MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imval2 15138
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 15098 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 11280 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 2mulicn 12473 . . . 4 (2 ยท i) โˆˆ โ„‚
4 2muline0 12474 . . . 4 (2 ยท i) โ‰  0
5 divcan4 11937 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โ‰  0) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
63, 4, 5mp3an23 1449 . . 3 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
72, 6syl 17 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = (โ„‘โ€˜๐ด))
8 recl 15097 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
98recnd 11280 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10 ax-icn 11205 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
11 mulcl 11230 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
1210, 2, 11sylancr 585 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
139, 12addcld 11271 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1413, 9, 12subsubd 11637 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
15 replim 15103 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
16 remim 15104 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ด) = ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
1715, 16oveq12d 7444 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) = (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„œโ€˜๐ด) โˆ’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))))
18122timesd 12493 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
19 mulcom 11232 . . . . . . . 8 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท i) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
203, 19mpan2 689 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
21 2cn 12325 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
22 mulass 11234 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2321, 10, 22mp3an12 1447 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2420, 23eqtrd 2768 . . . . . 6 ((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
252, 24syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (2 ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
269, 12pncan2d 11611 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) = (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)))
2726oveq1d 7441 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2818, 25, 273eqtr4d 2778 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = ((((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2914, 17, 283eqtr4rd 2779 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) = (๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)))
3029oveq1d 7441 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (2 ยท i)) / (2 ยท i)) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
317, 30eqtr3d 2770 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) = ((๐ด โˆ’ (โˆ—โ€˜๐ด)) / (2 ยท i)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146  ici 11148   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  โˆ—ccj 15083  โ„œcre 15084  โ„‘cim 15085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088
This theorem is referenced by:  resinval  16119  dvmptim  25922
  Copyright terms: Public domain W3C validator