Theorem pthdlem2 27557

Description: Lemma 2 for pthd 27558. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		lencl 13876	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3		df-ne 2988	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4		elnnne0 11899	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
5	4	simplbi2 504	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
6	3, 5	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
7	1, 2, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ 0 = 0
9	8	orci 862	. . . . . 6 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10		pthd.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
12	1, 10, 11	pthdlem2lem 27556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
13	9, 12	mp3an3 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = 𝑅
15	14	olci 863	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
16	1, 10, 11	pthdlem2lem 27556	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
17	15, 16	mp3an3 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18		wrdffz 13878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
20	19	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
21	10	oveq2i 7146	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
22	21	feq2i 6479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
23	20, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24		nnm1nn0 11926	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	eqeltrid 2894	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		fvinim0ffz 13151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
28	23, 26, 27	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
29	13, 17, 28	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
30	29	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
31	7, 30	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
33	10, 32	syl5eq 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
34	33	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35		0le2 11727	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36		1p1e2 11750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
37	35, 36	breqtrri 5057	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 + 1)
38		0re 10632	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 10630	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39, 39	lesubadd2i 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
41	37, 40	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 1) ≤ 1
42		1z 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		0z 11980	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
44		peano2zm 12013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
46		fzon 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
47	42, 45, 46	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
48	41, 47	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(0 − 1)) = ∅
49	34, 48	eqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
50	49	imaeq2d 5896	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51		ima0 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
52	50, 51	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
53	52	ineq2d 4139	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54		in0 4299	. . 3 ⊢ ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
55	53, 54	eqtrdi 2849	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
56	31, 55	pm2.61d2 184	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∉ wnel 3091  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {cpr 4527   class class class wbr 5030   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858

This theorem is referenced by:  pthd  27558