MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfinite4 14268
Description: A finite set is equinumerous to the range of integers from one up to the hash value of the set. In other words, counting objects with natural numbers works if and only if it is a finite collection. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
isfinite4 (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isfinite4
StepHypRef Expression
1 hashcl 14262 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 hashfz1 14252 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
4 fzfi 13883 . . . 4 (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin
5 hashen 14253 . . . 4 (((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
64, 5mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
73, 6mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
8 ensym 8946 . . 3 ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (1...(♯‘𝐴)))
9 enfi 9137 . . . 4 (𝐴 ≈ (1...(♯‘𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin))
109biimprcd 250 . . 3 ((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin → (𝐴 ≈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin))
114, 8, 10mpsyl 68 . 2 ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin)
127, 11impbii 208 1 (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cen 8883  Fincfn 8886  1c1 11057  0cn0 12418  ...cfz 13430  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  fz1f1o  15600  padct  31683  sticksstones20  40620  rp-isfinite5  41877
  Copyright terms: Public domain W3C validator