MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imval2 15102
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 15062 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 11243 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 2mulicn 12436 . . . 4 (2 ยท i) โˆˆ โ„‚
4 2muline0 12437 . . . 4 (2 ยท i) โ‰  0
5 divcan4 11900 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โ‰  0) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
63, 4, 5mp3an23 1449 . . 3 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
72, 6syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
8 recl 15061 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98recnd 11243 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 ax-icn 11168 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
11 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1210, 2, 11sylancr 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
139, 12addcld 11234 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1413, 9, 12subsubd 11600 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
15 replim 15067 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
16 remim 15068 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1715, 16oveq12d 7422 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
18122timesd 12456 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
19 mulcom 11195 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
203, 19mpan2 688 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
21 2cn 12288 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
22 mulass 11197 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2321, 10, 22mp3an12 1447 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2420, 23eqtrd 2766 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
252, 24syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
269, 12pncan2d 11574 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
2726oveq1d 7419 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2818, 25, 273eqtr4d 2776 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2914, 17, 283eqtr4rd 2777 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
3029oveq1d 7419 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
317, 30eqtr3d 2768 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  โˆ—ccj 15047  โ„œcre 15048  โ„‘cim 15049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052
This theorem is referenced by:  resinval  16083  dvmptim  25853
  Copyright terms: Public domain W3C validator