HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leoptr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leoptr 29610
Description: The positive operator ordering relation is transitive. Exercise 1(iv) of [Retherford] p. 49. (Contributed by NM, 25-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leoptr (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑆op 𝑇𝑇op 𝑈)) → 𝑆op 𝑈)

Proof of Theorem leoptr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 3137 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
2 hmopre 29396 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
3 hmopre 29396 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
4 hmopre 29396 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ)
5 letr 10586 . . . . . . 7 ((((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥) ∈ ℝ) → ((((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
62, 3, 4, 5syl3an 1153 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑈 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
763anandirs 1464 . . . . 5 (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
87ralimdva 3144 . . . 4 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
91, 8syl5bir 244 . . 3 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
10 leop2 29597 . . . . 5 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp) → (𝑆op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
11103adant3 1125 . . . 4 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆op 𝑇 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥)))
12 leop2 29597 . . . . 5 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
13123adant1 1123 . . . 4 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑇op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
1411, 13anbi12d 630 . . 3 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑆op 𝑇𝑇op 𝑈) ↔ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥))))
15 leop2 29597 . . . 4 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
16153adant2 1124 . . 3 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → (𝑆op 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆𝑥) ·ih 𝑥) ≤ ((𝑈𝑥) ·ih 𝑥)))
179, 14, 163imtr4d 295 . 2 ((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) → ((𝑆op 𝑇𝑇op 𝑈) → 𝑆op 𝑈))
1817imp 407 1 (((𝑆 ∈ HrmOp ∧ 𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑈 ∈ HrmOp) ∧ (𝑆op 𝑇𝑇op 𝑈)) → 𝑆op 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2081  wral 3105   class class class wbr 4966  cfv 6230  (class class class)co 7021  cr 10387  cle 10527  chba 28392   ·ih csp 28395  HrmOpcho 28423  op cleo 28431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-inf2 8955  ax-cc 9708  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466  ax-addf 10467  ax-mulf 10468  ax-hilex 28472  ax-hfvadd 28473  ax-hvcom 28474  ax-hvass 28475  ax-hv0cl 28476  ax-hvaddid 28477  ax-hfvmul 28478  ax-hvmulid 28479  ax-hvmulass 28480  ax-hvdistr1 28481  ax-hvdistr2 28482  ax-hvmul0 28483  ax-hfi 28552  ax-his1 28555  ax-his2 28556  ax-his3 28557  ax-his4 28558  ax-hcompl 28675
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-of 7272  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-supp 7687  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-2o 7959  df-oadd 7962  df-omul 7963  df-er 8144  df-map 8263  df-pm 8264  df-ixp 8316  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-fsupp 8685  df-fi 8726  df-sup 8757  df-inf 8758  df-oi 8825  df-card 9219  df-acn 9222  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-q 12203  df-rp 12245  df-xneg 12362  df-xadd 12363  df-xmul 12364  df-ioo 12597  df-ico 12599  df-icc 12600  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-seq 13225  df-exp 13285  df-hash 13546  df-cj 14297  df-re 14298  df-im 14299  df-sqrt 14433  df-abs 14434  df-clim 14684  df-rlim 14685  df-sum 14882  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-starv 16414  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ip 16417  df-tset 16418  df-ple 16419  df-ds 16421  df-unif 16422  df-hom 16423  df-cco 16424  df-rest 16530  df-topn 16531  df-0g 16549  df-gsum 16550  df-topgen 16551  df-pt 16552  df-prds 16555  df-xrs 16609  df-qtop 16614  df-imas 16615  df-xps 16617  df-mre 16691  df-mrc 16692  df-acs 16694  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-mulg 17987  df-cntz 18193  df-cmn 18640  df-psmet 20224  df-xmet 20225  df-met 20226  df-bl 20227  df-mopn 20228  df-fbas 20229  df-fg 20230  df-cnfld 20233  df-top 21191  df-topon 21208  df-topsp 21230  df-bases 21243  df-cld 21316  df-ntr 21317  df-cls 21318  df-nei 21395  df-cn 21524  df-cnp 21525  df-lm 21526  df-haus 21612  df-tx 21859  df-hmeo 22052  df-fil 22143  df-fm 22235  df-flim 22236  df-flf 22237  df-xms 22618  df-ms 22619  df-tms 22620  df-cfil 23546  df-cau 23547  df-cmet 23548  df-grpo 27966  df-gid 27967  df-ginv 27968  df-gdiv 27969  df-ablo 28018  df-vc 28032  df-nv 28065  df-va 28068  df-ba 28069  df-sm 28070  df-0v 28071  df-vs 28072  df-nmcv 28073  df-ims 28074  df-dip 28174  df-ssp 28195  df-ph 28286  df-cbn 28336  df-hnorm 28441  df-hba 28442  df-hvsub 28444  df-hlim 28445  df-hcau 28446  df-sh 28680  df-ch 28694  df-oc 28725  df-ch0 28726  df-shs 28781  df-pjh 28868  df-hosum 29203  df-homul 29204  df-hodif 29205  df-h0op 29221  df-hmop 29317  df-leop 29325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator