MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanbndlem 25663
Description: Lemma for atanbnd 25664. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbndlem (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem atanbndlem
StepHypRef Expression
1 rpre 12480 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 atanrecl 25649 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
4 picn 25204 . . . 4 π ∈ ℂ
5 2cn 11791 . . . 4 2 ∈ ℂ
6 2ne0 11820 . . . 4 2 ≠ 0
7 divneg 11410 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
84, 5, 6, 7mp3an 1462 . . 3 -(π / 2) = (-π / 2)
9 ax-1cn 10673 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
10 ax-icn 10674 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
111recnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
12 mulcl 10699 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1310, 11, 12sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 addcl 10697 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
159, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16 atanre 25623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ dom arctan)
18 atandm2 25615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
1917, 18sylib 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2019simp3d 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
2115, 20logcld 25314 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
22 subcl 10963 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
239, 13, 22sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2419simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2523, 24logcld 25314 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2621, 25subcld 11075 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
27 imre 14557 . . . . . . . . 9 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
29 atanval 25622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3130oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3210, 5, 6divcan2i 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (i / 2)) = i
3332oveq1i 7180 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
34 2re 11790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
3635recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
37 halfcl 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
3810, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i / 2) ∈ ℂ)
3925, 21subcld 11075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
4036, 38, 39mulassd 10742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((2 · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4133, 40eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4231, 41eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
4321, 25negsubdi2d 11091 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
4443oveq2d 7186 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
4542, 44eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 mulneg12 11156 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4710, 26, 46sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4845, 47eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4948fveq2d 6678 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘(2 · (arctan‘𝐴))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
50 remulcl 10700 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ ℝ)
5134, 3, 50sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ ℝ)
5251rered 14673 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘(2 · (arctan‘𝐴))) = (2 · (arctan‘𝐴)))
5328, 49, 523eqtr2rd 2780 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
54 rpgt0 12484 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
551rered 14673 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5654, 55breqtrrd 5058 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘𝐴))
57 atanlogsublem 25653 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
5817, 56, 57syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
5953, 58eqeltrd 2833 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ (-π(,)π))
60 eliooord 12880 . . . . . 6 ((2 · (arctan‘𝐴)) ∈ (-π(,)π) → (-π < (2 · (arctan‘𝐴)) ∧ (2 · (arctan‘𝐴)) < π))
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-π < (2 · (arctan‘𝐴)) ∧ (2 · (arctan‘𝐴)) < π))
6261simpld 498 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (2 · (arctan‘𝐴)))
63 pire 25203 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6463renegcli 11025 . . . . . 6 -π ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
66 2pos 11819 . . . . . 6 0 < 2
6766a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
68 ltdivmul 11593 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((-π / 2) < (arctan‘𝐴) ↔ -π < (2 · (arctan‘𝐴))))
6965, 3, 35, 67, 68syl112anc 1375 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((-π / 2) < (arctan‘𝐴) ↔ -π < (2 · (arctan‘𝐴))))
7062, 69mpbird 260 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-π / 2) < (arctan‘𝐴))
718, 70eqbrtrid 5065 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → -(π / 2) < (arctan‘𝐴))
7261simprd 499 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) < π)
7363a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
74 ltmuldiv2 11592 . . . 4 (((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (arctan‘𝐴)) < π ↔ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
753, 73, 35, 67, 74syl112anc 1375 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((2 · (arctan‘𝐴)) < π ↔ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
7672, 75mpbid 235 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) < (π / 2))
77 halfpire 25209 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
7877renegcli 11025 . . . 4 -(π / 2) ∈ ℝ
7978rexri 10777 . . 3 -(π / 2) ∈ ℝ*
8077rexri 10777 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
81 elioo2 12862 . . 3 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (arctan‘𝐴) ∧ (arctan‘𝐴) < (π / 2))))
8279, 80, 81mp2an 692 . 2 ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (arctan‘𝐴) ∧ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
833, 71, 76, 82syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934   class class class wbr 5030  dom cdm 5525  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616  ici 10617   + caddc 10618   · cmul 10620  *cxr 10752   < clt 10753  cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  2c2 11771  +crp 12472  (,)cioo 12821  cre 14546  cim 14547  πcpi 15512  logclog 25298  arctancatan 25602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-tan 15517  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-atan 25605
This theorem is referenced by:  atanbnd  25664
  Copyright terms: Public domain W3C validator