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Theorem subcos 16114
Description: Difference of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcos ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (cosβ€˜π΄)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))

Proof of Theorem subcos
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 12440 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚))
2 sincl 16065 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
3 sincl 16065 . . . . 5 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
4 mulcl 11190 . . . . 5 (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
52, 3, 4syl2an 596 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
762timesd 12451 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
8 cossub 16108 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
9 cosadd 16104 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
108, 9oveq12d 7423 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) βˆ’ (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))))
111, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) βˆ’ (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))))
12 coscl 16066 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
13 coscl 16066 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚)
14 mulcl 11190 . . . . . 6 (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐡) / 2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2) ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
161, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) ∈ β„‚)
1716, 6, 6pnncand 11606 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) βˆ’ (((cosβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (cosβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
1811, 17eqtrd 2772 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = (((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) + ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
19 halfaddsub 12441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡))
2019simprd 496 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐡)
2120fveq2d 6892 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (cosβ€˜π΅))
2219simpld 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)) = 𝐴)
2322fveq2d 6892 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) = (cosβ€˜π΄))
2421, 23oveq12d 7423 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) βˆ’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2))) βˆ’ (cosβ€˜(((𝐴 + 𝐡) / 2) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))) = ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (cosβ€˜π΄)))
257, 18, 243eqtr2rd 2779 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΅) βˆ’ (cosβ€˜π΄)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐴 + 𝐡) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐴 βˆ’ 𝐡) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  sincsin 16003  cosccos 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010
This theorem is referenced by:  cosordlem  26030
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