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Theorem subsin 16058
Description: Difference of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
subsin ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (sinβ€˜π΅)) = (2 Β· ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))

Proof of Theorem subsin
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 12390 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚))
2 coscl 16014 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
3 sincl 16013 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
4 mulcl 11140 . . . . 5 (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
52, 3, 4syl2an 597 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
762timesd 12401 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
8 sinadd 16051 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
9 sinsub 16055 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
108, 9oveq12d 7376 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) βˆ’ (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))))
111, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) βˆ’ (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))))
12 sincl 16013 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
13 coscl 16014 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
14 mulcl 11140 . . . . . 6 (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
1512, 13, 14syl2an 597 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
161, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
1716, 6, 6pnncand 11556 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) βˆ’ (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))) = (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
1811, 17eqtrd 2773 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
19 halfaddsub 12391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡))
2019simpld 496 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴)
2120fveq2d 6847 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (sinβ€˜π΄))
2219simprd 497 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡)
2322fveq2d 6847 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (sinβ€˜π΅))
2421, 23oveq12d 7376 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (sinβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (sinβ€˜π΅)))
257, 18, 243eqtr2rd 2780 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (sinβ€˜π΅)) = (2 Β· ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  sincsin 15951  cosccos 15952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958
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