Theorem pthdlem2 29853

Description: Lemma 2 for pthd 29854. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		lencl 14468	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3		df-ne 2934	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4		elnnne0 12427	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
5	4	simplbi2 500	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
6	3, 5	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
7	1, 2, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ 0 = 0
9	8	orci 866	. . . . . 6 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10		pthd.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
12	1, 10, 11	pthdlem2lem 29852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
13	9, 12	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = 𝑅
15	14	olci 867	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
16	1, 10, 11	pthdlem2lem 29852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
17	15, 16	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18		wrdffz 14470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
21	10	oveq2i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
22	21	feq2i 6662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
23	20, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24		nnm1nn0 12454	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		fvinim0ffz 13717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
28	23, 26, 27	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
29	13, 17, 28	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
31	7, 30	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
33	10, 32	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
34	33	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35		0le2 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36		1p1e2 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
37	35, 36	breqtrri 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 + 1)
38		0re 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 11144	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39, 39	lesubadd2i 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
41	37, 40	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 1) ≤ 1
42		1z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		0z 12511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
44		peano2zm 12546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
46		fzon 13608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
47	42, 45, 46	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
48	41, 47	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(0 − 1)) = ∅
49	34, 48	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
50	49	imaeq2d 6027	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51		ima0 6044	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
52	50, 51	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
53	52	ineq2d 4174	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54		in0 4349	. . 3 ⊢ ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
55	53, 54	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
56	31, 55	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {cpr 4584   class class class wbr 5100   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449

This theorem is referenced by:  pthd  29854