MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem3a 26236
Description: Lemma for asinlem3 26237. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 15003 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32renegcld 11589 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4 ax-1cn 11116 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14030 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
65adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11407 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
84, 6, 7sylancr 588 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
98sqrtcld 15329 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
109recld 15086 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
111le0neg1d 11733 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ด)))
1211biimpa 478 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ด))
138sqrtrege0d 15330 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
143, 10, 12, 13addge0d 11738 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
15 ax-icn 11117 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
16 simpl 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11142 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1815, 16, 17sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1918, 9readdd 15106 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = ((โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
20 negicn 11409 . . . . . . 7 -i โˆˆ โ„‚
21 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((-i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2220, 16, 21sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2322renegd 15101 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜-(-i ยท ๐ด)) = -(โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
2415negnegi 11478 . . . . . . . 8 --i = i
2524oveq1i 7372 . . . . . . 7 (--i ยท ๐ด) = (i ยท ๐ด)
26 mulneg1 11598 . . . . . . . 8 ((-i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (--i ยท ๐ด) = -(-i ยท ๐ด))
2720, 16, 26sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (--i ยท ๐ด) = -(-i ยท ๐ด))
2825, 27eqtr3id 2791 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) = -(-i ยท ๐ด))
2928fveq2d 6851 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜-(-i ยท ๐ด)))
30 imre 15000 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
3130adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
3231negeqd 11402 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) = -(โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
3323, 29, 323eqtr4d 2787 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3433oveq1d 7377 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ((โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
3519, 34eqtrd 2777 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
3614, 35breqtrrd 5138 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  โ†‘cexp 13974  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  asinlem3  26237
  Copyright terms: Public domain W3C validator