MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanbndlem 26873
Description: Lemma for atanbnd 26874. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbndlem (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))

Proof of Theorem atanbndlem
StepHypRef Expression
1 rpre 13012 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 atanrecl 26859 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ)
4 picn 26410 . . . 4 Ο€ ∈ β„‚
5 2cn 12315 . . . 4 2 ∈ β„‚
6 2ne0 12344 . . . 4 2 β‰  0
7 divneg 11934 . . . 4 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2))
84, 5, 6, 7mp3an 1457 . . 3 -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2)
9 ax-1cn 11194 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
10 ax-icn 11195 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ β„‚
111recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12 mulcl 11220 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
1310, 11, 12sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
14 addcl 11218 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
159, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
16 atanre 26833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ dom arctan)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ dom arctan)
18 atandm2 26825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2019simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0)
2115, 20logcld 26520 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
22 subcl 11487 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
239, 13, 22sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
2419simp2d 1140 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0)
2523, 24logcld 26520 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
2621, 25subcld 11599 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
27 imre 15085 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (β„œβ€˜(-i Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (β„‘β€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (β„œβ€˜(-i Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))))
29 atanval 26832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
3130oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) = (2 Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
3210, 5, 6divcan2i 11985 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 Β· (i / 2)) = i
3332oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (i Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
34 2re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 2 ∈ ℝ)
3635recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 2 ∈ β„‚)
37 halfcl 12465 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
3810, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
3925, 21subcld 11599 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
4036, 38, 39mulassd 11265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((2 Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (2 Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
4133, 40eqtr3id 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (i Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (2 Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
4231, 41eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) = (i Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
4321, 25negsubdi2d 11615 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
4443oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (i Β· -((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (i Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
4542, 44eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) = (i Β· -((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
46 mulneg12 11680 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (i Β· -((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
4710, 26, 46sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (-i Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (i Β· -((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
4845, 47eqtr4d 2768 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) = (-i Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
4948fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (β„œβ€˜(2 Β· (arctanβ€˜π΄))) = (β„œβ€˜(-i Β· ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))))
50 remulcl 11221 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
5134, 3, 50sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
5251rered 15201 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (β„œβ€˜(2 Β· (arctanβ€˜π΄))) = (2 Β· (arctanβ€˜π΄)))
5328, 49, 523eqtr2rd 2772 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) = (β„‘β€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
54 rpgt0 13016 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 𝐴)
551rered 15201 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (β„œβ€˜π΄) = 𝐴)
5654, 55breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 < (β„œβ€˜π΄))
57 atanlogsublem 26863 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (β„œβ€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) ∈ (-Ο€(,)Ο€))
5817, 56, 57syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (β„‘β€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) ∈ (-Ο€(,)Ο€))
5953, 58eqeltrd 2825 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€(,)Ο€))
60 eliooord 13413 . . . . . 6 ((2 Β· (arctanβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ (-Ο€ < (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) ∧ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) < Ο€))
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (-Ο€ < (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) ∧ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) < Ο€))
6261simpld 493 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -Ο€ < (2 Β· (arctanβ€˜π΄)))
63 pire 26409 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
6463renegcli 11549 . . . . . 6 -Ο€ ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
66 2pos 12343 . . . . . 6 0 < 2
6766a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 < 2)
68 ltdivmul 12117 . . . . 5 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ (arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((-Ο€ / 2) < (arctanβ€˜π΄) ↔ -Ο€ < (2 Β· (arctanβ€˜π΄))))
6965, 3, 35, 67, 68syl112anc 1371 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((-Ο€ / 2) < (arctanβ€˜π΄) ↔ -Ο€ < (2 Β· (arctanβ€˜π΄))))
7062, 69mpbird 256 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (-Ο€ / 2) < (arctanβ€˜π΄))
718, 70eqbrtrid 5178 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -(Ο€ / 2) < (arctanβ€˜π΄))
7261simprd 494 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (2 Β· (arctanβ€˜π΄)) < Ο€)
7363a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
74 ltmuldiv2 12116 . . . 4 (((arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((2 Β· (arctanβ€˜π΄)) < Ο€ ↔ (arctanβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
753, 73, 35, 67, 74syl112anc 1371 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((2 Β· (arctanβ€˜π΄)) < Ο€ ↔ (arctanβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
7672, 75mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (arctanβ€˜π΄) < (Ο€ / 2))
77 halfpire 26415 . . . . 5 (Ο€ / 2) ∈ ℝ
7877renegcli 11549 . . . 4 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ
7978rexri 11300 . . 3 -(Ο€ / 2) ∈ ℝ*
8077rexri 11300 . . 3 (Ο€ / 2) ∈ ℝ*
81 elioo2 13395 . . 3 ((-(Ο€ / 2) ∈ ℝ* ∧ (Ο€ / 2) ∈ ℝ*) β†’ ((arctanβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ ((arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (arctanβ€˜π΄) ∧ (arctanβ€˜π΄) < (Ο€ / 2))))
8279, 80, 81mp2an 690 . 2 ((arctanβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)) ↔ ((arctanβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ -(Ο€ / 2) < (arctanβ€˜π΄) ∧ (arctanβ€˜π΄) < (Ο€ / 2)))
833, 71, 76, 82syl3anbrc 1340 1 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ (-(Ο€ / 2)(,)(Ο€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  ici 11138   + caddc 11139   Β· cmul 11141  β„*cxr 11275   < clt 11276   βˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  2c2 12295  β„+crp 13004  (,)cioo 13354  β„œcre 15074  β„‘cim 15075  Ο€cpi 16040  logclog 26504  arctancatan 26812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-tan 16045  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-atan 26815
This theorem is referenced by:  atanbnd  26874
  Copyright terms: Public domain W3C validator