Theorem asinlem3a 27198

Description: Lemma for asinlem3 27199. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3a	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-1cn 11258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14261	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7		subcl 11556	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 6, 7	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
10	9	recld 15361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
11	1	le0neg1d 11887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	11	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	sqrtrege0d 15608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))))
14	3, 10, 12, 13	addge0d 11892	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
15		ax-icn 11259	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
16		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		mulcl 11284	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19	18, 9	readdd 15381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
20		negicn 11558	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
21		mulcl 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 16, 21	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	22	renegd 15376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘-(-i · 𝐴)) = -(ℜ‘(-i · 𝐴)))
24	15	negnegi 11628	. . . . . . . 8 ⊢ --i = i
25	24	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (--i · 𝐴) = (i · 𝐴)
26		mulneg1 11752	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (--i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
27	20, 16, 26	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (--i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
28	25, 27	eqtr3id 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
29	28	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘-(-i · 𝐴)))
30		imre 15275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
32	31	negeqd 11551	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) = -(ℜ‘(-i · 𝐴)))
33	23, 29, 32	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
34	33	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
35	19, 34	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
36	14, 35	breqtrrd 5133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344   − cmin 11541  -cneg 11542  2c2 12397  ↑cexp 14204  ℜcre 15264  ℑcim 15265  √csqrt 15400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by:  asinlem3  27199