Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 27656
 Description: Lemma 2 for pthd 27657. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 13932 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 2952 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 11948 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 504 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5syl5bir 246 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2758 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 862 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 27655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2758 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 863 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 27655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 13934 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 7161 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
2221feq2i 6490 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 11975 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24eqeltrid 2856 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 13205 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 712 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 416 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32syl5eq 2805 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 7166 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 11776 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 11799 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 5059 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 10681 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 10679 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 11238 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 234 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 12051 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 12031 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 12064 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 13107 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 691 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 233 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48eqtrdi 2809 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 5901 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 5917 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51eqtrdi 2809 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 4117 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 4287 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54eqtrdi 2809 . 2 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 184 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∉ wnel 3055  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  {cpr 4524   class class class wbr 5032   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ...cfz 12939  ..^cfzo 13082  ♯chash 13740  Word cword 13913 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914 This theorem is referenced by:  pthd  27657
 Copyright terms: Public domain W3C validator