MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioo2bl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioo2bl 23004
Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
ioo2bl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))

Proof of Theorem ioo2bl
StepHypRef Expression
1 readdcl 10355 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 452 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
32rehalfcld 11629 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
4 resubcl 10687 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54ancoms 452 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
65rehalfcld 11629 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
87bl2ioo 23003 . . 3 ((((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))))
93, 6, 8syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))))
10 recn 10362 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 recn 10362 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 addcom 10562 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
1310, 11, 12syl2anr 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
1413oveq1d 6937 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1514oveq1d 6937 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))
16 halfaddsub 11615 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴))
1710, 11, 16syl2anr 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴))
1817simprd 491 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴)
1917simpld 490 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵)
2018, 19oveq12d 6940 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))) = (𝐴(,)𝐵))
219, 15, 203eqtr3rd 2822 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106   × cxp 5353  cres 5357  ccom 5359  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271   + caddc 10275  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  (,)cioo 12487  abscabs 14381  ballcbl 20129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-xadd 12258  df-ioo 12491  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137
This theorem is referenced by:  ioo2blex  23005
  Copyright terms: Public domain W3C validator