MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioo2bl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioo2bl 23937
Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
ioo2bl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))

Proof of Theorem ioo2bl
StepHypRef Expression
1 readdcl 10938 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
21ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
32rehalfcld 12203 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
4 resubcl 11268 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
54ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
65rehalfcld 12203 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ)
7 remet.1 . . . 4 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
87bl2ioo 23936 . . 3 ((((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))))
93, 6, 8syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))))
10 recn 10945 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 recn 10945 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12 addcom 11144 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
1310, 11, 12syl2anr 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
1413oveq1d 7283 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
1514oveq1d 7283 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))
16 halfaddsub 12189 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴))
1710, 11, 16syl2anr 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵 ∧ (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴))
1817simprd 495 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐴)
1917simpld 494 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2)) = 𝐵)
2018, 19oveq12d 7286 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐵 + 𝐴) / 2) − ((𝐵𝐴) / 2))(,)(((𝐵 + 𝐴) / 2) + ((𝐵𝐴) / 2))) = (𝐴(,)𝐵))
219, 15, 203eqtr3rd 2788 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵𝐴) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109   × cxp 5586  cres 5590  ccom 5592  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853  cr 10854   + caddc 10858  cmin 11188   / cdiv 11615  2c2 12011  (,)cioo 13061  abscabs 14926  ballcbl 20565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-xadd 12831  df-ioo 13065  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573
This theorem is referenced by:  ioo2blex  23938
  Copyright terms: Public domain W3C validator