈ ℕ0 → (𝐷𝐵) ∈ ℝ)
16 letri3 10797 . . . 4 (((𝐷𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐷𝐴) = (𝐷𝐵) ↔ ((𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ≤ (𝐷𝐴))))
1714, 15, 16syl2an 599 . . 3 (((𝐷𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐷𝐴) = (𝐷𝐵) ↔ ((𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ≤ (𝐷𝐴))))
1811, 13, 17syl2anc 587 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((𝐷𝐴) = (𝐷𝐵) ↔ ((𝐷𝐴) ≤ (𝐷𝐵) ∧ (𝐷𝐵) ≤ (𝐷𝐴))))
192, 8, 18mpbir2and 713 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐷𝐴) = (𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  {cab 2716  wne 2934  wral 3053   class class class wbr 5027  cmpt 5107  1-1-ontowf1o 6332  cfv 6333  cen 8545  Fincfn 8548  cr 10607  cle 10747  0cn0 11969  chash 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776
This theorem is referenced by:  derangen2  32699
  Copyright terms: Public domain W3C validator