Theorem iihalf1 23535

Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11712	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 10622	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5		0le2 11740	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		mulge0 11158	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
7	1, 5, 6	mpanl12 700	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
8	7	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9		1re 10641	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		2pos 11741	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 473	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		lemuldiv2 11521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
13	9, 11, 12	mp3an23 1449	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
14	13	biimpar 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15	14	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
16	4, 8, 15	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17		0re 10643	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		halfre 11852	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19	17, 18	elicc2i 12803	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
20	17, 9	elicc2i 12803	. 2 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
21	16, 19, 20	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  2c2 11693  [,]cicc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-2 11701  df-icc 12746

This theorem is referenced by:  iihalf1cn  23536  phtpycc  23595  copco  23622  pcohtpylem  23623  pcopt  23626  pcopt2  23627  pcorevlem  23630