Theorem pthdlem2 30098

Description: Lemma 2 for pthd 30099. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		lencl 14572	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3		df-ne 2959	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4		elnnne0 12519	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
5	4	simplbi2 505	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
6	3, 5	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
7	1, 2, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ 0 = 0
9	8	orci 878	. . . . . 6 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10		pthd.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
12	1, 10, 11	pthdlem2lem 30097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
13	9, 12	mp3an3 1479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = 𝑅
15	14	olci 879	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
16	1, 10, 11	pthdlem2lem 30097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
17	15, 16	mp3an3 1479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18		wrdffz 14574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
20	19	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
21	10	oveq2i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
22	21	feq2i 6699	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
23	20, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24		nnm1nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		fvinim0ffz 13820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
28	23, 26, 27	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
29	13, 17, 28	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
30	29	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
31	7, 30	syld 48	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
33	10, 32	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
34	33	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35		0le2 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36		1p1e2 12365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
37	35, 36	breqtrri 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 + 1)
38		0re 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39, 39	lesubadd2i 11775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
41	37, 40	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 1) ≤ 1
42		1z 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		0z 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
44		peano2zm 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
46		fzon 13711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
47	42, 45, 46	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
48	41, 47	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(0 − 1)) = ∅
49	34, 48	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
50	49	imaeq2d 6064	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51		ima0 6081	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
52	50, 51	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
53	52	ineq2d 4174	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54		in0 4353	. . 3 ⊢ ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
55	53, 54	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
56	31, 55	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {cpr 4592   class class class wbr 5110   “ cima 5666  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553

This theorem is referenced by:  pthd  30099