Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinlem3a 25548
 Description: Lemma for asinlem3 25549. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinlem3a ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3a
StepHypRef Expression
1 imcl 14511 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
32renegcld 11098 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4 ax-1cn 10626 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
5 sqcl 13527 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
65adantr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7 subcl 10916 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
84, 6, 7sylancr 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
98sqrtcld 14838 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
109recld 14594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
111le0neg1d 11242 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐴)))
1211biimpa 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ -(ℑ‘𝐴))
138sqrtrege0d 14839 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))))
143, 10, 12, 13addge0d 11247 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
15 ax-icn 10627 . . . . 5 i ∈ ℂ
16 simpl 487 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 mulcl 10652 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1815, 16, 17sylancr 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1918, 9readdd 14614 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
20 negicn 10918 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
21 mulcl 10652 . . . . . . 7 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
2220, 16, 21sylancr 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
2322renegd 14609 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘-(-i · 𝐴)) = -(ℜ‘(-i · 𝐴)))
2415negnegi 10987 . . . . . . . 8 --i = i
2524oveq1i 7161 . . . . . . 7 (--i · 𝐴) = (i · 𝐴)
26 mulneg1 11107 . . . . . . . 8 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (--i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
2720, 16, 26sylancr 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (--i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
2825, 27syl5eqr 2808 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
2928fveq2d 6663 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘-(-i · 𝐴)))
30 imre 14508 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
3130adantr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
3231negeqd 10911 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) = -(ℜ‘(-i · 𝐴)))
3323, 29, 323eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3433oveq1d 7166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
3519, 34eqtrd 2794 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
3614, 35breqtrrd 5061 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568  1c1 10569  ici 10570   + caddc 10571   · cmul 10573   ≤ cle 10707   − cmin 10901  -cneg 10902  2c2 11722  ↑cexp 13472  ℜcre 14497  ℑcim 14498  √csqrt 14633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636 This theorem is referenced by:  asinlem3  25549
 Copyright terms: Public domain W3C validator