Theorem isfinite4 14516

Description: A finite set is equinumerous to the range of integers from one up to the hash value of the set. In other words, counting objects with natural numbers works if and only if it is a finite collection. (Contributed by Richard Penner, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isfinite4	⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem isfinite4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14510	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		hashfz1 14500	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
4		fzfi 14125	. . . 4 ⊢ (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin
5		hashen 14501	. . . 4 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
6	4, 5	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
7	3, 6	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
8		ensym 9041	. . 3 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (1...(♯‘𝐴)))
9		enfi 9213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (1...(♯‘𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin))
10	9	biimprcd 253	. . 3 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin → (𝐴 ≈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin))
11	4, 8, 10	mpsyl 69	. 2 ⊢ ((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ Fin)
12	7, 11	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ≈ cen 8981  Fincfn 8984  1c1 11211  ℕ₀cn0 12616  ...cfz 13649  ♯chash 14484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-hash 14485

This theorem is used by:  fz1f1o  15888  padct  33364  sticksstones20  43356  fisdomnn  43435  rp-isfinite5  44658