MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 27463
Description: Lemma 2 for pthd 27464. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 13876 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 3021 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 11903 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 501 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5syl5bir 244 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2825 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 861 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 27462 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1443 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2825 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 862 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 27462 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1443 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 13878 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 7162 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
2221feq2i 6502 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 235 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 11930 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24eqeltrid 2921 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 13149 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 709 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 413 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32syl5eq 2872 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 7167 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 11731 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 11754 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 5089 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 10635 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 10633 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 11192 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 232 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 12004 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 11984 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 12017 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 13051 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 688 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 231 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48syl6eq 2876 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 5926 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 5942 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51syl6eq 2876 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 4192 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 4348 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54syl6eq 2876 . 2 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 182 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wnel 3127  wral 3142  Vcvv 3499  cin 3938  c0 4294  {cpr 4565   class class class wbr 5062  cima 5556  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cle 10668  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855
This theorem is referenced by:  pthd  27464
  Copyright terms: Public domain W3C validator