Theorem iihalf1 25090

Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 11180	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5		0le2 12338	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		mulge0 11727	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
7	1, 5, 6	mpanl12 714	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
8	7	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9		1re 11203	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		2pos 12340	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		lemuldiv2 12091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
13	9, 11, 12	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
14	13	biimpar 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15	14	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
16	4, 8, 15	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17		0re 11205	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		halfre 12452	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19	17, 18	elicc2i 13434	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
20	17, 9	elicc2i 13434	. 2 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
21	16, 19, 20	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  2c2 12290  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  iihalf1cn  25091  phtpycc  25150  copco  25177  pcohtpylem  25178  pcopt  25181  pcopt2  25182  pcorevlem  25185