Theorem leoptr 29610

Description: The positive operator ordering relation is transitive. Exercise 1(iv) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leoptr	⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈)) → 𝑆 ≤op 𝑈)

Proof of Theorem leoptr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 3137	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
2		hmopre 29396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3		hmopre 29396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4		hmopre 29396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
5		letr 10586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
7	6	3anandirs 1464	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
8	7	ralimdva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
9	1, 8	syl5bir 244	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
10		leop2 29597	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
11	10	3adant3 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥)))
12		leop2 29597	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
13	12	3adant1 1123	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
14	11, 13	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥))))
15		leop2 29597	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
16	15	3adant2 1124	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆 ≤op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆‘𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈‘𝑥) ·ih 𝑥)))
17	9, 14, 16	3imtr4d 295	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈) → 𝑆 ≤op 𝑈))
18	17	imp 407	1 ⊢ (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑆 ≤op 𝑇 ∧ 𝑇 ≤op 𝑈)) → 𝑆 ≤op 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   class class class wbr 4966  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℝcr 10387   ≤ cle 10527   ℋchba 28392   ·_ih csp 28395  HrmOpcho 28423   ≤_op cleo 28431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cc 9708  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468  ax-hilex 28472  ax-hfvadd 28473  ax-hvcom 28474  ax-hvass 28475  ax-hv0cl 28476  ax-hvaddid 28477  ax-hfvmul 28478  ax-hvmulid 28479  ax-hvmulass 28480  ax-hvdistr1 28481  ax-hvdistr2 28482  ax-hvmul0 28483  ax-hfi 28552  ax-his1 28555  ax-his2 28556  ax-his3 28557  ax-his4 28558  ax-hcompl 28675

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-omul 7963  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-acn 9222  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-lm 21526  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cfil 23546  df-cau 23547  df-cmet 23548  df-grpo 27966  df-gid 27967  df-ginv 27968  df-gdiv 27969  df-ablo 28018  df-vc 28032  df-nv 28065  df-va 28068  df-ba 28069  df-sm 28070  df-0v 28071  df-vs 28072  df-nmcv 28073  df-ims 28074  df-dip 28174  df-ssp 28195  df-ph 28286  df-cbn 28336  df-hnorm 28441  df-hba 28442  df-hvsub 28444  df-hlim 28445  df-hcau 28446  df-sh 28680  df-ch 28694  df-oc 28725  df-ch0 28726  df-shs 28781  df-pjh 28868  df-hosum 29203  df-homul 29204  df-hodif 29205  df-h0op 29221  df-hmop 29317  df-leop 29325

This theorem is referenced by: (None)