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Theorem addsin 15522
Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addsin ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem addsin
StepHypRef Expression
1 addcl 10618 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
21halfcld 11881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
32sincld 15482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4 subcl 10884 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
54halfcld 11881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ)
65coscld 15483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
73, 6mulcld 10660 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
872timesd 11879 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
9 sinadd 15516 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
102, 5, 9syl2anc 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
11 sinsub 15520 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
122, 5, 11syl2anc 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
1310, 12oveq12d 7173 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) + (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
142coscld 15483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
155sincld 15482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 10660 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
177, 16, 7ppncand 11036 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) + (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
1813, 17eqtrd 2856 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
19 halfaddsub 11869 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
2019simpld 497 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2120fveq2d 6673 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (sin‘𝐴))
2219simprd 498 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
2322fveq2d 6673 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (sin‘𝐵))
2421, 23oveq12d 7173 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) + (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)))
258, 18, 243eqtr2rd 2863 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) + (sin‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534   + caddc 10539   · cmul 10541  cmin 10869   / cdiv 11296  2c2 11691  sincsin 15416  cosccos 15417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423
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