HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnlb 31953
Description: A lower bound for a functional norm. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnlb ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ (normfn𝑇))

Proof of Theorem nmfnlb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 31906 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
2 ressxr 11303 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2sstrdi 4008 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
433ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
5 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (norm𝑦) = (norm𝐴))
65breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm𝐴) ≤ 1))
7 2fveq3 6912 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (abs‘(𝑇𝑦)) = (abs‘(𝑇𝐴)))
87eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → ((abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴))))
96, 8anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴)))))
10 eqid 2735 . . . . . . . 8 (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴))
1110biantru 529 . . . . . . 7 ((norm𝐴) ≤ 1 ↔ ((norm𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝐴))))
129, 11bitr4di 289 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ (norm𝐴) ≤ 1))
1312rspcev 3622 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
14 fvex 6920 . . . . . 6 (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ V
15 eqeq1 2739 . . . . . . . 8 (𝑥 = (abs‘(𝑇𝐴)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑥 = (abs‘(𝑇𝐴)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑥 = (abs‘(𝑇𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3681 . . . . 5 ((abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1913, 18sylibr 234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))})
20193adant1 1129 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))})
21 supxrub 13363 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
224, 20, 21syl2anc 584 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
23 nmfnval 31905 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
24233ad2ant1 1132 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (normfn𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2522, 24breqtrrd 5176 1 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (abs‘(𝑇𝐴)) ≤ (normfn𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  abscabs 15270  chba 30948  normcno 30952  normfncnmf 30980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hilex 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-nmfn 31874
This theorem is referenced by:  nmfnge0  31956  nmbdfnlbi  32078  nmcfnlbi  32081
  Copyright terms: Public domain W3C validator