Theorem pthdlem2 28037

Description: Lemma 2 for pthd 28038. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem2	⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		lencl 14164	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
3		df-ne 2943	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑃) = 0)
4		elnnne0 12177	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0))
5	4	simplbi2 500	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) ≠ 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
6	3, 5	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
7	1, 2, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ))
8		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ 0 = 0
9	8	orci 861	. . . . . 6 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10		pthd.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
11		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
12	1, 10, 11	pthdlem2lem 28036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
13	9, 12	mp3an3 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = 𝑅
15	14	olci 862	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
16	1, 10, 11	pthdlem2lem 28036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
17	15, 16	mp3an3 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18		wrdffz 14166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
21	10	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑅) = (0...((♯‘𝑃) − 1))
22	21	feq2i 6576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((♯‘𝑃) − 1))⟶V)
23	20, 22	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24		nnm1nn0 12204	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
25	10, 24	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27		fvinim0ffz 13434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
28	23, 26, 27	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃‘𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
29	13, 17, 28	mpbir2and 709	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
31	7, 30	syld 47	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ (♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((♯‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
33	10, 32	syl5eq 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
34	33	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35		0le2 12005	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36		1p1e2 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
37	35, 36	breqtrri 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ (1 + 1)
38		0re 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		1re 10906	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
40	38, 39, 39	lesubadd2i 11465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
41	37, 40	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ (0 − 1) ≤ 1
42		1z 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
43		0z 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
44		peano2zm 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − 1) ∈ ℤ
46		fzon 13336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
47	42, 45, 46	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
48	41, 47	mpbi 229	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(0 − 1)) = ∅
49	34, 48	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
50	49	imaeq2d 5958	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51		ima0 5974	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
52	50, 51	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
53	52	ineq2d 4143	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54		in0 4322	. . 3 ⊢ ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
55	53, 54	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
56	31, 55	pm2.61d2 181	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {cpr 4560   class class class wbr 5070   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146

This theorem is referenced by:  pthd  28038