MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iihalf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iihalf1 24972
Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
iihalf1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1
StepHypRef Expression
1 2re 12338 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 remulcl 11238 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
433ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5 0le2 12366 . . . . 5 0 ≤ 2
6 mulge0 11779 . . . . 5 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
71, 5, 6mpanl12 702 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
873adant3 1131 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
10 2pos 12367 . . . . . . 7 0 < 2
111, 10pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12 lemuldiv2 12147 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
139, 11, 12mp3an23 1452 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
1413biimpar 477 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15143adant2 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
164, 8, 153jca 1127 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17 0re 11261 . . 3 0 ∈ ℝ
18 halfre 12478 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
1917, 18elicc2i 13450 . 2 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)))
2017, 9elicc2i 13450 . 2 ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
2116, 19, 203imtr4i 292 1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  2c2 12319  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  iihalf1cn  24973  iihalf1cnOLD  24974  phtpycc  25037  copco  25065  pcohtpylem  25066  pcopt  25069  pcopt2  25070  pcorevlem  25073
  Copyright terms: Public domain W3C validator