MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanbndlem 26968
Description: Lemma for atanbnd 26969. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbndlem (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem atanbndlem
StepHypRef Expression
1 rpre 13043 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 atanrecl 26954 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
4 picn 26501 . . . 4 π ∈ ℂ
5 2cn 12341 . . . 4 2 ∈ ℂ
6 2ne0 12370 . . . 4 2 ≠ 0
7 divneg 11959 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
84, 5, 6, 7mp3an 1463 . . 3 -(π / 2) = (-π / 2)
9 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
10 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
111recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
12 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 addcl 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
159, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16 atanre 26928 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ dom arctan)
18 atandm2 26920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
1917, 18sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2019simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
2115, 20logcld 26612 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
22 subcl 11507 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
239, 13, 22sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2419simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2523, 24logcld 26612 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2621, 25subcld 11620 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
27 imre 15147 . . . . . . . . 9 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
29 atanval 26927 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3210, 5, 6divcan2i 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (i / 2)) = i
3332oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
34 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
3635recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
37 halfcl 12491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
3810, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i / 2) ∈ ℂ)
3925, 21subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
4036, 38, 39mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((2 · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4133, 40eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4231, 41eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
4321, 25negsubdi2d 11636 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
4542, 44eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 mulneg12 11701 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4710, 26, 46sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4845, 47eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4948fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘(2 · (arctan‘𝐴))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
50 remulcl 11240 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ ℝ)
5134, 3, 50sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ ℝ)
5251rered 15263 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘(2 · (arctan‘𝐴))) = (2 · (arctan‘𝐴)))
5328, 49, 523eqtr2rd 2784 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
54 rpgt0 13047 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
551rered 15263 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5654, 55breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘𝐴))
57 atanlogsublem 26958 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
5817, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
5953, 58eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ (-π(,)π))
60 eliooord 13446 . . . . . 6 ((2 · (arctan‘𝐴)) ∈ (-π(,)π) → (-π < (2 · (arctan‘𝐴)) ∧ (2 · (arctan‘𝐴)) < π))
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-π < (2 · (arctan‘𝐴)) ∧ (2 · (arctan‘𝐴)) < π))
6261simpld 494 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (2 · (arctan‘𝐴)))
63 pire 26500 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6463renegcli 11570 . . . . . 6 -π ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
66 2pos 12369 . . . . . 6 0 < 2
6766a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
68 ltdivmul 12143 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((-π / 2) < (arctan‘𝐴) ↔ -π < (2 · (arctan‘𝐴))))
6965, 3, 35, 67, 68syl112anc 1376 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((-π / 2) < (arctan‘𝐴) ↔ -π < (2 · (arctan‘𝐴))))
7062, 69mpbird 257 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-π / 2) < (arctan‘𝐴))
718, 70eqbrtrid 5178 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → -(π / 2) < (arctan‘𝐴))
7261simprd 495 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) < π)
7363a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
74 ltmuldiv2 12142 . . . 4 (((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (arctan‘𝐴)) < π ↔ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
753, 73, 35, 67, 74syl112anc 1376 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((2 · (arctan‘𝐴)) < π ↔ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
7672, 75mpbid 232 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) < (π / 2))
77 halfpire 26506 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
7877renegcli 11570 . . . 4 -(π / 2) ∈ ℝ
7978rexri 11319 . . 3 -(π / 2) ∈ ℝ*
8077rexri 11319 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
81 elioo2 13428 . . 3 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (arctan‘𝐴) ∧ (arctan‘𝐴) < (π / 2))))
8279, 80, 81mp2an 692 . 2 ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (arctan‘𝐴) ∧ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
833, 71, 76, 82syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387  cre 15136  cim 15137  πcpi 16102  logclog 26596  arctancatan 26907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-atan 26910
This theorem is referenced by:  atanbnd  26969
  Copyright terms: Public domain W3C validator