Theorem pthdlem2 29750

Description: Lemma 2 for pthd 29751. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		lencl 14444	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3		df-ne 2930	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4		elnnne0 12404	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
5	4	simplbi2 500	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
6	3, 5	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
7	1, 2, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ 0 = 0
9	8	orci 865	. . . . . 6 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10		pthd.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
12	1, 10, 11	pthdlem2lem 29749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
13	9, 12	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = 𝑅
15	14	olci 866	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
16	1, 10, 11	pthdlem2lem 29749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
17	15, 16	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18		wrdffz 14446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
21	10	oveq2i 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
22	21	feq2i 6650	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
23	20, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24		nnm1nn0 12431	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		fvinim0ffz 13693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
28	23, 26, 27	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
29	13, 17, 28	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
31	7, 30	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32		oveq1 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
33	10, 32	eqtrid 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
34	33	oveq2d 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35		0le2 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36		1p1e2 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
37	35, 36	breqtrri 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 + 1)
38		0re 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11121	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39, 39	lesubadd2i 11686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
41	37, 40	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 1) ≤ 1
42		1z 12510	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		0z 12488	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
44		peano2zm 12523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
46		fzon 13584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
47	42, 45, 46	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
48	41, 47	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(0 − 1)) = ∅
49	34, 48	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
50	49	imaeq2d 6015	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51		ima0 6032	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
52	50, 51	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
53	52	ineq2d 4169	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54		in0 4344	. . 3 ⊢ ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
55	53, 54	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
56	31, 55	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∉ wnel 3033  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  {cpr 4579   class class class wbr 5095   “ cima 5624  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   ≤ cle 11156   − cmin 11353  ℕcn 12134  2c2 12189  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477  ...cfz 13411  ..^cfzo 13558  ♯chash 14241  Word cword 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425

This theorem is referenced by:  pthd  29751