Theorem derangen 33034

Description: The derangement number is a cardinal invariant, i.e. it only depends on the size of a set and not on its contents. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2	1	derangenlem 33033	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵))
3		ensym 8744	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5		enfi 8933	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	1	derangenlem 33033	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))
8	4, 6, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))
9	1	derangf 33030	. . . . 5 ⊢ 𝐷:Fin⟶ℕ0
10	9	ffvelrni 6942	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	9	ffvelrni 6942	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐷‘𝐴) ∈ ℝ)
15		nn0re 12172	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝐷‘𝐵) ∈ ℝ)
16		letri3 10991	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
17	14, 15, 16	syl2an 595	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
18	11, 13, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
19	2, 8, 18	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418   ≈ cen 8688  Fincfn 8691  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ♯chash 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  derangen2  33036