MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioo2bl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioo2bl 24827
Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
ioo2bl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))

Proof of Theorem ioo2bl
StepHypRef Expression
1 readdcl 11263 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
32rehalfcld 12536 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
4 resubcl 11596 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
65rehalfcld 12536 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
87bl2ioo 24826 . . 3 ((((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))))
93, 6, 8syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))))
10 recn 11270 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 recn 11270 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 addcom 11472 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
1310, 11, 12syl2anr 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
1413oveq1d 7460 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1514oveq1d 7460 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))
16 halfaddsub 12522 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴))
1710, 11, 16syl2anr 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴))
1817simprd 495 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴)
1917simpld 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵)
2018, 19oveq12d 7463 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))) = (𝐴(,)𝐵))
219, 15, 203eqtr3rd 2783 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103   × cxp 5697  cres 5701  ccom 5703  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  cr 11179   + caddc 11183  cmin 11516   / cdiv 11943  2c2 12344  (,)cioo 13403  abscabs 15279  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-xadd 13172  df-ioo 13407  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  ioo2blex  24828
  Copyright terms: Public domain W3C validator