MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 29801
Description: Lemma 2 for pthd 29802. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 14568 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 2939 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 12538 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 500 . . . . 5 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5biimtrrid 243 . . . 4 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2735 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 865 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 29800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2735 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 866 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 29800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1449 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 14570 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
2221feq2i 6729 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 12565 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24eqeltrid 2843 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 13822 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 412 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 12366 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 12389 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 5175 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 11821 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 231 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 12645 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 12622 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 12658 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 13717 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 692 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 230 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 6080 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 6097 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51eqtrdi 2791 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 4228 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 4401 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54eqtrdi 2791 . 2 ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 181 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550
This theorem is referenced by:  pthd  29802
  Copyright terms: Public domain W3C validator