Theorem leoptr 31895

Description: The positive operator ordering relation is transitive. Exercise 1(iv) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leoptr	⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈)) → 𝑆 ≤op 𝑈)

Proof of Theorem leoptr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3105	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopre 31681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3		hmopre 31681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4		hmopre 31681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
5		letr 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1157	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7	6	3anandirs 1468	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
8	7	ralimdva 3161	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
9	1, 8	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
10		leop2 31882	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
11	10	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
12		leop2 31882	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14	11, 13	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
15		leop2 31882	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
16	15	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
17	9, 14, 16	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈) → 𝑆 ≤op 𝑈))
18	17	imp 406	1 ⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈)) → 𝑆 ≤op 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108   ≤ cle 11250   ℋchba 30677   ·_ih csp 30680  HrmOpcho 30708   ≤_op cleo 30716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvmulass 30765  ax-hvdistr1 30766  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his2 30841  ax-his3 30842  ax-his4 30843  ax-hcompl 30960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-lm 23084  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cfil 25134  df-cau 25135  df-cmet 25136  df-grpo 30251  df-gid 30252  df-ginv 30253  df-gdiv 30254  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-vs 30357  df-nmcv 30358  df-ims 30359  df-dip 30459  df-ssp 30480  df-ph 30571  df-cbn 30621  df-hnorm 30726  df-hba 30727  df-hvsub 30729  df-hlim 30730  df-hcau 30731  df-sh 30965  df-ch 30979  df-oc 31010  df-ch0 31011  df-shs 31066  df-pjh 31153  df-hosum 31488  df-homul 31489  df-hodif 31490  df-h0op 31506  df-hmop 31602  df-leop 31610

This theorem is referenced by: (None)