Theorem iihalf1 25307

Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12457	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 11324	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5		0le2 12485	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		mulge0 11874	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
7	1, 5, 6	mpanl12 715	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
8	7	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9		1re 11347	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		2pos 12487	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		lemuldiv2 12238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
13	9, 11, 12	mp3an23 1483	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
14	13	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15	14	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
16	4, 8, 15	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17		0re 11349	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		halfre 12599	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19	17, 18	elicc2i 13583	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
20	17, 9	elicc2i 13583	. 2 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
21	16, 19, 20	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   / cdiv 12013  2c2 12437  [,]cicc 13519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-icc 13523

This theorem is used by:  iihalf1cn  25308  phtpycc  25367  copco  25394  pcohtpylem  25395  pcopt  25398  pcopt2  25399  pcorevlem  25402