MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imval2 15043
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 15003 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 11190 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 2mulicn 12383 . . . 4 (2 ยท i) โˆˆ โ„‚
4 2muline0 12384 . . . 4 (2 ยท i) โ‰  0
5 divcan4 11847 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โ‰  0) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
63, 4, 5mp3an23 1454 . . 3 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
72, 6syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
8 recl 15002 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98recnd 11190 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 ax-icn 11117 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
11 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1210, 2, 11sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
139, 12addcld 11181 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1413, 9, 12subsubd 11547 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
15 replim 15008 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
16 remim 15009 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1715, 16oveq12d 7380 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
18122timesd 12403 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
19 mulcom 11144 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
203, 19mpan2 690 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
21 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
22 mulass 11146 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2321, 10, 22mp3an12 1452 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2420, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
252, 24syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
269, 12pncan2d 11521 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
2726oveq1d 7377 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2818, 25, 273eqtr4d 2787 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2914, 17, 283eqtr4rd 2788 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
3029oveq1d 7377 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
317, 30eqtr3d 2779 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993
This theorem is referenced by:  resinval  16024  dvmptim  25350
  Copyright terms: Public domain W3C validator