MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iihalf1 24943
Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1
StepHypRef Expression
1 2re 12338 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 remulcl 11243 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 688 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5 0le2 12366 . . . . 5 0 ≤ 2
6 mulge0 11782 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
71, 5, 6mpanl12 700 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
873adant3 1129 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9 1re 11264 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
10 2pos 12367 . . . . . . 7 0 < 2
111, 10pm3.2i 469 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 lemuldiv2 12147 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
139, 11, 12mp3an23 1450 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
1413biimpar 476 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15143adant2 1128 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
164, 8, 153jca 1125 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17 0re 11266 . . 3 0 ∈ ℝ
18 halfre 12478 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
1917, 18elicc2i 13444 . 2 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)))
2017, 9elicc2i 13444 . 2 ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
2116, 19, 203imtr4i 291 1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299   / cdiv 11921  2c2 12319  [,]cicc 13381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-2 12327  df-icc 13385
This theorem is referenced by:  iihalf1cn  24944  iihalf1cnOLD  24945  phtpycc  25008  copco  25036  pcohtpylem  25037  pcopt  25040  pcopt2  25041  pcorevlem  25044
  Copyright terms: Public domain W3C validator