MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem3a 26757
Description: Lemma for asinlem3 26758. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 15064 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21adantr 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
32renegcld 11645 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
5 sqcl 14088 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
65adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11463 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
84, 6, 7sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
98sqrtcld 15390 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
109recld 15147 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))) โˆˆ โ„)
111le0neg1d 11789 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ด)))
1211biimpa 476 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ด))
138sqrtrege0d 15391 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2)))))
143, 10, 12, 13addge0d 11794 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
15 ax-icn 11171 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
16 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
17 mulcl 11196 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1815, 16, 17sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1918, 9readdd 15167 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = ((โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
20 negicn 11465 . . . . . . 7 -i โˆˆ โ„‚
21 mulcl 11196 . . . . . . 7 ((-i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2220, 16, 21sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (-i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2322renegd 15162 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜-(-i ยท ๐ด)) = -(โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
2415negnegi 11534 . . . . . . . 8 --i = i
2524oveq1i 7415 . . . . . . 7 (--i ยท ๐ด) = (i ยท ๐ด)
26 mulneg1 11654 . . . . . . . 8 ((-i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (--i ยท ๐ด) = -(-i ยท ๐ด))
2720, 16, 26sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (--i ยท ๐ด) = -(-i ยท ๐ด))
2825, 27eqtr3id 2780 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (i ยท ๐ด) = -(-i ยท ๐ด))
2928fveq2d 6889 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜-(-i ยท ๐ด)))
30 imre 15061 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = (โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
3231negeqd 11458 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) = -(โ„œโ€˜(-i ยท ๐ด)))
3323, 29, 323eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3433oveq1d 7420 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ ((โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
3519, 34eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜(โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
3614, 35breqtrrd 5169 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((i ยท ๐ด) + (โˆšโ€˜(1 โˆ’ (๐ดโ†‘2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  โ†‘cexp 14032  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  โˆšcsqrt 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  asinlem3  26758
  Copyright terms: Public domain W3C validator