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Theorem addcos 16158

Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
addcos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

**Proof of Theorem addcos**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 16111	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		coscl 16111	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
3		addcom 11438	. . 3 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐵) ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
5		halfaddsub 12483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))
6	5	simprd 494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
7	6	fveq2d 6906	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (cos‘𝐵))
8	5	simpld 493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
9	8	fveq2d 6906	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (cos‘𝐴))
10	7, 9	oveq12d 7444	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((cos‘𝐵) + (cos‘𝐴)))
11		halfaddsubcl 12482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ))
12		coscl 16111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13		coscl 16111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14		mulcl 11230	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
15	12, 13, 14	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
16	11, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
17		sincl 16110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
18		sincl 16110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19		mulcl 11230	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
21	11, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
22	16, 21, 16	ppncand 11649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
23		cossub 16153	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
24		cosadd 16149	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
25	23, 24	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
26	11, 25	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) + (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
27	16	2timesd 12493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
28	22, 26, 27	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) + (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
29	4, 10, 28	3eqtr2d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) + (cos‘𝐵)) = (2 · ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ‘cfv 6553 (class class class)co 7426 ℂcc 11144 + caddc 11149 · cmul 11151 − cmin 11482 / cdiv 11909 2c2 12305 sincsin 16047 cosccos 16048

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-inf2 9672 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-er 8731 df-pm 8854 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-sup 9473 df-inf 9474 df-oi 9541 df-card 9970 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-div 11910 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-rp 13015 df-ico 13370 df-fz 13525 df-fzo 13668 df-fl 13797 df-seq 14007 df-exp 14067 df-fac 14273 df-bc 14302 df-hash 14330 df-shft 15054 df-cj 15086 df-re 15087 df-im 15088 df-sqrt 15222 df-abs 15223 df-limsup 15455 df-clim 15472 df-rlim 15473 df-sum 15673 df-ef 16051 df-sin 16053 df-cos 16054

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