Theorem iihalf1 24346

Description: Map the first half of II into II. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
iihalf1	⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Proof of Theorem iihalf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12251	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
5		0le2 12279	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		mulge0 11697	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
7	1, 5, 6	mpanl12 700	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
8	7	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → 0 ≤ (2 · 𝑋))
9		1re 11179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		2pos 12280	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
11	1, 10	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
12		lemuldiv2 12060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
13	9, 11, 12	mp3an23 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((2 · 𝑋) ≤ 1 ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
14	13	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
15	14	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑋) ≤ 1)
16	4, 8, 15	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
17		0re 11181	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		halfre 12391	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
19	17, 18	elicc2i 13355	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
20	17, 9	elicc2i 13355	. 2 ⊢ ((2 · 𝑋) ∈ (0[,]1) ↔ ((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑋) ∧ (2 · 𝑋) ≤ 1))
21	16, 19, 20	3imtr4i 291	1 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑋) ∈ (0[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11213   ≤ cle 11214   / cdiv 11836  2c2 12232  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-2 12240  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  iihalf1cn  24347  phtpycc  24406  copco  24433  pcohtpylem  24434  pcopt  24437  pcopt2  24438  pcorevlem  24441