Theorem imval2 15036

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 14996	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		2mulicn 12376	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
4		2muline0 12377	. . . 4 ⊢ (2 · i) ≠ 0
5		divcan4 11840	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
6	3, 4, 5	mp3an23 1453	. . 3 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
8		recl 14995	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11110	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
11		mulcl 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	9, 12	addcld 11174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14	13, 9, 12	subsubd 11540	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15		replim 15001	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		remim 15002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
17	15, 16	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
18	12	2timesd 12396	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19		mulcom 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
20	3, 19	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
21		2cn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		mulass 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
23	21, 10, 22	mp3an12 1451	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
24	20, 23	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	2, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	9, 12	pncan2d 11514	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)))
27	26	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
31	7, 30	eqtr3d 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ∗ccj 14981  ℜcre 14982  ℑcim 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986

This theorem is referenced by:  resinval  16017  dvmptim  25334