Theorem ioo2bl 24750

Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
ioo2bl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)))

Proof of Theorem ioo2bl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11220	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
2	1	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	rehalfcld 12496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
4		resubcl 11555	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
5	4	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 12496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7		remet.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8	7	bl2ioo 24749	. . 3 ⊢ ((((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
9	3, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))))
10		recn 11227	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		recn 11227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		addcom 11429	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
13	10, 11, 12	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
14	13	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
15	14	oveq1d 7428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)))
16		halfaddsub 12482	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴))
17	10, 11, 16	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴))
18	17	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐴)
19	17	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2)) = 𝐵)
20	18, 19	oveq12d 7431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵 − 𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵 − 𝐴) / 2))) = (𝐴(,)𝐵))
21	9, 15, 20	3eqtr3rd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   × cxp 5663   ↾ cres 5667   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136   + caddc 11140   − cmin 11474   / cdiv 11902  2c2 12303  (,)cioo 13369  abscabs 15255  ballcbl 21313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-xadd 13137  df-ioo 13373  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321

This theorem is referenced by:  ioo2blex  24751