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Theorem subsin 15503
Description: Difference of sines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
subsin ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) − (sin‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem subsin
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 11847 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ))
2 coscl 15459 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
3 sincl 15458 . . . . 5 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4 mulcl 10598 . . . . 5 (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
52, 3, 4syl2an 598 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
762timesd 11858 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
8 sinadd 15496 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
9 sinsub 15500 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
108, 9oveq12d 7148 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) − (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
111, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) − (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
12 sincl 15458 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13 coscl 15459 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14 mulcl 10598 . . . . . 6 (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2an 598 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
161, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1716, 6, 6pnncand 11013 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
1811, 17eqtrd 2856 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) − (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
19 halfaddsub 11848 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
2019simpld 498 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2120fveq2d 6647 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (sin‘𝐴))
2219simprd 499 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
2322fveq2d 6647 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (sin‘𝐵))
2421, 23oveq12d 7148 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) − (sin‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((sin‘𝐴) − (sin‘𝐵)))
257, 18, 243eqtr2rd 2863 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) − (sin‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512   + caddc 10517   · cmul 10519  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  sincsin 15396  cosccos 15397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403
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