Theorem absimle 15477

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 11559	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11330	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		absrele 15476	. . 3 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘( -i · 𝐴))) ≤ (abs‘( -i · 𝐴)))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘( -i · 𝐴))) ≤ (abs‘( -i · 𝐴)))
7		imre 15276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘( -i · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘( -i · 𝐴))))
9		absmul 15462	. . . 4 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘( -i · 𝐴)) = ((abs‘ -i) · (abs‘𝐴)))
10	1, 9	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘( -i · 𝐴)) = ((abs‘ -i) · (abs‘𝐴)))
11		ax-icn 11260	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
12		absneg 15445	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘ -i) = (abs‘i))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs‘ -i) = (abs‘i)
14		absi 15454	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
15	13, 14	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (abs‘ -i) = 1
16	15	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((abs‘ -i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17		abscl 15446	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11338	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mullidd 11328	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	16, 19	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘ -i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	10, 20	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘( -i · 𝐴)))
22	6, 8, 21	3brtr4d 5136	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  1c1 11202  ici 11203   · cmul 11206   ≤ cle 11345   -cneg 11543  ℜcre 15265  ℑcim 15266  abscabs 15402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404

This theorem is used by:  rlimrecl  15748  imcn2  15770  caucvgr  15844  sin01bnd  16354  recld2  25135  cnheiborlem  25276  bddiblnc  26163  aaliou2b  26669  efif1olem3  26873  logcnlem3  26973  logcnlem4  26974  efopnlem1  26985  abscxpbnd  27082  cntotbnd  38806  dstregt0  46374  absimlere  46565