HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leoptri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leoptri 29550
Description: The positive operator ordering relation satisfies trichotomy. Exercise 1(iii) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leoptri ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑇op 𝑈𝑈op 𝑇) ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem leoptri
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leop2 29538 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2 leop2 29538 . . . 4 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑈op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
32ancoms 452 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑈op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
41, 3anbi12d 626 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑇op 𝑈𝑈op 𝑇) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
5 hmopre 29337 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
65adantlr 708 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
7 hmopre 29337 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
87adantll 707 . . . . 5 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
96, 8letri3d 10498 . . . 4 (((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
109ralbidva 3194 . . 3 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥))))
11 r19.26 3274 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
1210, 11syl6rbb 280 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
13 hmoplin 29356 . . 3 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
14 hmoplin 29356 . . 3 (𝑈 ∈ HrmOp → 𝑈 ∈ LinOp)
15 lnopeq 29423 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈 ∈ LinOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))
1613, 14, 15syl2an 591 . 2 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))
174, 12, 163bitrd 297 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑇op 𝑈𝑈op 𝑇) ↔ 𝑇 = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3117   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251  cle 10392  chba 28331   ·ih csp 28334  LinOpclo 28359  HrmOpcho 28362  op cleo 28370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332  ax-hilex 28411  ax-hfvadd 28412  ax-hvcom 28413  ax-hvass 28414  ax-hv0cl 28415  ax-hvaddid 28416  ax-hfvmul 28417  ax-hvmulid 28418  ax-hvmulass 28419  ax-hvdistr1 28420  ax-hvdistr2 28421  ax-hvmul0 28422  ax-hfi 28491  ax-his1 28494  ax-his2 28495  ax-his3 28496  ax-his4 28497  ax-hcompl 28614
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-omul 7831  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-lm 21404  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cfil 23423  df-cau 23424  df-cmet 23425  df-grpo 27903  df-gid 27904  df-ginv 27905  df-gdiv 27906  df-ablo 27955  df-vc 27969  df-nv 28002  df-va 28005  df-ba 28006  df-sm 28007  df-0v 28008  df-vs 28009  df-nmcv 28010  df-ims 28011  df-dip 28111  df-ssp 28132  df-ph 28223  df-cbn 28274  df-hnorm 28380  df-hba 28381  df-hvsub 28383  df-hlim 28384  df-hcau 28385  df-sh 28619  df-ch 28633  df-oc 28664  df-ch0 28665  df-shs 28722  df-pjh 28809  df-hosum 29144  df-homul 29145  df-hodif 29146  df-h0op 29162  df-lnop 29255  df-hmop 29258  df-leop 29266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator