Theorem addcos 15306

Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
addcos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem addcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 15259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		coscl 15259	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
3		addcom 10562	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2an 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
5		halfaddsub 11615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))
6	5	simprd 491	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
7	6	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (cos‘𝐵))
8	5	simpld 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (cos‘𝐴))
10	7, 9	oveq12d 6940	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
11		halfaddsubcl 11614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ))
12		coscl 15259	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13		coscl 15259	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14		mulcl 10356	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
15	12, 13, 14	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
17		sincl 15258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
18		sincl 15258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19		mulcl 10356	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	syl2an 589	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
21	11, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
22	16, 21, 16	ppncand 10774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
23		cossub 15301	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
24		cosadd 15297	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
25	23, 24	oveq12d 6940	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
26	11, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
27	16	2timesd 11625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
28	22, 26, 27	3eqtr4d 2824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
29	4, 10, 28	3eqtr2d 2820	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270   + caddc 10275   · cmul 10277   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  sincsin 15196  cosccos 15197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203

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