Theorem absimle 15338

Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absimle	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 11433	. . . . 5 ⊢ -i ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5		absrele 15337	. . 3 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
7		imre 15137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))))
9		absmul 15323	. . . 4 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
10	1, 9	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
11		ax-icn 11134	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
12		absneg 15306	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (abs‘-i) = (abs‘i))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-i) = (abs‘i)
14		absi 15315	. . . . . 6 ⊢ (abs‘i) = 1
15	13, 14	eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ (abs‘-i) = 1
16	15	oveq1i 7408	. . . 4 ⊢ ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17		abscl 15307	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11212	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	mullidd 11202	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
20	16, 19	eqtrid 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	10, 20	eqtr2d 2800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘(-i · 𝐴)))
22	6, 8, 21	3brtr4d 5134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  1c1 11076  ici 11077   · cmul 11080   ≤ cle 11219  -cneg 11417  ℜcre 15126  ℑcim 15127  abscabs 15263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265

This theorem is referenced by:  rlimrecl  15609  imcn2  15631  caucvgr  15705  sin01bnd  16219  recld2  24877  cnheiborlem  25018  bddiblnc  25906  aaliou2b  26407  efif1olem3  26611  logcnlem3  26711  logcnlem4  26712  efopnlem1  26723  abscxpbnd  26820  cntotbnd  38300  dstregt0  45866  absimlere  46058