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Theorem addsin 16118
Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addsin ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) + (sinβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))

Proof of Theorem addsin
StepHypRef Expression
1 addcl 11191 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
21halfcld 12458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚)
32sincld 16078 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
4 subcl 11460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
54halfcld 12458 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚)
65coscld 16079 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
73, 6mulcld 11235 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
872timesd 12456 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
9 sinadd 16112 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
102, 5, 9syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
11 sinsub 16116 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
122, 5, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
1310, 12oveq12d 7422 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) + (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))))
142coscld 16079 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
155sincld 16078 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
1614, 15mulcld 11235 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
177, 16, 7ppncand 11612 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) + (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
1813, 17eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
19 halfaddsub 12446 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡))
2019simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴)
2120fveq2d 6888 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (sinβ€˜π΄))
2219simprd 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡)
2322fveq2d 6888 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (sinβ€˜π΅))
2421, 23oveq12d 7422 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((sinβ€˜π΄) + (sinβ€˜π΅)))
258, 18, 243eqtr2rd 2773 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) + (sinβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  sincsin 16011  cosccos 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018
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