Theorem imval2 15298

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 15258	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
3		2mulicn 12551	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
4		2muline0 12552	. . . 4 ⊢ (2 · i) ≠ 0
5		divcan4 11982	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
6	3, 4, 5	mp3an23 1482	. . 3 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
7	2, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘𝐴))
8		recl 15257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
10		ax-icn 11240	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
11		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	9, 12	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14	13, 9, 12	subsubd 11678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
15		replim 15263	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
16		remim 15264	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
17	15, 16	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴)))))
18	12	2timesd 12570	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
19		mulcom 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
20	3, 19	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)))
21		2cn 12399	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		mulass 11269	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
23	21, 10, 22	mp3an12 1480	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((2 · i) · (ℑ‘𝐴)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
24	20, 23	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
25	2, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘𝐴))))
26	9, 12	pncan2d 11652	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) = (i · (ℑ‘𝐴)))
27	26	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) − (ℜ‘𝐴)) + (i · (ℑ‘𝐴))))
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
30	29	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴) · (2 · i)) / (2 · i)) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
31	7, 30	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522   / cdiv 11954  2c2 12378  ∗ccj 15243  ℜcre 15244  ℑcim 15245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248

This theorem is used by:  resinval  16283  dvmptim  26270  constrelextdg2  34361  constrrecl  34383