Theorem absimle 15112

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 11315	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11088	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		absrele 15111	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
7		imre 14910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))))
9		absmul 15097	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
10	1, 9	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
11		ax-icn 11023	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
12		absneg 15080	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘-i) = (abs‘i))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
14		absi 15089	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
15	13, 14	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = 1
16	15	oveq1i 7339	. . . 4 ⊢ ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17		abscl 15081	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11096	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mulid2d 11086	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	16, 19	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	10, 20	eqtr2d 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘(-i · 𝐴)))
22	6, 8, 21	3brtr4d 5121	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  ℂcc 10962  1c1 10965  ici 10966   · cmul 10969   ≤ cle 11103  -cneg 11299  ℜcre 14899  ℑcim 14900  abscabs 15036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15380  imcn2  15402  caucvgr  15478  sin01bnd  15985  recld2  24075  cnheiborlem  24215  bddiblnc  25104  aaliou2b  25599  efif1olem3  25798  logcnlem3  25897  logcnlem4  25898  efopnlem1  25909  abscxpbnd  26004  cntotbnd  36052  dstregt0  43144  absimlere  43344