Theorem asinlem3a 26721

Description: Lemma for asinlem3 26722. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
asinlem3a	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Proof of Theorem asinlem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15056	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	2	renegcld 11639	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-1cn 11165	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14081	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
7		subcl 11457	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	4, 6, 7	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
10	9	recld 15139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))) ∈ ℝ)
11	1	le0neg1d 11783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐴)))
12	11	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ -(ℑ‘𝐴))
13	8	sqrtrege0d 15383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2)))))
14	3, 10, 12, 13	addge0d 11788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
15		ax-icn 11166	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
16		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		mulcl 11191	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
18	15, 16, 17	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
19	18, 9	readdd 15159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
20		negicn 11459	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
21		mulcl 11191	. . . . . . 7 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
22	20, 16, 21	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	22	renegd 15154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘-(-i · 𝐴)) = -(ℜ‘(-i · 𝐴)))
24	15	negnegi 11528	. . . . . . . 8 ⊢ --i = i
25	24	oveq1i 7412	. . . . . . 7 ⊢ (--i · 𝐴) = (i · 𝐴)
26		mulneg1 11648	. . . . . . . 8 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (--i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
27	20, 16, 26	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (--i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
28	25, 27	eqtr3id 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (i · 𝐴) = -(-i · 𝐴))
29	28	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘-(-i · 𝐴)))
30		imre 15053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
32	31	negeqd 11452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → -(ℑ‘𝐴) = -(ℜ‘(-i · 𝐴)))
33	23, 29, 32	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
34	33	oveq1d 7417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → ((ℜ‘(i · 𝐴)) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
35	19, 34	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))) = (-(ℑ‘𝐴) + (ℜ‘(√‘(1 − (𝐴↑2))))))
36	14, 35	breqtrrd 5167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112   ≤ cle 11247   − cmin 11442  -cneg 11443  2c2 12265  ↑cexp 14025  ℜcre 15042  ℑcim 15043  √csqrt 15178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181

This theorem is referenced by:  asinlem3  26722