HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnlb 30813
Description: A lower bound for a functional norm. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnlb ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ (normfn𝑇))

Proof of Theorem nmfnlb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 30766 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
2 ressxr 11198 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2sstrdi 3956 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
433ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
5 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (norm𝑦) = (norm𝐴))
65breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm𝐴) ≤ 1))
7 2fveq3 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (abs‘(𝑇𝑦)) = (abs‘(𝑇𝐴)))
87eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → ((abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴))))
96, 8anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴)))))
10 eqid 2736 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴))
1110biantru 530 . . . . . . 7 ((norm𝐴) ≤ 1 ↔ ((norm𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴))))
129, 11bitr4di 288 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ (norm𝐴) ≤ 1))
1312rspcev 3581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
14 fvex 6855 . . . . . 6 (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ V
15 eqeq1 2740 . . . . . . . 8 (𝑥 = (abs‘(𝑇𝐴)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑥 = (abs‘(𝑇𝐴)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3175 . . . . . 6 (𝑥 = (abs‘(𝑇𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3630 . . . . 5 ((abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1913, 18sylibr 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))})
20193adant1 1130 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))})
21 supxrub 13242 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
224, 20, 21syl2anc 584 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
23 nmfnval 30765 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
24233ad2ant1 1133 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (normfn𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2522, 24breqtrrd 5133 1 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ (normfn𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  supcsup 9375  cc 11048  cr 11049  1c1 11051  *cxr 11187   < clt 11188  cle 11189  abscabs 15118  chba 29808  normcno 29812  normfncnmf 29840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-hilex 29888
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-rp 12915  df-seq 13906  df-exp 13967  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-nmfn 30734
This theorem is referenced by:  nmfnge0  30816  nmbdfnlbi  30938  nmcfnlbi  30941
  Copyright terms: Public domain W3C validator