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Theorem addsin 16147
Description: Sum of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addsin ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) + (sinβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))

Proof of Theorem addsin
StepHypRef Expression
1 addcl 11221 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ β„‚)
21halfcld 12488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚)
32sincld 16107 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
4 subcl 11490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
54halfcld 12488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚)
65coscld 16108 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
73, 6mulcld 11265 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
872timesd 12486 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
9 sinadd 16141 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
102, 5, 9syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
11 sinsub 16145 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
122, 5, 11syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
1310, 12oveq12d 7438 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) + (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))))
142coscld 16108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
155sincld 16107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
1614, 15mulcld 11265 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
177, 16, 7ppncand 11642 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) + (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
1813, 17eqtrd 2768 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
19 halfaddsub 12476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡))
2019simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴)
2120fveq2d 6901 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (sinβ€˜π΄))
2219simprd 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡)
2322fveq2d 6901 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (sinβ€˜π΅))
2421, 23oveq12d 7438 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((sinβ€˜π΄) + (sinβ€˜π΅)))
258, 18, 243eqtr2rd 2775 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) + (sinβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  2c2 12298  sincsin 16040  cosccos 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047
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