Theorem subcos 16387

Description: Difference of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subcos	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem subcos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfaddsubcl 12618	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ))
2		sincl 16338	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
3		sincl 16338	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4		mulcl 11323	. . . . 5 ⊢ (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
7	6	2timesd 12629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
8		cossub 16381	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
9		cosadd 16377	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
10	8, 9	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
11	1, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))))
12		coscl 16339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13		coscl 16339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14		mulcl 11323	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
16	1, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
17	16, 6, 6	pnncand 11747	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
18	11, 17	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))
19		halfaddsub 12619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵))
20	19	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐵)
21	20	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (cos‘𝐵))
22	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)) = 𝐴)
23	22	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2))) = (cos‘𝐴))
24	21, 23	oveq12d 7469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴 − 𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴 − 𝐵) / 2)))) = ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)))
25	7, 18, 24	3eqtr2rd 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴 − 𝐵) / 2)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  sincsin 16273  cosccos 16274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280

This theorem is used by:  cosordlem  26915