Theorem derangen 35216

Description: The derangement number is a cardinal invariant, i.e. it only depends on the size of a set and not on its contents. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangen	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem derangen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derang.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2	1	derangenlem 35215	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵))
3		ensym 8925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ≈ 𝐴)
5		enfi 9096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
7	1	derangenlem 35215	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))
9	1	derangf 35212	. . . . 5 ⊢ 𝐷:Fin⟶ℕ0
10	9	ffvelcdmi 7016	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	9	ffvelcdmi 7016	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0)
14		nn0re 12390	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐷‘𝐴) ∈ ℝ)
15		nn0re 12390	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝐷‘𝐵) ∈ ℝ)
16		letri3 11198	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐷‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
17	14, 15, 16	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
18	11, 13, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵) ↔ ((𝐷‘𝐴) ≤ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝐵) ≤ (𝐷‘𝐴))))
19	2, 8, 18	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  ℝcr 11005   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  derangen2  35218