MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptim 24552
Description: Function-builder for derivative, imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptcj.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcj.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptcj.da (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvmptim (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptim
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10606 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 dvmptcj.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
43cjcld 14534 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
53, 4subcld 10974 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 dvmptcj.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
7 dvmptcj.da . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
82, 3, 6, 7dvmptcl 24541 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
98cjcld 14534 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
108, 9subcld 10974 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 − (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
113, 6, 7dvmptcj 24550 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
122, 3, 6, 7, 4, 9, 11dvmptsub 24549 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 − (∗‘𝐴)))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 − (∗‘𝐵))))
13 2mulicn 11838 . . . . 5 (2 · i) ∈ ℂ
14 2muline0 11839 . . . . 5 (2 · i) ≠ 0
1513, 14reccli 11347 . . . 4 (1 / (2 · i)) ∈ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / (2 · i)) ∈ ℂ)
172, 5, 10, 12, 16dvmptcmul 24546 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))) = (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵)))))
18 imval2 14489 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
193, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐴) = ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)))
20 divrec2 11292 . . . . . . 7 (((𝐴 − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
2113, 14, 20mp3an23 1450 . . . . . 6 ((𝐴 − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
225, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 − (∗‘𝐴)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
2319, 22eqtrd 2856 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐴) = ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
2423mpteq2dva 5134 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴)))))
2524oveq2d 7146 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴))) = (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐴 − (∗‘𝐴))))))
26 imval2 14489 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)))
278, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐵) = ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)))
28 divrec2 11292 . . . . . 6 (((𝐵 − (∗‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
2913, 14, 28mp3an23 1450 . . . . 5 ((𝐵 − (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
3010, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐵 − (∗‘𝐵)) / (2 · i)) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
3127, 30eqtrd 2856 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (ℑ‘𝐵) = ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵))))
3231mpteq2dva 5134 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ ((1 / (2 · i)) · (𝐵 − (∗‘𝐵)))))
3317, 25, 323eqtr4d 2866 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐴))) = (𝑥𝑋 ↦ (ℑ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  {cpr 4542  cmpt 5119  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515  ici 10516   · cmul 10519  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  ccj 14434  cim 14436   D cdv 24445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator