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Theorem subcos 16011
Description: Difference of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcos ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem subcos
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 12343 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ))
2 sincl 15962 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
3 sincl 15962 . . . . 5 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4 mulcl 11093 . . . . 5 (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
52, 3, 4syl2an 596 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
762timesd 12354 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
8 cossub 16005 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
9 cosadd 16001 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
108, 9oveq12d 7369 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
111, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
12 coscl 15963 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13 coscl 15963 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14 mulcl 11093 . . . . . 6 (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
161, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1716, 6, 6pnncand 11509 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
1811, 17eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
19 halfaddsub 12344 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
2019simprd 496 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
2120fveq2d 6843 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (cos‘𝐵))
2219simpld 495 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2322fveq2d 6843 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (cos‘𝐴))
2421, 23oveq12d 7369 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)))
257, 18, 243eqtr2rd 2783 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007   + caddc 11012   · cmul 11014  cmin 11343   / cdiv 11770  2c2 12166  sincsin 15900  cosccos 15901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-ico 13224  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14906  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-limsup 15307  df-clim 15324  df-rlim 15325  df-sum 15525  df-ef 15904  df-sin 15906  df-cos 15907
This theorem is referenced by:  cosordlem  25832
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