Theorem asinlem3a 27207

Description: Lemma for asinlem3 27208. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3a	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11750	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-1cn 11265	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7		subcl 11563	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 6, 7	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15616	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
10	9	recld 15370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
11	1	le0neg1d 11894	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	11	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	sqrtrege0d 15617	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))))
14	3, 10, 12, 13	addge0d 11899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ ( -(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
15		ax-icn 11266	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
16		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		mulcl 11291	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19	18, 9	readdd 15390	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
20		negicn 11565	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
21		mulcl 11291	. . . . . . 7 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 16, 21	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	22	renegd 15385	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘ -( -i · 𝐴)) = -(ℜ‘( -i · 𝐴)))
24	15	negnegi 11635	. . . . . . . 8 ⊢ - -i = i
25	24	oveq1i 7434	. . . . . . 7 ⊢ ( - -i · 𝐴) = (i · 𝐴)
26		mulneg1 11759	. . . . . . . 8 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( - -i · 𝐴) = -( -i · 𝐴))
27	20, 16, 26	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → ( - -i · 𝐴) = -( -i · 𝐴))
28	25, 27	eqtr3id 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) = -( -i · 𝐴))
29	28	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘ -( -i · 𝐴)))
30		imre 15284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
32	31	negeqd 11558	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) = -(ℜ‘( -i · 𝐴)))
33	23, 29, 32	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
34	33	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ( -(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
35	19, 34	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ( -(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
36	14, 35	breqtrrd 5132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208  ici 11209   + caddc 11210   · cmul 11212   ≤ cle 11351   − cmin 11548   -cneg 11549  2c2 12404  ↑cexp 14211  ℜcre 15273  ℑcim 15274  √csqrt 15409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412

This theorem is used by:  asinlem3  27208