Theorem derangen 35157

Description: The derangement number is a cardinal invariant, i.e. it only depends on the size of a set and not on its contents. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2	1	derangenlem 35156	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵))
3		ensym 9042	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5		enfi 9225	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	1	derangenlem 35156	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))
9	1	derangf 35153	. . . . 5 ⊢ 𝐷:Fin⟶ℕ0
10	9	ffvelcdmi 7103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	9	ffvelcdmi 7103	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12533	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐷‘𝐴) ∈ ℝ)
15		nn0re 12533	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝐷‘𝐵) ∈ ℝ)
16		letri3 11344	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
18	11, 13, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
19	2, 8, 18	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563   ≈ cen 8981  Fincfn 8984  ℝcr 11152   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  derangen2  35159